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Calculus 2 Problem Set 2 October 2014
[1] 次の関数の定義域と値域を求めよ。
(1) f (x, y) = √
1
,
1−x2 −y 2
(2) z = log xy .
[2] 次の極限を求めよ。
(1)
(4)
(7)
3x2 − y 2 + 5
, (2)
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 2
√
lim
cos 3 |xy| − 1, (5)
lim
ex−y , (3)
lim
(x,y)→(0,log 2)
lim
√
(x,y)→(3,4)
x2 + y 2 − 1,
ey sin x
x2 − 2xy + y 2
, (6)
lim
,
x
x−y
(x,y)→(0,0),x=0
(x,y)→(1,1)
(x,y)→(1,1),x=y
√
√
√
x−y+2 x−2 y
2x − y − 2
√
lim
, (8)
lim
√
x− y
(x,y)→(0,0),x>0,y>0,x=0
(x,y)→(2,0),2x−y−1=0 2x − y − 1
lim
[3] 次の極限は存在しないことを示せ。
(1)
√
lim
(x,y)→(0,0)
x
x2 + y 2
,
x2 + y
y
(x,y)→(0,0),y=0
(2)
lim
[4] 次の関数 f (x, y) について fx , fy を求めよ。
(1) f (x, y) = 3x2 + 2y + 1,
(5) f (x, y) =
x
,
1 + ey
(2) f (x, y) = 2x2 ey , (3)
f (x, y) = x2 + exy ,
(6) f (x, y) = (9x2 y + 3x)12 , (7)
(8) f (x, y) = (x − log y)exy ,
(9) f (x, y) =
(11) f (x, y) = 2x2 + 3xy − 4y 2 ,
(12)
x−y
, (10)
x+y
z = xy , (13)
(4) f (x, y) =
y2
,
x
f (x, y) = x2 e3x log y,
f (x, y) =
2xy
ex
f (x, y) = log xy , (14) z = x sin y,
(15) f (x, y) = sin x + sin y + cos(x + y), (16) z = ex cos y + ey sin x, (17) z = (x2 + 2y)ex ,
(18) f (x, y) =
[5]
x
x2 +y 2 ,
(19) z = sin(x + y) cos(x − y).
f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 + 3x + 5y について fx (2, −3), fy (2, −3) を求めよ。
[6] f (x, y) = xye2x−y について fx (1, 2), fy (1, 2) を求めよ。
[7] 次の関数について 2 階偏微分
(1) f (x, y) = x3 y + 2xy 2 ,
∂2f ∂2f ∂2f ∂2f
,
,
,
を求めよ。
∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x
(2) f (x, y) = xey + x4 y + y 3 ,
(3) f (x, y) = x2 − 2xy + y 3 ,
(4) z = sin(2x − 3y), (5) f (x, y) = xe2y , (6) z = log(1 + x2 + y 2 ),
(7) f (x, y) = ex sin y − ey cos x,
(8)
z=
x−y
x+2y .

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