dy - 数学専門塾Lumiere

数学特殊講座Ⅲ
＜微分⽅方程式＞
Lumiere
数学専門塾：
１
第１章：最も簡単な微分方程式
微分⽅方程式：
の⼀一般解は、 y =
dy
= f ( x)
dx
∫ f ( x ) dx + C
（ C は任意定数）
【１１】（１）次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
dy
= x2 − x + 2
dx
（２）この微分⽅方程式を、初期条件『 x = 1, y = 3 』のもとで解け。
【１２】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１）
dy
= ey
dx
（２）
dy
= y
dx
【練習問題１】
（１）次の微分⽅方程式の⼀一般解を求め、さらに、初期条件『 x = e, y = 0 』のもとで解け。
dy
= log x + 1
dx
（２）次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
dy
= xe2 x
dx
２
第２章：変数分離形微分方程式
微分⽅方程式：
dy f ( x )
=
dx g ( y )
の⼀一般解は、変数を分離して、
g ( y ) dy = f ( x ) dx
両辺を積分して、
∫ f ( y ) dy = ∫ g ( x ) dx + C
（ C は任意定数）
【２１】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１）
dy x
=
dx y
（２） (1 − x )
【２２】次の微分⽅方程式を、（
（１）
dy
+ y = 0 ( x = 1, y = 1)
dx
dy
+ y2 = 0
dx
）内の初期条件のもとで解け。
（２） (1 − x )
dy
= x ( y + 1) ( x = 0, y = 0 )
dx
【練習問題２】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１）
dy
= e y sin x
dx
（２） x 2
３
dy
+y=0
dx
第３章：変数分離形になおせる微分方程式
１階微分⽅方程式
dy
= f ( ax + by + c ) ( b ≠ 0 )
dx
において、未知関数の置換
Y = ax + by + c
を⾏行行えば、これは x を独⽴立立変数、 Y を未知関数とする変数分離形になる。
【３】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１）
dy
+ tan ( x + y ) + 1 = 0
dx
（２）
dy
= x + y +1
dx
【練習問題３】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１）
dy
= x+y
dx
（２） ( x + y )
dy
= 2 ( x + y) + 1
dx
４
第４章：同次形微分方程式
１階微分⽅方程式：
dy
⎛ y⎞
= f⎜ ⎟
⎝ x⎠
dx
を同次形微分⽅方程式といい、
未知関数の変換：
u=
y
x
を⾏行行えば、これは変数分離形微分⽅方程式になる。
【４】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１） ( x − y )
（２） x
dy
+ ( x + y) = 0
dx
dy
y
= y + x tan
dx
x
【練習問題４】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１） 3x + y + x
(
（２） x 2 + y 2
dy
=0
dx
dy
+ 2xy = 0
) dx
５
第５章：線形微分方程式
dy
+ P ( x) y = Q( x)
dx
を１階線形微分⽅方程式という。
※ これは、
y′ + u ′y = v （ y′ = dy 、 u, v は x の関数）
dx
の形になってると⾒見見て、『両辺に
eu をかける！！』
（最初の式で⾔言えば、両辺に ∫ P ( x ) をかける！！）
【５１】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
（１）
dy
+y=x
dx
（２） x
dy
+ y = x log x ( x > 0 )
dx
【練習問題５】次の微分⽅方程式の⼀一般解を求めよ。
dy
+ y =1
dx
（１）
dy
+ 2y = e− x cos x
（２） dx
６
※ 特に
dy
+ P ( x ) y = Q ( x ) において、
dx
{ y + f ( x )}′ = a { y + f ( x )}
と変形できるときは、
y + f ( x ) = Ceax
とできる！！
【５２】微分⽅方程式： y′ + 2y = 2x + 5 において、
{ y − ( x + a )}′ + b { y − ( x + a )} = 0
を満たす定数 a, b の値を求め、⼀一般解を求めよ。
【５３】２つの関数 f ( x ) , g ( x ) が、
f ′ ( x ) = g ( x ) , g′ ( x ) = f ( x ) , f ( 0 ) = 0, g ( 0 ) = 1
を満たすとき、
（１） f ( x ) + g ( x ) を求めよ。
（２） f ( x ) , g ( x ) をそれぞれ求めよ。
７
第６章：積分方程式
未知関数 f ( x ) に対して、 ∫ f ( x ) dx が⼊入っている等式が積分⽅方程式であり、
その積分区間に x が⼊入っているか否かで、次の２つの型がある。
①
∫
f ( x ) dx 型（ a, b は定数） ② ∫ f ( t ) dt 型（ a は定数）
a
b
x
a
【６１】 f ( x ) = x + ∫ f ( t ) dt を満たす関数 f ( x ) を求めよ。
x
1
【６２】（おまけ）次の関係を満⾜足する関数 f ( x ) , g ( x ) を求めよ。
⎧ f ( x ) = x 2 + 1 tg ( t ) dt
∫0
⎪
⎨
1
⎪ g ( x ) = e− x + x ∫ f ( t ) dt
0
⎩
