結合型 KP ヒエラルキーから導かれた結合型戸田格子とその簡約
東京大学大学院数理科学研究科
Fund for Scientific Research,
Flanders (Belgium)
ウィロックス・ラルフ
(WILLOX Ralph)∗
結合型 KP ヒエラルキーに付随して、結合型戸田格子のような非局所的な可積分系の構成が可能
であることを示し、その結合型戸田格子の局所的な簡約を実例を挙げて説明する。特に、簡約で得
られている結合型 sinh-Gordon 系 や 結合型 Tzitzeica 系とこれらの Lax pair や Pfaffian 型 tau
函数に対する双線形方程式を議論する。
1. 結合型 KP ヒエラルキーの拡張
広田良吾・太田泰広両氏の 1991 年の論文 [HO] によって、
[D14 − 4D1 D3 + 3D22 ]τ · τ = 24¯
σσ
3
[D1 + 2D3 + 3D1 D2 ]σ · τ = 0
[D3 + 2D − 3D D ]¯
σ·τ =0
1
3
1
(1)
2
結合型 KP と呼ばれている可積分系が Pfaffian で表される τ -函数を持つことが示された。この
方程式は、その発見以前に、Jarmo Hietarinta 氏によって普通の KP 方程式と “higher order
Davey-Stewartson” 方程式の結合系として提出されたものである [Hi]。
0 という無限次元のリー代数から構成できる
結合型 KP 方程式は、代数的な面から見れば、D∞
[JM, K1, K3] (本節の内容は、筧 三郎氏との共同研究に基づいてる。)。 このリー代数を自由フェ
ルミオン作用素を用いて記述すると、
ψi , ψj∗
(i, j ∈ Z) :
0
D∞
={
X
[ψi , ψj∗ ]+ = δij ,
X
ai,j : ψi ψj∗ : +
i,j∈Z
i,j∈Z
[ψi , ψj ]+ = [ψi∗ , ψj∗ ]+ = 0
bi,j ψi ψj +
X
ci,j ψi∗ ψj∗ }
i,j∈Z
という定義になる。
自由フェルミオンによる定式化から出発すると、結合型 KP 方程式とそのヒエラルキーに対す
る τ -函数 τn (x) は次のように定義される：
0
X ∈ D∞
, g = eX :
H(x) =
∞
X
n=1
τn (x) = hn|eH(x) g|`i
xn
X
∗
ψj ψj+n
,
(n = ` mod 2,
` = 0, 1,
n ∈ N)
x = (x1 , x2 , x3 , . . . )
j∈Z
KP ヒエラルキーのように、τ -函数の定義における hn| や |`i は、自由フェルミオン代数のフォック表
現の “heighest weight” ベクトルである。そうして、結合型 KP (1) に現れる τ, σ
¯ , σ は、τ = τn (x),
σ
¯ = τn+2 (x), σ = τn−2 (x) という風に上述の τ -函数に関連する。
∗ E-mail : [email protected]
1
H(x) というハミルトニアンに加えて、新しい “negative weight” と呼ばれる時間発展パラメー
¯
ター y によるハミルトニアン H(y)
を導入し、
¯
H(y)
=
∞
X
n=1
yn
X
∗
ψj ψj−n
,
y = (y1 , y2 , y3 , . . . ),
j∈Z
２次元格子 (n, `) 上の τ -函数を (n, ` ∈ Z)
¯
¯
τn,` (x, y) = hn + `|eH(x) eH(y) g e−H(y) |n − `i
と定義する。上記の結合型 KP の τ -函数は τn,0 (x, y = 0) としてこの定義に含まれている。従っ
0 の構造を利用し、結合型 KP の２次元格子上の拡張が構成できる。この 2 次元格子上の
て、D∞
発展方程式が次の双線形恒等式から得られる。∀x, y, x0 , y0 , ∀n, `, n0 , `0 :
I
0
0 1
dk [Vn,` (x, y) Vn∗0 ,`0 (x0 , y0 ) eξ(x−x ,k)+ξ(y−y , k ) ]
C
I
+
dk
∗
[Vn+1,`+1
(x, y)
0
−ξ(x−x0 ,k)−ξ(y−y0 , k1 )
0
Vn0 −1,`0 −1 (x , y ) e
(2)
] = 0,
C
P∞
∗ (x, y) は、k = ∞ と k = 0 という得意点の近傍に τ (x, y)
ξ(x, k) = n=1 xn k n 。Vn,` (x, y), Vn,`
n,`
で記述できる。
( n+`
k
τn,` (x − ε[k −1 ], y),
k≈∞
Vn,` (x, y) =
