暫定版
修正・加筆の可能性あり
（付録）
「球面波・回折（１）」
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
球面波：スカラー表示
発散球面波・収束球面波
グリーンの定理
時間遅延
曲率と曲率半径
円と放物線
レンズの公式
付録（９０１～９０４）のアプローチ：回折（diffraction）までの道標
1. 球面波（spherical wave）のみ対象：スカラー表示
2. 虚数単位「ｉ」を使用する。
3. お詫び：自己流かつ説明が飛躍する場面があります。
•
•
•
グリーンの定理：Green’s theorem
グリーン関数：Green's function
レンズの公式： thin lens equation
９０１－1
球面波（１）：スカラー表示
f：焦点距離
レンズ：参照901-21
発散球面波：outgoing spherical wave
f
Gout ( r, r ') =
点源：点光源の位置
± i ( k r −r ' −ν t )
発散球面波
収束球面波
1 e
4π r − r '
ｚ軸
r ' = r1
r ' = r1
r ' = r2
レンズ：位置ベクトル
収束球面波： incoming spherical wave
Gin ( r, r ')
省略：時間項
ｃ：光速
)
1 e (
ν
,  k
=
4π r − r '
c
r = ( x, y , z )
± i k r −r ' +ν t
点源：集光点の位置
r ' = r2
± ik r −r '
1 e
Gout ,in=
r
,
r
'
G
r
,
r
'
≡
( ) ( )
4π r − r '
符号（赤色・青色）について
• 発散と収束の違いは符号（赤色）で決まる。
± i k r −r ' ν t )
e (
• 上記指数項の実数部が実世界に対応するから、符
号（青色）の選択は実世界の物理現象に合うよう
に選べばよい。（参照：901-13）
• 本付録で実例をご紹介します。
• 時間項を省略すると発散・収束球面波で形式上の
差はなくなるから、両者の区別は不可。
９０１－2
球面波（２）：スカラー表示
球面波：波動方程式
注意：発散球面波、収束球面波は同一波動方程式
∇ G (r ) + k G (r ) =
−δ ( r )
2
2
簡単のため：点源位置
←
＝原点
1 e ± ikr
G (r ) = , r =
r , r1,2 =
0
4π r
ヘルムホルツ方程式：Helmholtz equation
注意：原点を除く（点源のない領域）
∇ G ( r ) + k G (=
r) 0
2
2
←
∂ 2G ( r , t )
∇ G ( r, t ) − k
= 0,
2
∂t
2
2
1 e ( )
ω
=
, k =
, r r
 G=
( r, t )
4π
r
c
± i kr ν t
球座標：ラプラシアン
1 ∂  2 ∂f 
1
∂ 
∂f 
1
∂2 f
∇=
G (r )
r
+ 2
 sin θ
+ 2 2
2
r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
∂θ  r sin θ ∂φ 2
2
９０１－3
球面波（３）：スカラー表示
ヘルムホルツ方程式：Helmholtz equation
∇ G (r )
2
1 ∂  2 ∂G 
1 e ± ikr
 r=
 , G (r )
2
r ∂r  ∂r 
4π r
1 e ± ikr ik e ± ikr
1 ± ikr ik ± ikr
∂G ∂ 1 e ± ikr
2 ∂G
,
r
e ±
re
=
=
−
±
=
−
2
4π r
4π r
4π
4π
∂r ∂r 4π r
∂r
1 ∂ ± ikr ik ∂
∂  2 ∂G  ∂  1 ± ikr ik ± ikr 
r
e
re
e ±
re ± ikr )
=
−
±
=
−
(




