演習問題解答

演習問題解答
第8章
出題：2014 年 1 月 24 日，配布：web
8.1
(a)
制御対象 GP (s) のボード線図の概略形は Fig.1 のようになる．図より，ゲイン線図
が 0[dB] を通過する周波数 ωG はおよそ ωG ≃ 0.1，位相線図が −180 [deg] を通過する
周波数 ωP はおよそ ωP ≃ 3 である．なお，より正確に求めたい場合は，GP (jω) を計
算して |GP (jωG )| = 1，̸ GP (jωP ) = −π (Im[GP (jωP )]= 0) を ωG ，ωP について解く．
ω = ωG において位相はおよそ −90 [deg] であるから，−180 [deg] までの位相余裕
は ϕM = 90[deg] である．また，ω = ωP においてゲインはおよそ −40[dB] であるから，
0[dB] までのゲイン余裕は GM = 40[dB] である．
定常速度および位置偏差定数は
1
1
1
× =
= 0, Kp = lim GP (s) = ∞
s→0
1 + GP (s) s
1 + Kp
1
1
1
1
= lim s
× 2 =
= 10, Kv = lim sGP (s) =
s→0 1 + GP (s)
s→0
s
Kv
10
esp = lim s
s→0
esv
となる．GP (s) は積分器
1
s
を持つため，定常位置偏差定数 esp は常にゼロである．
1
s
制御対象
1
0.1s + 1
20
0
]B -20
[d -40
ンイ
ゲ -60
1
10
GM
-80
1
s +1
-100
-120 -2
10
-1
10
0.2
10
0
10
2
1
2
50
5
0
10
-45
]g -90
ed
[ -135
相
位-180
φM
-225
-270 -2
10
-1
ωG 10
0
10
角周波数 [rad/s]
ωP
Fig. 1 8.1 (a)
10
1
10
2
8.1
(b)
ゲインが K = 1 のとき，開ループ伝達関数 L(s) = KGP (s) は Fig.1 と一致する．ゲ
イン K を増加すると，ゲイン線図が上方向に平行移動するため，ωG は ωG = 1 から増
加していく．一方，位相線図は変化しないため，位相余裕 ϕM は 90[deg] から減少して
いく．
以上のことを踏まえると，ゲイン K を増加して ωG = 1 となったとき，位相余裕は
ϕM = 45[deg] となることがわかる．そのためには，ゲイン線図 +20[dB] 増加するゲイン
K として，K = 10 とすれば良い．このときの L(s) のボード線図が Fig.2 の実線であり，
ωP ≃ 3 であることが見て取れる．したがって，ゲイン余裕は図よりおよそ GM ≃ 20[dB]
となる．
なお，定常速度偏差定数は
esv lim s
s→0
1
1
× 2 =1
1 + 10GP (s) s
である．
制御対象＋ゲイン調整法
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 -2
10
]B
d[
ンイ
ゲ
GM
-1
0
10
10
1
10
2
1
10
2
10
0
-45
]g -90
ed
[ -135
相
位-180
φM
-225
-270 -2
10
-1
10
ωG
0
10
角周波数 [rad/s]
Fig. 2 8.1 (b)
ωP
10
8.1
(c)
CC (s) および L(s) = GC (s)GP (s) のボード線図の概形は Fig.3 のようになる (黒の実
線が GC (s)，青の実線が L(s))．概形図より，およそ ωG ≃ 0.4，ωP ≃ 5 である．した
がって，図より，ω = ωG のときの位相線図の値から，位相余裕はおよそ ϕM ≃ 70[deg]，
ω = ωP のときのゲイン線図の値から，ゲイン余裕はおよそ GM ≃ 25[dB] であることが
分かる．
なお，定常速度偏差定数は
esv = lim s
s→0
1
1
1
= 2.5
× 2 =
1 + GC (s)GP (s) s
4Kv
である．
制御対象＋位相進み補償器
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 -2
10
4
]B
d[
ンイ
ゲ
90
45
0
-45
-90
-135
-180
-225
-270 -2
10
]g
ed
[
相
位
0.5s + 1
0.2s + 1
GM
-1
0
10
10
0.4
2
1
2
5 10
1
10
10
2
10
2
25
φM
-1
10
ωG
0
10
角周波数 [rad/s]
Fig. 3 8.1 (c)
1
ω P 10
8.1
(d)
CC (s) および L(s) のボード線図の概形は Fig.4 のようになる (黒の実線が GC (s)，青
の実線が L(s))．図より，ωG ≃ 0.1，ωP ≃ 3 である．したがって，図より，ω = ωG の
ときの位相線図の値から，位相余裕はおよそ ϕM ≃ 45[deg]，ω = ωP のときのゲイン線
図の値から，ゲイン余裕はおよそ GM ≃ 40[dB] であることが分かる．
なお，定常速度偏差定数は
esv = lim s
s→0
1
1
1
=1
× 2 =
1 + GC (s)GP (s) s
10Kv
である．
Fig. 4 8.1 (d)
8.2
8.3
P 制御としてゲイン KC を用いたときの閉ループ系の特性多項式は ϕ(s) = s3 +
3s2 + 3s + 1 + KC であり，安定限界の KC は ϕ(jωC ) = 0 で与えられる．これよ
√
り ωC = 3，TC = 2π/ωC ≃ 3.63，KC = 8．したがって，P 制御：KP = 4，PI
制御：KP = 3.6, TI = 3.01，PID 制御：KP = 4.8, TI ≃ 1.82, TD = 9.454．
′
′
(G−1
P GP + GP GCB )GD
(a) Gyr (s) =
1 + G′P GCB
上式において GP (s) = G′P (s) とすれば Gyr (s) = GD (s) である．

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