ON A STABILITY FOR GENERALIZED
FEYNMAN-KAC SEMIGROUPS OF STABLE-LIKE
PROCESSES
金大弘・桑江一洋
(熊本大学自然科学研究科)
1. 枠組
X を Rd 上の対称な α-安定型過程で α ∈]0, 2[ とする (see [4]). 対応
する L2 (Rd ) 上のディリクレ形式 (E, F) は
{
}
∫ ∫
(f (x) − f (y))2
2
d
F = f ∈ L (R ) :
dxdy < ∞
|x − y|d+α
Rd Rd
∫ ∫
1
(f (x) − f (y))(g(x) − g(y))c(x, y)
E(f, g) =
dxdy, f, g ∈ F
2 Rd Rd
|x − y|d+α
で与えられる, ここで c(x, y) は Rd × Rd 上の対称な可測関数で, ある
0 < c1 < c2 に対して c1 ≤ c(x, y) ≤ c2 for x, y ∈ Rd をみたすとする.
Chen-Kumagai [4] の結果から X は ]0, +∞[×Rd × Rd 上で局所 H¨older
連続な熱核 pt (x, y) を許容する. d > α を仮定する, すなわち X が過渡
的とする. さらに(X の熱核 pt (x, y)
) が安定過程の熱核と上下比較可能で
ある: pt (x, y) ≃ t−d/α ∧ |x−y|t d+α ∀(t, x, y) ∈]0, ∞[×Rd × Rd 1. β > 0
∫∞
に対して Rβ (x, y) = 0 e−βt pt (x, y)dt, x, y ∈ Rd , を β-位のレゾルヴェ
∫
ント核とする. 非負ボレル測度 ν に対して Rβ ν(x) := Rd Rβ (x, y)ν(dy),
Rν(x) := R0 ν(x) と記し, 非負もしくは有界ボレル関数 f に対して
ν(dx) = f (x)dx のとき Rβ f (x) = Rβ ν(x) と記す. Rd ∪ {∂} を Rd の一
点コンパクト化とする. 増大する閉集合列 {Fk } が狭義 E-巣 であると
は Px (limk→∞ σFkc = ∞) = 1 a.e. x ∈ Rd が成立することとする. ここ
で σFkc := inf{t > 0 | Xt ∈ Rd \ Fk } は Xt の Fkc := Rd \ Fk への最小到
達時刻である. Rd ∪ {∂} 上の関数 f が 狭義 E-準連続であるとは閉集
合からなる狭義 E-巣 {Fk } で f |Fk ∪{∂} が各 k ∈ N 毎に連続になること
をいう. QC(Rd ∪ {∂}) で Rd ∪ {∂} 上の全ての狭義 E-準連続関数の全
体とする.
Proposition 4.1] では (t, x, y) ∈]0, 1] × Rd × Rd で安定過程の熱核と上下比較可
能であることしか示されていない. しかし scaling した熱核に対応するディリクレ形
式も α-安定型過程に対応するものであることと, α-安定過程の熱核 pt (x, y) の scaling
property pt (x, y) = t−d/α p1 (t−1/α x, t−1/α y), t ∈]0, +∞[, x, y ∈ Rd から時間に関し
て大域的な上下評価が得られる.
1[4,
1
S1 (X) で安定型過程 X での狭義の意味で滑らかな測度の全体とす
る ([5] を参照せよ). [5] での一般論から S1 (X) の元 ν には全ての出
発点で確率 1 で定義される古典的な意味での正値連続加法的汎関数
(PCAF と記す) Aνt が Revuz 対応する ([5] を参照せよ). 測度 ν ∈
S1 (X) がディンキンクラス (resp. グリーン有界) とは supx∈Rd Rβ ν(x) <
∞ ∃β > 0 (resp. supx∈Rd Rν(x) < ∞) のこととする. 測度 ν ∈
S1 (X) が 加藤クラス とは limβ→∞ supx∈Rd Rβ ν(x) = 0 のこととする
1
1
(X) (resp. SD
(X)) で ディンキンクラスの (resp. グリーン有界な)
SD
0
1
1
測度の全体とし, SK
(X) で加藤クラスの測度の全体とする. SK
(X) ⊂
1
1
1
SD (X) と SD0 (X) ⊂ SD (X) が自明に成立する. X のレヴィ系 (N, H) は
N (x, dy) = 2c(x, y)|x − y|−(d+α) dy と Ht = t で与えられる. すなわち,
Rd ×Rd 上の任意の非負ボレル関数 φ で対角線上で
[∫ ∫0 になるものと任意の]
[∑
]
t
2c(Xs ,y)φ(Xs ,y)
d
x ∈ R に対し, Ex
dyds
s≤t φ(Xs− , Xs ) = Ex
|Xs −y|d+α
0 Rd
{∫
}
2c(x,y)φ(x,y)
が成立する. 記法の簡明化のため µφ (dx) :=
dy dx と
Rd |x−y|d+α
表す.