4π
4π ∂r
4π ∂r
∂r  ∂r  ∂r  4π

1
ik ± ikr
ik ikr ik ikr ik
k 2 ikr
± ikr
± ikr
ikr
ike ±
= 
e ±
e +
ikre =
re

−
( e ± ikre ) =
4π
4π
4π
4π
4π
4π
k 2 e ± ikr
1 ∂  2 ∂G 
∇ G (r ) = 2  r
= −
r ∂r  ∂r 
4π r
2
r ≠0
→
∇ 2G ( r ) + k 2G ( r ) = 0
９０１－4
球面波（４）：スカラー表示
原点付近で球積分：球は点源を含む
∇ 2G ( r ) + k 2G ( r ) =
−δ ( r ) →
2
2

∇
+
−1
dV
G
r
k
G ( r )  =
(
)
∫ 
ガウスの発散定理（参照714-18）：divergence theorem
G (r )
∫ dV ∇∇=
n r
∇
→

dS
n
G
r
(
)
∫
∫ dS
∂
G (r )
∂r
原点（点源）
イメージ：球積分
nr
∂
1 e ± ikr
2
−1,  G ( r ) =
∫ dS ∂r G ( r ) + ∫ dVk G ( r ) =
4π r
球座標：勾配（divergence）
ｎ：球表面に垂直な単位ベクトル（外向き）
 ∂G
∂G
1 ∂G
1 ∂G 
≡ n=
∇G n 
er +
eθ +
eφ 
∂n
r ∂θ
r sin θ ∂φ 
 ∂r
球対称関数
∂G
∂G nr ∂G ( r )
→
= (=
ne r )
∂n
∂r
r
∂r
G =G ( r )
r= r
９０１－5
球面波（５）：スカラー表示
計算：続き
∂
1 e ± ikr
2
−1,  G ( r ) =
∫ dS ∂r G ( r ) + ∫ dVk G ( r ) =
4π r
極限でも上式は成立
± ikr
1 e ± ikr
2
2 1 e
=
=
lim ∫ dVk G ( r ) lim
dVk
lim ∫ r drdθ dφk
r →0
r →0 ∫
r →0
4π r
4π r
± ikr
2
2 1 e
= lim ∫ r dr=
=
4π k
lim
drk 2 re ± ikr 0
∫
r →0
r →0
4π r
2
2
∂G
1 e ± ikr ik e ± ikr
=
−
±
∂r
4π r 2
4π r
 1 e ± ikr ik e ± ikr 
∂
± ikr
± ikr
2

 =
−
lim=
dS
G
r
lim
r
d
d
±
=
−
±
−1
θ
ϕ
e
ikre
lim
(
)

 r →0 
2
∫
r →0 ∫
r
→
0
∂r
4π r 
 4π r
９０１－6
発散球面波：まとめ
発散球面波：outgoing spherical wave
Gout ( r, r ')
=
± i ( k r −r ' −ν t )
± i ( kr −ν t )
発散球面波
1 e
1 e
=
4π r − r '
4π
r
ｚ軸
r
 r= r − r '
点源：点光源の位置
等価性
Gout ( r, r ') = Gout ( r ', r )
省略：時間項
r ' = ( x ', y ', z ')
点光源の波動方程式
± ik r −r '
1 e
Gout ( r, r ') =
4π r − r '
r = ( x, y , z )
点光源の位置
← ∇ 2Gout ( r, r ') + k 2Gout ( r, r ') =−δ ( r − r ')
何が言いたいのかな
• 発散球面波は原点以外でヘルムホルツ方程式を満足する。
• 上記微分方程式を見ると一目瞭然であるが、発散球面波はグリーン関数（Green’s function）である。
• グリーン関数は線形非同次（非斉次：ひせいじ）微分方程式（Inhomogeneous linear differential
equations ）の解法を与える。
９０１－7
収束球面波：まとめ
収束球面波：incoming spherical wave
Gin ( r, r ')
=
± i ( k r −r ' +ν t )
± i ( kr +ν t )
収束球面波
1 e
1 e
=
4π r − r '
4π
r
ｚ軸
r
 r= r − r '
点源：集光点の位置
等価性
Gin ( r, r ') = Gin ( r ', r )
省略：時間項
r ' = ( x ', y ', z ')
r = ( x, y , z )
集光源の波動方程式
± ik r −r '
1 e
Gin ( r, r ') =
4π r − r '
集光源の位置
← ∇ 2Gin ( r, r ') + k 2Gin ( r, r ') =−δ ( r − r ')
何が言いたいのかな
• 収束球面波も原点以外でヘルムホルツ方程式を満足する。
• 上記微分方程式を見ると一目瞭然であるが、収束球面波もグリーン関数（Green’s function）である。
• 波動方程式は２個の独立解（発散球面波と収束球面波）を持つ。
９０１－8
グリーンの定理（１）
ガウスの発散定理（参照714-18）： divergence theorem
 A ∫ dV ∇ A
∫ dSn=
A= f ∇g

