講演レジュメ

深谷-加藤の補題と一次元 p 進リー群への帰結
村上和明
はじめに
1
本講演では許容な p 進リー拡大に対する非可換岩澤主予想が一次元の場合
の非可換岩澤主予想に帰着されることを示す. その過程でキーとなるのが, 深
谷-加藤の補題である. 本講演ではまず, 深谷-加藤の補題を認めたうえで岩澤
主予想が 1 次元の場合に帰着されることを示し, 残りの時間で深谷-加藤の補
題の証明を行う.
深谷-加藤の補題
2
2.1
設定
F∞ /F を許容な p-進リー拡大, G = Gal(F∞ /F ) とする. H を F cyc に対応
する G の部分群とする.
Q1 := {U | U は G の正規部分群でかつ H の開部分群 }
とおく.
2.2
深谷-加藤の補題
補題 2.1. 深谷-加藤の補題∼その 1 ([4], Proposition 1.5.1).
K1 (Λ(G)) ∼
K1 (Λ(G)/J(Λ(G))n )
= lim
←
−
n
ただし J(Λ(G)) は Jacobson 根基で, 射影極限は Λ/J n+1 → Λ/J n が誘導す
る K1 の射によってとる.
実際に本講演で利用する深谷-加藤の補題は以下の形である.
補題 2.2. 深谷-加藤の補題∼その 2.
K (Λ(G/U ))
K1 (Λ) ∼
= lim
←− 1
U
ただし U は Q1 全体を動く.
1
一次元 p 進リー群への帰結の証明
3
本節では深谷-加藤の補題を用いて非可換岩澤主予想の証明が一次元 p 進
U
リー群の場合に帰着されることを示す。U ∈ Q1 に対して, F∞
を U に対応す
U
る F∞ /F の中間体, GU = Gal(F∞
/F ) とおく.
命題 3.1. (一次元 p 進リー群に帰着させる命題, [5] Theorem 4.1)
F∞ /F を許容な p 進リー拡大で Hyp. µ = 0 を満たすとする. 以下の条件
(a) と (b) が成り立つならば, F∞ /F で非可換岩澤主予想 (NCIMC) が成立す
る.
U
(a) 任意 U ∈ Q1 に対して, p 進リー拡大 F∞
/F において NCIMC が成り立
つ.
(b) 任意 U ∈ Q1 に対して, K1′ (Λ(GU )) → K1′ (Λ(GU )S ) が単射.
注意 3.2. 仮定から以下の二つが直ちに従う ( 演習問題 ).
U
/F は許容な 1 次元 p 進リー拡大である.
1. F∞
U
2. F∞
/F では Hyp. µ = 0 が成り立つ.
(Proposition 3.1 の証明) Burns-加藤の手法と以下の可換図式による.
0
K ′ 1 (Λ(G))
/ K ′ 1 (Λ(G)S )
/ lim K ′ 1 (Λ(GU ))
←−U
/ lim K ′ 1 (Λ(GU )S )
←−U
∂
/ K0 (Λ(G), Λ(G)S )
/ lim K1 (K1 (Λ(GU )), Λ(GU )S )
←−U
以下の二つを満たす元 ζF∞ /F ∈ K ′ 1 (Λ(G)S ) を見つければよい.
∂(ζF∞ /F ) =
r
ζF∞ /F (κρ ) =
−[C(F∞ /F )]
(1)
LΣ (ρ, 1 − r)
(2)
F∞ /F の特性元 f ∈ K ′ 1 (Λ(G)S ) を一つとる. つまり f は ∂(f ) = −[C(F∞ /F )]
をみたす元とする. f の limU K ′ 1 (Λ(GU )S ) への像を (fU )U と表すことにす
←−
U
る. 図式の可換性より ∂U (fU ) = −[C(F∞
/F )], ただし (∂U )U は図式下段
′
の横矢 (∂U )U : limU K 1 (Λ(GU )S ) → limU K1 (K1 (Λ(GU )), Λ(GU )S ). ま
←−
←−
U /F が存在する. ここで
た仮定 (a) より, 各 U に対して p-進ゼータ関数 ζF∞
−1
U
wU = ζF∞ /F fU , w = (wU ) とおく. 深谷-加藤の補題より w と対応する
K ′ 1 (Λ(G)) も w と表すことにして, ζF∞ /F = f w おけば ζF∞ /F は (1) と (2)
を満たす. (1) は f が特性元なので ∂(f w) = ∂(f )∂(w) = −[C(F∞ /F )] より
わかる. (2) は Artin 表現 ρ の像が有限であることより, 十分小さい単位元の
開近傍 U ∈ Q1 をとれば ρ は G/U 上で定義される表現になることから従う.
(演習問題 3.) ζF∞ /F が (2) を満たすことを示してください.
2
/0
4
深谷-加藤の補題の証明の概略
本節では深谷-加藤の補題の証明の概略を説明する. 講演では p 進リー群に
おける完備群環に限って証明するが, もう少し一般の環に対しても深谷-加藤
の補題は成り立つ. Λ を環とし, 次の条件 (*) を満足するとする.
(*) ある両側イデアル I が存在して, Λ ∼
Λ/I n (つまり, Λ は I 進位相に
= lim
←
−
n
関して完備) であり, Λ/I n が任意の n ≥ で有限である.
注意 4.1. (*) の十分条件として, 「G が位相的に有限生成な pro-p 正規開部
分群を持つ」がある. 従って p 進整数環上の p 進リー群の完備群環は (*) を
満たしている.
証明の概略を行う前に Λ の環論的性質を挙げる. Λ はこれまでと同じく (*)
を満たす環, J をその Jacobson 根基とする.