X の細位相で連続な有界関数 u ∈ Floc ∩ QC(Rd ∪ {∂}) をとる. 文献
1
[6, Theorem 6.2(1)] において以下のことを示した: 条件 µ〈u〉 ∈ SD
(X)
の下, 加法的汎関数 u(Xt ) − u(X0 ) が次の意味で分解できる (一般化さ
れた福島分解の精密化, 文献 [6, Appendix] を参照されたい);
(1.1)
u(Xt ) − u(X0 ) = Mtu + Ntu
t ∈ [0, +∞[ Px -a.s. ∀x ∈ Rd .
ここで M u は古典的な意味での２乗可積分マルチンゲール加法的汎関
数2で, その二次変分過程 〈M u 〉t は PCAF であり, 対応する Revuz 測度
が µ〈u〉 となるものである. また N u は古典的な意味で連続加法的汎関
数で局所的にエネルギー 0 となるものである.
2. Gaugeability の解析的特徴付け
符号値測度 µ を µ := µ1 − µ2 , µ1 , µ2 ∈ S1 (X) で固定する. F を
Rd × Rd 上の有界な対称ボレル可測関数で対角線上で 0 になるものとす
る. F± := max{±F, 0} とおく. F := F+ − F− が クラス J1 (X) (resp.
1
1
JD1 (X), JD1 0 (X)) に属すとは µ|F | ∈ S1 (X) (resp. SD
(X), SD
(X)) が
0
成立することとする. そのような F は F = F1 − F2 の形の表現で
各 Fi (i = 1, 2) が Rd × Rd 上の有界な対称ボレル可測関数で対角線上
1
で 0 になるもので表現できる. もし F1 + F2 ∈ J1 (X) (resp. JD
(X),
1
1
1
JD0 (X)) なら F ∈ J1 (X) (resp. JD (X), JD0 (X)) が成立する. この
場合, 次の純飛躍型加法的汎関数 AF が古典的な意味で定義可能であ
2必ずしもエネルギー有限ではない.
∑
る: AFt = AFt 1 − AtF2 , AtFi := 0<s≤t Fi (Xs− , Xs )(i = 1, 2). 有界関
数 u ∈ Floc で µ〈u〉 ∈ S1 (X) をみたすものと F1 + F2 ∈ J1 (X) に対し
て F u (x, y) := F (x, y) + {−u(y) − (−u(x))} = F (x, y) + u(x) − u(y)
u
と Gu = eF − 1 を定め, F 0 = F and G0 = G := eF − 1 と記す.
(F u )2 ∈ J1 (X) が成立することから, 純不連続な局所自乗可積分局所マ
u
u
ルチンゲール加法的汎関数 M F が MtF = MtF + Mt−u で定義される.
ここで MtF = AFt − Aµt F , t ∈ [0, +∞[. さらに Gu − F u ∈ J1 (X) かつ
(Gu )2 ∈ J1 (X) が成立することから純不連続な局所自乗可積分局所マル
u
u
u
u
u
µ u u
チンゲール加法的汎関数 M G が MtG = MtF + AtG −F − At G −F で
u
u
定義される. Yt := Exp(M G )t を MtG の Dol´eans-Dade 指数関数, す
∫t
u
なわち Yt は次の SDE Yt = 1 + 0 Ys− dMsG ∀t ∈ [0, +∞[, Px -a.s. の
( Fu
µ u u)
解とする. このとき Yt は Yt = exp Mt − At G −F と表現される.
Yt は全ての t ∈ [0, +∞[ で定義される正値局所マルチンゲールで優マ
e∞, F
et, X
et , PYx ) を Yt に
ルチンゲール乗法的汎関数になる. Y = (Ω, F
よる X の変換過程とする (Girsanov 変換). Y の推移関数 {PtY }t≥0 は
et )] := Ex [Yt f (Xt )] で定める.
PtY f (x) = EYx [f (X
加法的汎関数 A := N u + Aµ + AF による非局所ファインマン・カッ
ツ変換
(2.1)
eA (t) := exp(At ),
t≥0
を考える. F を次で定める非局所線形作用素とする:
∫
Ff (x) :=
Rd
2c(x, y)G(x, y)f (y)
dy,
|x − y|d+α
f ∈ Bb (Rd ).
eA (t) は形式的な生成作用素 H := L + Lu + dF による半群 PtA f (x) :=
Ex [eA (t)f (Xt )] を形成する. ここで L は X の半群の生成作用素であ
り, dF は次で定められる符号測度値作用素である: dFf := Ff (x)dx.