→
A= g ∇f

→
g ) ∫ dV ∇( f ∇=
g ) ∫ dV f ∇ g + ∫ dV ∇f ∇g
∫ dSn( f ∇=
f ) ∫ dV ∇( g ∇=
f ) ∫ dV g ∇ f + ∫ dV ∇g ∇f
∫ dSn( g∇=
2
2
グリーンの定理： Green's theorem
∇f ) ∫ dV ( f ∇ g − g ∇ f )
∫ dSn( f ∇g − g=
2
2
限定：領域を無限に大きくとることで面積分項が零になる場合
∇f )
∫ dSn( f ∇g − g=
2
2
dV
f
∇
g
−
g
∇
=
f) 0
(
∫
９０１－9
グリーンの定理（２）
グリーンの定理：面積分項が零になる場合
2
g ∇ 2 f  0
∫ dV  f ∇ g −=
グリーン関数
注意：観測位置ベクトルと考えてよい
( )

→
g =ψ r
代入：計算例（次頁）
± ik r −r
1 e
1 e ± ikr
f G=
=
=
( r, r ')
4π r − r ' 4π r
∇ 2G ( r , r ' ) + k 2G ( r , r ' ) =
−δ ( r − r ')
=
ψ ( r ')
交換
∫ dV ρ ( r ) G ( r, r ')
r ⇔ r'
ψ ( r ) = ∫ dV 'G ( r, r ') ρ ( r ')
G ( r, r ') = G ( r ', r )
何がいいたいのかな
• 線形常微分方程式：
∇ 2ψ ( r ) + k 2ψ ( r ) =
−ρ (r )
• 面積分項が零になる関数Ψに対して
グリーン関数
± ik r −r '
1 e
1 e ± ikr
G ( r, r ') =
=
ψ ( r ) ∫ dV 'G ( r, r ') ρ ( r ') , 
=
4π r − r ' 4π r
９０１－10
グリーンの定理（３）
計算例
2
2
dV
f
g
g
f)
∇
−
∇
(
∫
→ ∫ dV G ( r, r ') ∇ 2ψ ( r ) −ψ ( r ) ∇ 2G ( r, r ') 
2
2