k n−` τn+1,` (x, y − ε[k]),
k≈0
( −n−`
k
τn,` (x + ε[k −1 ], y), k ≈ ∞
∗
Vn,` (x, y) =
k `−n τn−1,` (x, y + ε[k]),
k ≈ 0,
2
3
ε[k] = (k, k2 , k3 , . . . ) 。線積分に現れる C という積分路は k = ∞ と k = 0 を周回している。
こういう風に “negative weight” の時間発展を導入したことによって恒等式 (2) から拡張された
ヒエラルキーの双線形方程式が得られる。次のような系は、そのヒエラルキーの代表的な方程式で
ある。
1 Dx Dy τn,` · τn,` = (τ 2 − τn+1,` τn−1,` ) + τn,`+1 τn,`−1
n,`
2
(3)
Dy τn+1,`+1 · τn,` + Dx τn+1,` · τn,`+1 = 0
ここで、x と y は、x1 = x, y1 = y と省略したものである。方程式系 (3) の第一番目の関係式は、
２次元戸田格子（“n” という方向）と２次元 molecule Toda と呼ばれている有限戸田格子（“`” と
いう方向）との結合のように見える。その結果、θn , v¯n , vn という従属変数により、
θn (x, y; `) := log
v¯n (x, y; `) :=
τn+1,`+1
,
τn,`
2
τn,`
τn+1,` τn−1,`
,
vn (x, y; `) :=
結合型戸田格子のような（非局所的な）可積分系が得られる。
2
τn−1,`−1
,
τn,`
(θ ) = 2(vn+1 v¯n−1 − 1)e−θn − (vn+2 v¯n − 1)e−θn+1 − (vn v¯n−2 − 1)e−θn−1
n xy
(¯
vn )y = (¯
vn−1 )x e−θn + (θn + 2∆−1 [θn ])x v¯n−1 e−θn
(v ) = (v
) e−θn − (θ + 2∆−1 [θ ]) v
e−θn
n y
n
n+1 x
n x
(4)
n+1
この方程式系は、` という格子座標によらないことに注意する。それに、この方程式における非局
所的な項
∞
X
−1
∆ [θn ] := −
θn+j
j=0
によると、(4) 式 や この方程式を基づいてる双線形方程式系 (3) は、(n, `) 平面上では、 ` = 0 に
平行している “strip” に定義されている可積分系である。この可積分系に関する Lax pair も双線
型恒等式から導き出せる。
à !
Ã
!Ã !
ψn
(Vn )x + S
v¯n S
ψn
=
−1
−1
χn
−vn S
(Vn−1 )x − S
χn
x
à !
Ã
!Ã !
ψn
e−θn S −1
v¯n−1 e−θn S
ψn
=
−θ
−1
−θ
n
n
χn
−vn+1 e
S
e
S
χn
y
ここで、
Vn (x, y; `) = log
τn+1,`
,
τn,`
θn = Vn−1 − Vn ,
そして、S は n 上の “shift” である： S : f (n) → f (n + 1)。
2. 局所的な簡約
適当な簡約を課すと、上述の方程式 (4) は局所的な可積分系に制限される。その簡約は２つの大
(1)
きなタイプに分けられる。一つは、普通の（A 型）KP ヒエラルキーから An のアフィン リー代
数に対応する可積分系へのような簡約である。それ以外には A-型 KP から B-型 KP へと同じよ
うな簡約も可能である。
2.1 周期的な簡約
τn+p,` に周期性を課すと (∀x, y, n, `)
τn+p,` = τn,`
⇒
p−1
X
θn = 0
(p ∈ N),
n=0
上記の結合型戸田格子 (4) は、局所的な格子に簡約される。こいう τ -函数を生成している代数は
0
{X ∈ D∞
| [adX , ιp ]− = 0 } ,
⇔
ιp :
ψj → ψj−p ,
∗
ψj∗ → ψj−p
0
{X ∈ D∞
| ai+p,j+p = ai,j , bi+p,j+p = bi,j , ci+p,j+p = ci,j }
0 の) sub algebra である。一方、２次元戸田格子の場合と異なり、当周期的な簡約は結
という (D∞
合型 KP ヒエラルキーの p−reduction を伴っていない。すなわち、τn+p,` = τn,` ⇒
/ τ xn = τy n = 0 。
3
周期 p = 2 の場合は、上述の簡約の良い実例である。この場合には、結合型 sinh-Gordon のよ
うな系が得られる。
τn+2,` = τn,` ⇒ θ0 + θ1 = 0, θ2 = θ0 , θ−1 = θ1 , . . .