測度 µV := µ1V − µ2V を µ1V := µ1 + µGu −F u +F1 と µ2V := µ2 + µF2 で
(
u
µ u u)
定める. Yt = exp MtF − At G −F から全ての t ∈ [0, +∞[ に対して
(2.2)
(
)
eA (t) = eu(Xt )−u(X0 ) exp −Mtu + Aµt + AFt = eu(Xt )−u(X0 ) Yt exp (Aµt V )
となる. これは x ∈ Rd と f ∈ B+ (Rd ) に対し, 次の表示を与える:
[
]
et ) .
(2.3) PtA f (x) := Ex [eA (t)f (Xt )] = e−u(x) EYx exp (Aµt V ) (eu f )(X
1
1
(X) と F1 +F2 ∈ JD1 (X) の条件下で明らかに µ1V , µ2V ∈ SD
(X)
µ〈u〉 ∈ SD
となる. これらの条件下で２次形式 (Q, F) を次のように定める.
∫
(2.4) Q(f, g) : = E(f, g) + E(u, f g) −
f gdµ
Rd
∫ ∫
2f (x)g(y)c(x, y)G(x, y)
−
dxdy, f, g ∈ F.
|x − y|d+α
Rd Rd
また同じ条件下で µV := µ1V − µ2V として
¯
}
{
∫
¯
¯
(2.5)
λQ (µ1V ) := inf Q(f, f ) ¯ f ∈ C0∞ (Rd ),
f 2 dµ1V = 1 .
¯
d
R
と定める. 測度 ν ∈ S1 (X) がグリーン緊密な加藤クラスであるとは任
意の ε > 0 に対し Rd の ν-測度有限なボレル集合 K = K(ε) と δ > 0 で
ν(B) < δ をみたす可測集合 B ⊂ K に対して supx∈Rd R(1B∪K c ν)(x) < ε
1
が成立することとする. SCK
(X) でグリーン緊密な加藤クラスの全体
∞
とする. 測度 ν ∈ S1 (X) がグリーン半緊密な拡張された加藤クラスで
あるとは Rd の ν-測度有限なボレル集合 K と δ > 0 で ν(B) < δ をみ
たす可測集合 B ⊂ K に対して supx∈Rd R(1B∪K c ν)(x) < 1 が成立する
1
こととする. SCK
(X) でグリーン半緊密な拡張された加藤クラスの全
1
体とする .
文献 [7, Theorems 1.1 and 1.2] において, 一般化されたファインマン・
カッツ汎関数 g(x) := Ex [eA (∞)] の gaugeability と同値な条件に関し
て一般的な結果を得た. これは文献 [2, 3] や [12] の結果を全て包括する
一般的な結果である. [7, Theorems 1.1 and 1.2] を α-安定型過程の枠組
みで述べると以下の主張になる:
定理 2.1 ([7, Theorems 1.1 and 1.2]). u ∈ Floc ∩ QC(Rd ∪ {∂}) が有
1
界で Rd 上細位相で連続なボレル関数とし, µ1 ∈ SCK
(X), µ〈u〉 + µF1 ∈
1
1
1
SCK∞ (X) かつ µ2 + µF2 ∈ SD0 (X) とする. このとき次の主張が同値に
なる:
(1) 汎関数 (2.1) はゲージアブル, すなわち supx∈Rd Ex [eA (ζ)] < ∞
が成立する.
(2) 汎関数 (2.1) は条件付きゲージアブル, すなわち
sup
(x,y)∈Rd ×Rd ,x̸=y
Eyx [eA (ζ y )] < ∞
が成立する. ここで Pyx はグリーン核を用いた h(·) := R(·, y)
によるデューブの h-変換過程の確率法則である.
∫∞
(3) (劣臨界性): 各 x ∈ Rd 毎に, RA (x, y) := 0 PtA (x, y)dt < ∞
for a.e. y ∈ Rd \ {x}. ここで PtA (x, y) は汎関数 (2.1) の積分核
である.
(4) (劣臨界性): 全ての異なる x, y ∈ Rd に対し RA (x, y) < ∞.
(5) (解析的特徴付): λQ (µ1V ) > 0.
注意 2.2.
(1) [7, Theorems 1.1 and 1.2] の最初の版では証明の技術的
1
理由から µ1 ∈ SCK
(X) を仮定しており [2, 3] の諸結果を必ずし
∞
も包括していない結果であった. これはグリーン半緊密な拡張さ
1
れた加藤クラス測度の族 SCK
(X) がギルサノフ変換後に同じ性
1
質を保つことを証明することが困難であったことに起因する. 最
1
1
近になって SCK
(X) の概念を拡張し, 拡張されたクラス SNK
(X)
1
1
がギルサノフ変換後の法則の下で同じ性質を保つことを示すこ
1
1
とができ µ1 ∈ SCK
(X)(正確にはより一般な µ1 ∈ SNK
(X)) 条
1
1
件下で [2, 3] を包括出来る形で [7, Theorems 1.1 and 1.2] を改訂
することができた.