dV
G
k
k
G ( r, r ') − δ ( r − r ')}
,
'
ψ
ρ
ψ
−
−
−
−
r
r
r
r
r
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
{
∫ 
=
=
∫ dV −G ( r, r ') ρ ( r ) +ψ ( r ) δ ( r − r ')
=
− ∫ dV ρ ( r ) G ( r, r ') +ψ ( r ')
∫ dV ( f ∇ g − g∇ f ) =−∫ dV ρ ( r ) G ( r, r ') +ψ ( r ') =0
2
2
ψ ( r ') = ∫ dV ρ ( r ) G ( r, r ')
９０１－11
時間遅延（１）
グリーンの定理：面積分項は零
ややこしいかな：数学的手段としてのグリーン関数
• 微分方程式（グリーン関数）を物理的に解釈すれば
に点源を持つ波動方程式になる。
ψ ( r ) = ∫ dV 'G ( r, r ') ρ ( r ')
r = r'
の位置
• 但し、以下では微分方程式（グリーン関数）を純粋に数学的等式として扱
う。右辺は単なるデルタ関数であり、物理的な意味をもたせない。
r=r
• 微分方程式（関数Ψ）には物理的な意味を持たせる。
i
に「複数の点光源」が存在する波動方程式であると考える。
の位置
観測位置ベクトルと考えてよい
数学的記述：グリーン関数（符号選択は後回し）
± ik r −r '
1 e
1 e ± ikr
G ( r, r ') =
=
4π r − r ' 4π r
数学的な記述：点源の位置ではない
← ∇ 2G ( r, r ') + k 2G ( r, r ') =−δ ( r − r ')
物理的な記述：点光源の位置
物理的記述：複数の点光源による波動方程式
∇ 2ψ ( r ) + k 2ψ ( r ) =
−ρ (r ) =
− ∑ δ ( r − ri )
i =1,2,3,...
９０１－12
時間遅延（２）
解：複数の点光源による波動方程式
ψ (r )
=
'G ( r, r ') ρ ( r ') ∫ dV 'G ( r, r=
') ∑ δ ( r '− r ) ∑ G ( r, r )
∫ dV=
i
i
i
= G ( r, r1 ) + G ( r, r2 ) + G ( r, r3 ) + ...
− ik r −r
i
− ik r −r
− ik r −r
3
1
2
1 e
1 e
1 e
=
+
+
+ ...
4π r − r1 4π r − r2 4π r − r3
負符号（赤色）を採用
もちろん
正符号でも構いませんが….
1 e − ikr1
1 e − ikr2
1 e − ikr3
= +
+
+ ...
4π r1
4π r2
4π r3
 ri =1,2,3,... =
r − ri
符号選択：現実に即した対応をしましょう！
参考までに
想定するシナリオ：複数の点光源による発散球面波の重ね合わせ
仮に正符号を採用するなら、時間項
が波動の振舞いであると考えて時間項
1 e(
ψ ( r, t ) =
4π r1
i ν t − kr1 )
eiν t
を追加
1 e(
+
4π r2
i ν t − kr2 )
e − iν t
を追加
すれば「発散球面波の重ね合わせ」を表現できる。
1 e(
+
4π r3
i ν t − kr3 )
+ ...
９０１－13
時間遅延（３）
遅延時間を明確化
ψ ( r, t ) =
 r 
iν  t − 1 
 c
1 e
4π r1
+
 r 
iν  t − 2 
 c
1 e
4π r2
+
 r 
iν  t − 3 
 c
1 e
4π r3
+ ...
イメージ：発散球面波の重ね合わせ
何が言いたいのかな：波が到達するには時間がかかる！
点光源１
• 時刻ｔに位置
• 各点光源を
合わせ
r
で観測される波動
t − r1,2,3 c
ψ ( r, t )
は
r1
r1
に発した発散球面波の重ね
• 光速ｃが有限である以上、瞬時に波は伝搬せず、到達時間（遅
延効果）を考慮しなければならない。
•
r1,2,3 c
は各点光源からの到達時間に相当
• 波動方程式が線形であることを考慮すれば「重ね合わせ」とい
う考え方に不自然さはない。
r2
r2
点光源２
r3
ψ ( r, t )
点光源３
r3
９０１－14
時間遅延（４）
確認：領域を無限に大きくとることで面積分項が零になる場合（参照：901-９）
2
2
dS
n

f
∇
g
−
g
∇
f
=
dV
f
∇
g
−
g
∇
f ) =− ∫ dV ρ ( r ) G ( r, r ') +ψ ( r ') =0
(
)
(
∫
∫
負符号（赤色）を採用
観測位置
− ik r −r '
1 e
r →∞
f =
G ( r, r ')
=