θxy = 2(v1 v¯−1 − 1)e−θ − 2(v¯
v − 1)eθ
v¯y = (¯
v−1 )x e−θ
vy = (v1 )x e−θ
(v1 )y = vx eθ
(¯
v−1 )y = v¯x eθ
(5)
ここで、θ , v , v¯ , v1 , v¯−1 という従属変数は６つの独立の τ -函数 τ0,` , τ0,`+1 , τ0,`−1 , τ1,` , τ1,`+1
τ1,`−1 によって定義される。
τ0,`
τ1,`
τ0,`+1
, v¯−1 =
τ1,`
τ0,`−1
, v1 =
τ1,`
θ := θ0 = 2 log
τ1,`+1
τ0,`
τ1,`−1
v=
τ0,`
v¯ =
その６つの τ -函数に対する双線形方程式は、次の形になる。
1
2
2
Dx Dy τ0,` · τ0,` = τ0,`+1 τ0,`−1 + (τ0,` − τ1,` )
2
1
2
2
)
− τ0,`
Dx Dy τ1,` · τ1,` = τ1,`+1 τ1,`−1 + (τ1,`
2
Dy τ1,`+1 · τ0,` + Dx τ1,` · τ0,`+1 = 0
Dy τ0,`+1 · τ1,` + Dx τ0,` · τ1,`+1 = 0
Dy τ1,` · τ0,`−1 + Dx τ1,`−1 · τ0,` = 0
Dy τ0,` · τ1,`−1 + Dx τ0,`−1 · τ1,` = 0
尚、結合型 sinh-Gordon (5) に関する Lax pair は 4 × 4 の行列で記述できる。
1
0
λ
λ¯
v
ψ0
ψ0
− 2 θx
χ
0
1
1
1
− 2 θx − λ v − λ χ0
0
=
ψ1
λ
λ¯
v−1 12 θx
0 ψ1
1
χ1 x
0
χ1
− λ1 v1 − λ1
2 θx
1 −θ
ψ0
λ¯
v−1 e−θ
ψ0
0
0
λe
χ
0
1
−θ
−θ
0
− λ v1 e
−λe χ0
0
= 1 θ
θ
ψ 1
ψ 1
λe
λ¯
ve
0
0
1
θ
θ
− λ ve −λe
0
0
χ1 y
χ1
さらに、(5) 式に v¯ = v, v¯−1 = v1 という条件を課すことも可能である。
θ = 2(v12 − 1)e−θ − 2(v 2 − 1)eθ
xy
v¯y = (¯
v1 )x e−θ
(v ) = v eθ
1 y
x
4
この方程式に対応する τ -函数は “coupled KdV” という可積分系 [HS,K2] の τ -函数と同じものだ
と思われている。
2.2 半無限格子への簡約
0 の要素に対応する τ -函数は半無限格子上に制限される。
以下の条件を満たす D∞
0
{X ∈ D∞
| σ0 [X] = X } ,
⇔
σ0 :
∗
ψj → (−)j ψ−j
,
ψj∗ → (−)j ψ−j
0
{X ∈ D∞
| ai,j = (−)1+i+j a−j,−i , bi,j = (−)i+j c−i,−j }
¯ ) = (x|xeven =0 , y|yeven =0 ) という変数に限ると、τ (¯
¯ ) が特別な対称性を持つ。
独立変数を (¯
x, y
x, y
¯ ) = (−)` τ1−n,−` (¯
¯)
τn,` (¯
x, y
x, y
けれども、一般的には、この対称性から得られた格子は局所的ではないが、` = 0 という線の上
では、簡約を行った方程式は局所的な系になる。
こうして、得られた格子をさらに単純にするため、まず上述の簡約を行い、それに (例えば、p = 3)
の周期的な条件を課すと
τ−2,` = τ1,` = (−)` τ0,−` ,
次の方程式が得られる：
θxy = e2θ (1 + ν 2 ) − e−θ (1 − ωω ∗ )
νy = (ωx + ωθx )e−θ