(2) 文献 [9] において, 解析的特徴付条件 (5) は, 種々の時間変更過
程に対応した作用素のスペクトルの下限の正値性条件に言い
換えることができることを示した. 結果として gaugeability,
conditional gaugeability や劣臨界性の解析的特徴付の与え方は
一意的でないことがより明確になった. もともと gaugeability
の解析的特徴付けは有界領域での吸収壁ブラウン運動と加藤ク
ラス関数をシュレディンガー作用素のポテンシャルとする枠組
で Aizenman-Simon [1, Theorems A.4.1 and A.4.9] において最
初に与えられた. [12, Theorem 2.4] で与えた gaugeablity の解析
的特徴付けは直接的に [1, Theorems A.4.1 and A.4.9] の結果を
反映したものではないが [2, Theorem 2.12] や [3, Theorem 3.3]
は [1, Theorems A.4.1 and A.4.9] を反映した特徴付けになって
いる. [9] では [1, Theorems A.4.1 and A.4.9] の結果を一例とし
て [2, Theorem 2.12] や [3, Theorem 3.3] の結果を包括する形で
gaugeability の解析的特徴付けを一般的な定式化で与えている.
(3) 定理 2.1 は次節の定理 3.1の証明に用いる.
3. 結果
α-安定型過程において一般化されたファインマン・カッツ汎関数の
gaugeability と一般化されたファインマン・カッツ半群の積分核の超縮
小性, 及び安定過程の熱核との大域的な上下比較とがそれぞれ同等であ
ることを示した ([8, Theorem 3]):
定理 3.1 ([8, Theorem 3]). u ∈ Floc ∩ QC(Rd ∪ {∂}) が有界で Rd 上細
1
1
(X) か
位相で連続なボレル関数とし, µ1 ∈ SCK
(X), µ〈u〉 + µF1 ∈ SCK
∞
1
1
つ µ2 + µF2 ∈ SD
(X) とする. このとき次の主張が同値になる:
0
(1) λQ (µ1V ) > 0.
(2) 定数 C = C(α, d, u, F ) > 0 がとれて ∥PtA ∥1,∞ ≤ Ct−d/α ∀t > 0
が成立する.
(3) 定数 Ci = Ci (α, d, u, F ) > 0, i = 1, 2 がとれて
(
)
(
)
t
t
−d/α
A
−d/α
C1 t
∧
≤ pt (x, y) ≤ C2 t
∧
|x − y|d+α
|x − y|d+α
が ∀(t, x, y) ∈]0, +∞[×Rd × Rd で成立する.
注意 3.2.
(1) 定理 3.1の主張は [13] の結果の拡張になる. [13] では
u = µ2 = F = 0 の枠組みでゲージ関数 h(x) := Ex [exp(Aµ∞1 )] に
対して h − 1 = R(hµ1 ) に福島分解を適用するため (i.e., h − 1 =
R(hµ1 ) を拡大ディリクレ空間 Fe の元にするため) µ1 がエネル
ギー有限測度になることを仮定している. 我々の議論は一般化
された福島分解 (文献 [6] を参照されたい) を用いるため, この仮
定が不要になる. また u = µ1 = F = 0 で µ2 ̸= 0 の場合でも
今までに知られていない新しい結果になっている. この場合は
∫
1
µ1V = 0, µ2 ∈ SD
(X) の条件下で Q(f, g) = E(f, g) + Rd f gdµ2
0
なので条件 (1) は λQ (µ1V ) = +∞ で自動成立する状況となって
いる. つまり, グリーン有界な測度による X の subprocess の熱
核はもとの X の熱核と大域的に比較可能であることをも主張し
ている.
(2) 主定理は安定型過程の枠組みで述べてはいるが, 同様な主張が
1
相対論的安定型過程 (u = µ2 = F = 0 で µ1 ∈ SCK
(X)∩S0 (X)
∞
のときは文献 [14] を参照されたい, ここで S0 (X) はエネルギー
有限測度の全体である) や (条件の若干の修正がいるが) 多様体
上のブラウン運動の枠組みでも成立する.
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Schr¨
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Kazuhiro Kuwae
Department of Mathematics and Engineering
Graduate School of Science and Technology
Kumamoto University
Kumamoto, 860-8555
JAPAN
E-mail address: [email protected]
Daehong Kim
Department of Mathematics and Engineering
Graduate School of Science and Technology
Kumamoto University
Kumamoto, 860-8555
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