→
r= r
4π r − r
− ik r −r
e − ikr
f (r ) ∝
r
− ik r −r
− ik r −r
3
1
2
1 e
1 e
1 e
g=
+
+
+ ...
ψ (r ) =
4π r − r1 4π r − r2 4π r − r3
r'
点光源の位置
極限では
や
r1 , r2 , r3 ,...
r→∞
r ', r1 , r2 , r3 ,...  r
1 e − ikr
1 e − ikr
1 e − ikr
e − ikr

→
+
+
+ ... → g ( r ) ∝
4π r
4π r
4π r
r
r →∞
r= r
計算省略：被積分項が零であることは明らか
積分定数：零
lim ∫ dSn( f ∇g − g ∇f ) =
0
r →∞
９０１－15
曲率と曲率半径（１）
曲率半径： radius of curvature
r ∆α  ∆s → r =
=
tan α
曲率半径：微小領域Δsの曲がり具合を円で記述した
ときの半径に相当
ds ds dx
=
dα dx dα
∆α
y ( x)
dy
= y ' ( xα )
dx x = xα
r
dx


∆α ) y ' ( xα=
+
∆
α
y
x
tan (α + =
'
)
+∆α
 α

dα


∆s
省略：添え字「α」
∆x ≡
dx
∆α
dα
→ y ' ( x + ∆x )  y ' ( x ) + y '' ( x ) ∆x
=
tan
(α + ∆α )
α
α + ∆α
y '+ ∆α
tan α + tan ∆α
tan α + ∆α
 =
 y '+ y '' ∆x
1 − tan α tan ∆α 1 − ∆α tan α 1 − ∆α y '
９０１－16
曲率と曲率半径（２）
曲率半径：計算続き
y '+ ∆α  (1 − ∆α y ')( y '+ y '' ∆x )  y '+ y '' ∆x − ∆α ( y ')
2
2
∆α 1 + ( y ')   y '' ∆x


∆x 1 + ( y ')
dx
=

∆α
y ''
dα
2
ds
=
dx
( dx ) + ( dy )
2
2
=
dx
1 + ( y ')
2
3
2
2
1 + ( y ') 
ds ds dx
2 1 + ( y ')


r=
1 + ( y ')
=
=
=
dα dx dα
y ''
y ''
2
曲率半径： radius of curvature
3
2
1 + ( y ') 
1
=

κ
y ''
r
2
r
曲率（ curvature ）：曲率半径の逆数
９０１－17
円と放物線（１）
θ −
円：極座標
x2 + ( y − R ) =
R2
π
2
R
2
x R cos θ ,=
y − R R sin θ
=
近似：原点付近
θ −
π
2
→ θ = ±∆θ −
π
原点付近：放物線
2
π
π


x R=
cos θ R cos  ±∆θ =
=
−  R cos  ∆θ =
  ± R sin ∆θ  ± R∆θ
2
2


2


θ
∆
(
)
π

y − R = R sin θ = R sin  ±∆θ −  → y − R = − R cos ( ±∆θ ) = − R 1 −

2
2




原点付近：放物線
x=
± R∆θ ,
1
1
x2
2
2
y =R ( ∆θ ) = ( R∆θ ) =
2
2R
2R
９０１－18
円と放物線（２）
曲率半径（原点付近）：放物線
1
=
y ( 0 ) 0,=
y ' ( 0 ) 0,=
y '' ( 0 )
R
1 + ( y ') 

