Quiz3

2013 EM2 Quiz3
[1]
図の様に面積 S の柱状のチューブ内を強さ I の電流が一様に流れている。
(x + x)
x + x
I
ex
(x)
x
S
1. 長さ ∆x の円筒の抵抗を ∆R としてこれらと図に記した記号を用いて、オー
ムの法則を書け。
2. S ∆R
は物質定数と考えられ、これを ρ と書こう（抵抗率と呼ばれる）。 ∆x
I
S ex ≡ −j とおいて、オームの法則を、∆x → 0 の極限で j 、ρ、φ、x を
用いて書きかえよ。
3. j = σE により講義で導入した σ （電気伝導率）と ρ を関係づけよ。 [cf. 砂
川 p108]
[2]
j = σE 、ρ = 0 の場合に電信方程式
(
)
( )2
∂
∂
4 − µ²
− µσ
E(x, t) = 0
∂t
∂t
(
)
( )2
∂
∂
4 − µ²
− µσ
B(x, t) = 0
∂t
∂t
を導出せよ。
[3] EdivE − E × rotE の i 成分
1
(EdivE − E × rotE)i = ∂j (E i E j − δ ij E k E k )
2
1
を確認せよ。但し j 及び k に関する和は暗黙の了解とする。
[1] の解答例
1.
I=
2. ρ ≡ S
φ(x + ∆x) − φ(x)
∆R
(1)
∆R
とおく。(1) の両辺を S で割ると
∆x
I
φ(x + ∆x) − φ(x)
=
S
S∆R
となり、これに ρ を用いると
I
φ(x + ∆x) − φ(x)
=
S
ρ∆x
となる。さらに ∆x → 0 の極限をとると
I
1 ∂φ(x)
=
S
ρ ∂x
が得られる。図よりベクトルの方向を読み取ると
j=−
1 ∂φ(x)
ex
ρ ∂x
を得るのである。
3.
E=−
(2)
∂φ(x)
ex
∂x
であるから (2) と j = σE より
σ=
1
ρ
を得る。
[2] の解答例
Maxwell 方程式は j = σE 、ρ = 0 において
divD = 0
(3)
divB = 0
(4)
rotH = σE +
rotE = −
2
∂B
∂t
∂D
∂t
(5)
(6)
であり、また E, D 及び B, H の関係は
D = ²E , H =
1
B
µ
である。なお今は ², µ は定数である。
rotrotB = ∇(∇ · B) − 4B
及び (5) の rot をとると左辺について
1
rotrotB
µ
1
= − 4B
µ
rotrotH =
となり、右辺については
σrotE +
となる。
∂B
∂2B
∂
rotD = −σ
−² 2
∂t
∂t
∂t
(
∴
(
4 − µ²
∂
∂t
)2
∂
− µσ
∂t
)
B(x, t) = 0
一方で
rotrotE = ∇(∇ · E) − 4E
及び (6) の rot をとると左辺について
rotrotE = −4E
となり、右辺については
−
となる。
∂
∂
rotB = −µ rotH
∂t
∂t
∂ 2E
∂E
− µ² 2
= −µσ
∂t
∂t
(
∴
(
4 − µ²
∂
∂t
)2
∂
− µσ
∂t
)
E(x, t) = 0
[3] の解答例
(EdivE − E × rotE)i =
∑
j
3
Ei ∂j Ej − (E × rotE)i
ここで rotE =
∑
j,k,l
ej ²j,k,l ∂k El より
E × rotE =
∑
Ei ei ×
i
∑
=
∑
ej ²j,k,l ∂k El
j,k,l
²hij ²j,k,l Ei ∂k El eh
h,i,j,k,l
=
∑
(δhk δil − δhl δik )Ei ∂k El eh
h,i,k,l
=
∑
Ei ∂h Ei eh −
h,i
=
∑
Ei ∂i Eh eh
h,i
∑
(Ej ∂i Ej − Ej ∂j Ei )ei
j,i
となるので、
(EdivE − E × rotE)i =
∑
Ei ∂j Ej −
j
=
∑
∑
(Ej ∂i Ej − Ej ∂j Ei )
j
(Ei ∂j Ej − Ej ∂i Ej + Ej ∂j Ei )
j
∑{
}
1
=
∂j (Ei Ej ) − ∂i (Ej Ej )
2
j
∑
∑1∑
=
∂j (Ei Ej ) −
δij ∂j (Ek Ek )
2 j
j
k
{
}
∑
1 ∑
=
∂j Ei Ej − δij
(Ek Ek )
2
j
k
を得る。今は ﬂat な３次元空間上でテンソル量を考えており、計量は gij = δij dxi dxj
であるから添え字の上げ下げは自由に行ってよい。こうして
{
}
∑
∑
1
(EdivE − E × rotE)i =
∂j E i E j − δ ij
(E k E k )
2
j
k
を得る（問題分にあるのは和の記号を省略したもの）。
4

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