ωy + (ω ∗ e−θ )x = 0
ω ∗ + ν e2θ = 0
x
y
(6)
この方程式は、結合型 Tzitzeica [Tz,NW] のような可積分系である。ここで、θ , ν , ω , ω ∗ と
いう従属変数は５つの独立の τ -函数 τ0,0 , τ−1,0 , τ−1,−1 , τ0,1 , τ0,−1 によって定義される。
θ = log
ν=
τ−1,−1
,
τ0,0
ω=
τ0,0
τ−1,0
τ0,−1
,
τ0,0
5
ω∗ =
τ0,1
τ−1,0
この５つの τ -函数に対する双線形方程式は、次の形になる。
1
2
Dx Dy τ0,0 · τ0,0 = (τ0,0
− τ0,0 τ−1,0 ) + τ0,1 τ0,−1
2
1
2
2
2
Dx Dy τ−1,0 · τ−1,0 = (τ−1,0 − τ0,0 ) − τ−1,−1
2
− Dy τ0,−1 · τ0,0 + Dx τ0,0 · τ0,1 = 0
Dy τ0,1 · τ−1,0 − Dx τ0,0 · τ−1,−1 = 0
D τ ·τ
+D τ
·τ
=0
y
0,0
−1,−1
x
0,−1
−1,0
尚、結合型 sinh-Gordon (6) に関する Lax pair は 6 × 6 の行列で記述できる。
ψ0
ψ 1
ψ 2
χ
0
χ1
χ2 y
ψ0
ψ0
0
0
λ
0
0
− λ1 ω
1 ∗
θx
0
0
0 ψ1
ψ1
λ
λω
1
ψ2
0
λ
−θx
0
−λν
0
ψ2
=
1
χ
0
−λν
0
−θx − λ
0
χ0
0
0
λω ∗
0
θx
− λ1 χ1
χ1
0
χ2
0
0
χ2 x
−λω
0
0
− λ1
1 ∗ −θ
1 −θ
0
0
0
ψ0
0
λe
λω e
1
1
2θ
2θ
− λ νe
0
0 ψ1
0
0
λ λe
1 −θ
1
−θ
e
0
0
0
− λ ωe
0
λ
ψ2
=
−θ
−θ
−λωe
0
0
0
−λe
χ0
0
0
−λνe2θ −λe2θ
0
0 χ1
0
λω ∗ e−θ
0
0
0
−λe−θ
0
χ2
References
[Hi] J. Hietarinta : Partially Integrable Evolution Equations in Physics , Eds. R. Conte,
N. Boccara (Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1990) pp. 459–478.
[HO] R. Hirota and Y. Ohta : J. Phys. Soc. Jpn. 60 (1991) 798–809.
[HS] R. Hirota and J. Satsuma : Phys. Lett. 85A (1981) 407–408.
[JM] M.Jimbo, T.Miwa : Publ. RIMS 19 (1983), 943–1001.
[NW] J.J.C. Nimmo and R. Willox : Proc. R. Soc. Lond. A 453 (1997), 2497–2525.
[K1] 筧 三郎：九州大学応用力学研究所 研究集会報告 11ME-S4 (2000) 178–182.
[K2] S. Kakei : Phys. Lett. A 264 (2000) 449–458.
[K3] 筧 三郎：京都大学数理解析研究所 講究録 1221 (2001) 199–208.
[Tz] G. Tzitzeica : C. R. Acad. Sci. 150 (1910) 955–956.
6
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