=
r ( x) 
y ''
2
x2
x2
=
y =
4 f p 2R
3
2
焦点（focal point）：円
fc = R
R
→ =
r ( 0) R
焦点（focal point）：放物線
=
F
( x, y ) ,
=
P
( 0, f ) ,
p
=
Q
( x, − f )
p
焦点（focal point）：放物線
fp =
FP = FQ
x + ( y − fp ) = ( y + fp )
2
2
2
x2 = ( y + f p ) − ( y − f p ) = 4 f p y
2
x2
x2
=
y=
4 f p 2R
2
⇔
fp =
R
2
R
2
注意：原点付近の振る舞い
• 放物線：原点から「放物線の焦点」までの距離は
円半径Ｒの半値
• 円：焦点は中心に位置するから原点から「円の焦
点」までの距離は円半径Ｒと一致する。
• 曲率半径は放物線であれ円であれ「円半径Ｒ」で
同一となる。
• 円を放物線で近似する場合、「焦点」とは「円の
焦点」であるか「放物線の焦点」であるかよく確
認しましょう！
９０１－19
円と放物線（３）
放物鏡：parabola mirror
• 放物線をｙ軸中心で回転するとパラボラ鏡
• 平行光線は「放物線の焦点」に集光
平行光線
ｙ軸
球面鏡
• 円をｙ軸中心で回転すると球面鏡
• 球面を放物面で近似できる領域で平行光線は
「放物線の焦点」に集光
• 放物面で近似できない領域では集光しない。
x2
y=
4 fp
e y = ( 0,1)
平行光線の単位ベクトル
（赤矢印：＋ｚ方向）
境界面に垂直な単位ベクトル（青矢印）
=
y'
n
y = fp
2 fp
x
→−
→ ( x, −2 f p )
x
2 f para
1
x +4f
2
2
p
ｘ軸
( x, −2 f )
境界面
p
反射光線の単位ベクトル（緑矢印）
 x2
( 0, f p ) −  x, 4 f
p

 
x2
 =
 − x, f p −
4 fp
 

2


x
2
x +  f p −
 → e r =

4 fp







2




−
1
2

x2
 − x, f p −
4 fp

９０１－20



円と放物線（４）
計算例
e y n =
ne r
−2 f p
x 2 + 4 f p2
1
x 2 + 4 f p2
 2

x2
 − x − 2 f p  f p −
2
4 fp

x 2  
fp −

4 f p 
1

x +


2
1
1
x 2 + 4 f p2
x2
x4
x +f − +
2 16 f p2
2
1
x 2 + 4 f p2
2
p



 2
x2 
2
− x − 2 f p + 2 



x2 
=
( −2 f p )  f p + 4 f 
2

p 

x2 
fp +

4 fp 
1

 
 
−2 f p
x 2 + 4 f p2
e y n = ne r
９０１－21
レンズ（１）：波動光学的な取扱い
z= f
ｆ：焦点距離
理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい
ｚ軸
e
z≤ f
→ ∝
z> f
→ ∝e
− i ( kr −ν t )
球面発散波
r
− i ( kr −ν t )
平面進行波
注意：負符号（赤色）採用
z =f
e − ikr
z=0
z< f
z> f
凸レンズの機能：波動光学的に考えるなら球面波（点光源）を平面波に変換
 1 x2 + y 2 
x2 + y 2
x2 + y 2
 f 1 +
→ r = x + y + f = f 1+
 =f +
2
f2
2
f
2f


2
→
球面波：位相のみ
e
2

x2 + y 2 
− ik  f +


2 f 

2
→
レンズ入射側
凸レンズ：レンズ通過で位相シフト（添え字：「ｌ」）
eiθl , θl =
( x, y )
k
x2 + y 2 )
(
2f
e

x2 + y 2 
− ik  f +


2 f 

レンズ出射側
×e
ik
x2 + y 2
2f
→ e − ikz =
e − ikf
下線部：レンズ効果
平面波：位相のみ
何が言いたいのかな：波動光学的な取扱い
•
•
•
•
レンズが無損失であれば「位相シフト」のみ考慮すればよい。
凸レンズの場合：焦点距離（正）
凹レンズの場合：焦点距離（負）
今回は負符号（赤色）を採用した。正符号：次頁参照
９０１－22
レンズ（２）：波動光学的な取扱い
z= f
ｆ：焦点距離
理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい
ｚ軸
e
z≤ f
→ ∝
z> f
→ ∝e
+ i ( kr −ν t )
球面発散波
r
+ i ( kr −ν t )
平面進行波
注意：正符号（青色）採用
z =f
e + ikr
z=0
z< f
z> f
凸レンズの機能：波動光学的に考えるなら球面波（点光源）を平面波に変換
 1 x2 + y 2 
x2 + y 2
x2 + y 2
 f 1 +
→ r = x + y + f = f 1+
 =f +
2
f2
2
f
2f


