97 年度量子力学Ｉ後期末テスト (3/3) 解答例問題１. (1) ハミルトニアン (2) E: 固有値, u(x): (固有値 E に属する) 固有関数． (3) ψ(x, t) = e−iEt/¯h u(x). (4) (3) の結果を使うと， Z ∞ ¯ ∂ h ψ(x)dx i ∂x −∞ Z ∞ h ∂ −iEt/¯h ¯ = u∗ (x)eiEt/¯h e u(x)dx i ∂x −∞ Z ∞ h ∂ ¯ u(x)dx, = u∗ (x) i ∂x −∞ hˆ pi = ψ ∗ (x) となるので，hˆ pi は t に依存しない． (期待値 hˆ pi の定義は問題 3 を見ると思い出せる．) 問題２. (1) (I): (b) uI = A0 e−ikx (= 透過ビーム) (II): (f) uII = Beκx + B 0 e−κx 0 0 (III): (i) uIII = Ceik x + C 0 e−ik x (= 反射ビーム＋入射ビーム)． (2) x = 0 で， uI (0) = uII (0) より A0 = B + B 0 , u0I (0) = u0II (0) より −ikA0 = κ(B − B 0 ). x = L で， 0 0 uII (L) = uIII (L) より BeκL + B 0 e−κL = Ceik L + C 0 e−ik L , 0 0 u0II (L) = u0III (L) より κ(BeκL − B 0 e−κL ) = ik 0 (Ceik L − C 0 e−ik L ). (3) hk ¯ ¯ 0 ¯2 |A0 |2 ¯A ¯ k 透過 flux m 透過率 = = = ¯¯ 0 ¯¯ 0 . 0 hk ¯ 入射 flux C k |C 0 |2 m 問題３. (1) (ψ, ψ) = 1. (2) |(ψ, ϕ)|2 . (3) ˆ † ϕ) = (AˆBψ, ˆ ϕ) = (Bψ, ˆ Aˆ† ϕ) = (ψ, B ˆ † Aˆ† ϕ). (ψ, (AˆB) 任意のψ, ϕ に対して成り立つので， ˆ †=B ˆ † Aˆ† . (AˆB) (4) ˆ ∗ = (ψ, Aψ) ˆ ∗ = (Aψ, ˆ ψ) = (ψ, Aˆ† ψ) = (ψ, Aψ) ˆ = hAi, ˆ hAi ˆ は実数．となるので，hAi 参考平均点 84 点（110 点満点)．皆さんの答案用紙に書いてある点数は 110 点満点のものです．最終成績には, 11 個の小問 (各 10 点満点) の中から各自の点数のいい方から 10 個を選びその合計としました．