• Λ は半局所環 (つまり Λ/J が半単純環).
• Λ/J n は任意の n ≥ 1 で有限.
• Λ は J-進位相に関して完備である.
(深谷-加藤の補題の証明の概略) K 群の完全列
1 → K1 (Λ, I) → K1 (Λ) → K1 (Λ/I) → 1
より, 補題の証明はまず以下の相対 K 群の同型に帰着される.
K1 (Λ, J) ∼
K (Λ/J, J/J n )
= lim
←
− 1
n
さらに Verserstein の結果を用いて, 次の単数部分群の同型 (特に全射) に帰着
される.
⟨h(Λ/J n , J/J n )⟩
⟨h(Λ, J)⟩ ∼
= lim
←
−
n
(3)
この同型の証明が、深谷-加藤の補題の証明の本質である. 証明は非可換群の
複雑な計算を行うことによって示される.
補題 4.2. (1) n ≥ 1 で
⟨h(Λ, J n )/(⟨h(Λ, J/J n+1 )⟩⟨h(J, J n )⟩),
⟨h(J, J n )/(⟨h(J, J n+1 )⟩)
は可換群になる.
(2) x, y ∈ Λ, z ∈ J n ならば
h(x + y, z) ≡ h(x, z)h(y, z)
mod ⟨h(Λ, J/J n+1 )⟩⟨h(J, J n )⟩.
3
以下の補題は (3) の全射性を示すうえで本質的である.
補題 4.3. 写像
ϑ:
s
∏
J → ⟨h(Λ, J)⟩;
((xi )i 7→
i=1
s
∏
h(ci , xi ))
i=1
は全射である. ただし (ci )1≤i≤r は加法群 Λ/J の (任意の) 生成系, (ci )r+1≤i≤s
は加法群 J/J 2 の (任意の) 生成系である.
これらの補題を使って証明は完成される.
補足
5
この節では本講演で証明なしで利用する事柄を並べる.
5.1
K1 (R), K1 (R, I) K2 (R) の定義 (復習)
R を環, I を R の両側イデアルとする.
Mn (R) :
=
R 成分の n × n 行列全体,
GLn (R) :
=
{A ∈ Mn (R) | ∃ B ∈ Mn (R)
ei,j (a) :
=
En + aE(i, j) (i ̸= j),
AB = BA = En },
とおく. 但し a ∈ R, En は単位行列, E(i, j) は (i, j) 成分が 1 でその他の成分
は 0 である行列,
En (R) := ei,j (a) : で生成される GLn (R) の部分群である
.
(
)
g 0
を使って
埋め込み GLn (R) → GLn+1 (R) ; g 7→
0 1
GL(R) :
=
GL(R, I) :
=
E(R) :
=
E(R, I) :
=
lim
−→n GLn (R),
{A ∈ GL(R) | ∃ n A ≡ En mod I},
lim
−→n En (R),
{ei,j (a) ∈ E(R) | a ∈ I} を含む GL(R) の最小の正規部分群
と定義する. このとき K1 (R), K1 (R, I) K2 (R) を以下のように定義する.
定義 5.1. (K1 (R), K1 (R, I) K2 (R) の定義)
K1 (R) :
=
GL(R)/[GL(R), GL(R)],
K1 (R, I) :
=
GL(R, I)/E(R, I),
K2 (R) :
=
H2 (E(R), Z).
4
5.2
K 群の性質
命題 5.2. (K 群の完全列 [6] Theorem 6.2)
K2 (R) → K2 (R/I) → K1 (R, I) → K1 (R) → K1 (R/I) → · · ·
は完全列である. さらに R/I が半局所環ならば K1 (R) → K1 (R/I) は全射.
命題 5.3. (K2 の性質)
K2 ( 有限体 ) = 0 である.
命題 5.4. ( 森田同値 )
K2 (R) ∼
= K2 (Mn (R)).
5.3
射影極限
命題 5.5. (射影極限の完全列)
0 → {An } → {Bn } → {Cn } → 0 をアーベル群の逆系の完全列とすれば,
0 → lim An → lim Bn → lim Cn
←
−
←
−
←
−
n
n
n
は完全列であるさらに以下の条件の一方を満たすなら,
0 → lim An → lim Bn → lim Cn → 0
←
−
←
−
←
−
n
n
n
は完全列.
(1) {An } が全射的 (任意の n で An+1 → An が全射)
(2) An が任意の n で有限
参考文献
[1] John Henry Coates, Peter Schneider, Ramdorai Sujatha and Otmar
Venjakob edt., Noncommutative Iwasawa Main Conjectures over Totally Real Fields, Springer Verlag (2012).
[2] Charles Whittlesey Curtis and Irving Reiner, Methods of Representation Theory: With applications to finite groups and orders, Volume 1,
Wiley, New York (1981).
[3] Charles Whittlesey Curtis and Irving Reiner, Methods of Representation Theory: With applications to finite groups and orders, Volume 2,
Wiley, New York (1987).
5
[4] Takako Fukaya and Kazuya Kato, A formulation of conjectures on padic zeta functions in noncommutative Iwasawa theory, Proceedings of
the St. Petersburg Mathematical Society, Vol. XII, 1-85, Amer. Math.
Soc. Transl. Ser. 2, 219, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006).
[5] Mahesh Ramesh Kakde, The main conjecture of Iwasawa theory for
totally real fields, Invent. Math., 193, no.3, 539-626 (2013).
[6] John Willard Milnor, Introduction to Algebraic K-theory, Annals of
Mathematics Studies, Princeton University Press, Princeton (1971).
6

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