2
→
球面波：位相のみ
e
2

x2 + y 2 
+ ik  f +


2 f 

2
→
レンズ入射側
凸レンズ：レンズ通過で位相シフト（添え字：「ｌ」）
k
eiθl , θl ( x, y ) =
x2 + y 2 )
−
(
2f
e

x2 + y 2 
+ ik  f +


2 f 

レンズ出射側
×e
− ik
x2 + y 2
2f
→ e + ikz =
e + ikf
下線部：レンズ効果
平面波：位相のみ
何が言いたいのかな：波動光学的な取扱い
• 今回は正符号（青色）を採用した。
• 正符号を採用するとレンズによる位相シフト量が負になる。
• 但し、物理現象の本質は変わらない。
９０１－23
レンズの公式（１）
f
レンズ位置で評価：波動光学的な取扱い
発散球面波
収束球面波
r1 =
( 0, 0, R2 )
( 0, 0, − R1 ) , r2 =
=
rf
, y, 0 ) , k
( x=
左側：発散球面波
ｚ軸
k , R1 , R2 > 0
レンズ
r2
r1
右側：収束球面波
レンズ：位置ベクトル
e
(
− i k r f −r1 −ν t
) × e
ik
x2 + y 2
2f
∝ e
(
+ i k r f −r2 +ν t
位相のみに注目：レンズ位置で連続（計算例：次頁）
r f = ( x, y , 0 )
)
符号選択：次頁参照
x2 + y 2
k x2 + y 2
x2 + y 2
−k r f − r1 + k
 −kR1 −
+k
2f
2 R1
2f
k 1 1
k 1 2
=
−kR1 +  − +  ( x 2 + y 2 ) ⇔ k r f − r2  kR2 +
x + y2 )
(
2  R1 f 
2 R2
レンズの公式：thin lens equation
• 本来は幾何光学における公式ですが、波動光学的な取扱いで導出
• 波動光学的な取扱いでは「単なる変数置換」
• 説明省略：発散、収束の組み合わせは任意
1
1
1
+
=
R1 R2 f
９０１－24
レンズの公式（２）
計算例：符号（青色）に注目
(
e
− i k r f −r1 −ν t
r f − r1
左側：発散球面波
)
×e
ik
x2 + y 2
2f
レンズ
位相のみに注目
(
e
+ i k r f −r2 +ν t
∝
)
r f − r2
右側：収束球面波
+ ik r f −r2
 e − i( k r f −r1 −ν t ) ik x2 + y 2 
e
eiν t
→ 
× e 2 f  eiν t ∝
r f − r2
 r f − r1



注意：時間項は共通
• 時間反転すると波の進行方向が逆転する。
• レンズ透過後に波の進行方向が逆転することはない。
• 符号は実世界の物理現象に合うように選べばよい。
• 符号（青色）を反転させてもよい。但し、レンズによる位
相シフト量が負になる。（参照：901-22）
θ1、 θ2：初期位相を付加
x2 + y 2
− k r f − r1 −ν t + k
− θ=
+ k r f − r2 +ν t − θ 2
1
2f
(
)
k 1 1 2
k 1 2
x + y 2 ) − θ2
−kR1 +  − +  ( x + y 2 ) − θ1 = kR2 +
(
2  R1 f 
2 R2
1 1
1
θ1 + k ( R1 + R2 )
, θ2 =
+
R1 R2 f
９０１－25