【６３】 f ( x ) = x ∫ f ( t ) dt + x を満たす関数 f ( x ) を求めよ。
x
1
【６４】 ∫
x
0
{2 f (t ) − 1} dt = f ( x ) − 1
を満たす関数 f ( x ) を求めよ。
【６５】 ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( x − t ) dt = e− x − 1 を満たす関数 f ( x ) を求めよ。
x
x
0
0
【練習問題６】 ∫ ( 4t + 5 ) f ( t ) dt = 3( x + 2 ) ∫ f ( t ) dt を満たし、f ( 0 ) = 1 である f ( x ) を決定せよ。
x
1
x
1
８
第７章：曲線の微分方程式
＜曲線の決定・接線・法線＞
接線・法線問題は、傾きを『⽬目で読み取る！！』
⎛t ⎞
【７１】曲線 y = f ( x ) の任意の点 ( t, f ( t )) における接線が x 軸と点 ⎜ , 0 ⎟ で交わるような f ( x )
⎝2 ⎠
の形を決定せよ。ただし、 f ( x ) は微分可能であるとする。
【７２】第１象限に曲線 C : y = f ( x ) がある。C 上の任意の点 P における接線と x 軸との交点を
T 、 P から x 軸に下ろした接線の⾜足を H とする。接線の傾きはつねに正で、線分 TH の⻑⾧長さは
P の x 座標の逆数と等しいという。このような f ( x ) で、 f ( 2 ) = 1 を満たすものを求めよ。
【７３】
（１）曲線 y = f ( x ) 上の点 ( a, b ) における接線が定点 ( −2, 3) を通るとき、 a と b の間の関係式
を求めよ。
（２）曲線 y = f ( x ) 上の任意の点における接線がつねに定点 ( −2, 3) を通り、 f ( 4 ) = 1 を満たす
f ( x ) を求めよ。
９
【７４】点 (1, e ) を通り、第１象限内にある曲線上の任意の点 P における接線が、 x 軸、 y 軸
と交わる点をそれぞれ A, B とするとき、点 P はつねに線分 AB を 1 : n に内分するという。
この曲線の⽅方程式を求めよ。ただし、 n は正の定数とし、 e は⾃自然対数の底とする。
＜⾯面積・弧⻑⾧長の問題＞
【７５】曲線 y = f ( x ) ( x ≥ 0 ) は原点 O で x 軸に接し、この曲線上の O と異なる点 P における接
線と y 軸との交点を Q とし、 P から y 軸に下ろした垂線の⾜足を R とすると、 P がどこにあって
も、
『△ PQR の⾯面積はこの曲線で２等分される』
という。関数 f ( x ) を求めよ。ただし、 x > 0 のとき、 f ′′ ( x ) > 0 とする。
【７６】座標平⾯面上を、点が原点から曲線 y = f ( x ) に沿って動いて、 t 秒後のその点の位置、
および、原点からその点までの道のりがそれぞれ、
t
− ⎞
a ⎛ at
a
(t, f (t )), 2 ⎜⎝ e − e ⎟⎠
で与えられたとする。このとき、関数 f ( x ) ( x ≥ 0 ) を求めよ、ただし、 a は正の定数で、 x > 0
において、 f ′ ( x ) > 0 であるとする。
１０
【練習問題７】
（１）平⾯面上の点 ( 0, 2 ) を通る曲線 c 上の x ≠ 0 である任意の点 ( x, y ) について、そ
⎛ 6x 3 + 1
⎞
, 2y⎟ を通るという。この曲線 c の⽅方程式を求めよ。
の点での曲線 c の接線が点 ⎜
2
⎝ 6x
⎠
（２） f ( x ) は x > 0 で微分可能で、 f ( x ) > 0 かつ f ′ ( x ) > 0 であるとする。曲線 y = f ( x ) 上の任意
の点 P ( x, y ) における接線と x 軸の交点を T 、 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸の交点を H と
するとき、線分 TH の⻑⾧長さは 2x であるという。このとき、
（ⅰ） y = f ( x ) の満⾜足する微分⽅方程式を作れ。
（ⅱ）曲線 y = f ( x ) が点 (1, e ) を通るように、関数 f ( x ) を定めよ。
（３）曲線 y = f ( x ) の上の任意の点 P ( x, y ) における接線と P を通り y 軸に平⾏行行な直線および x 軸
で作られる三⾓角形の⾯面積がつねに⼀一定であって、８に等しい。この曲線を求めよ。
（４）次の条件（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）を満たす曲線 c : y = f ( x ) ( x ≥ 0 ) を求めよ。
（ⅰ） c は原点 O と点 (1, 3) を通る。
（ⅱ）関数 f ( x ) は x ≥ 0 で連続、 x > 0 で微分可能であり、増加関数である。
（ⅲ）原点 O と異なる点 P ( x, y ) を曲線 c の上に任意にとり、 P から x 軸、 y 軸に下ろした垂線
の⾜足をそれぞれ H , K とする。 c と線分 PH , OH で囲まれた図形の⾯面積 S1 は、 c と線分
PK, OK で囲まれた図形の⾯面積 S2 の
1
である。
4
１１
（５）曲線 y = f ( x ) 上の任意の点 ( x, y ) における接線の傾きが
1
であり、この曲線の範囲
1+ x
0 ≤ x ≤ 3 に対応する部分を x 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積は 26π である。
この曲線を決定せよ。
（６）任意の正数 t に対して曲線 y = f ( x ) ( f ( x ) > 0 ) の区間 0 ≤ x ≤ t における弧の⻑⾧長さ l ( t ) が、曲
線 y = f ( x ) と両座標軸および直線 x = t で囲まれた図形の⾯面積 A ( t ) に等しいとする。このとき、
次の問いに答えよ。
（ⅰ）関数 y = f ( x ) が満たす微分⽅方程式を作れ。
(
)
（ⅱ）関数 g ( y ) = log y + y 2 − 1 を y で微分せよ。
（ⅲ）（ⅱ）の結果を⽤用いて、条件 f ( 0 ) = 1 を満たす（ⅰ）の微分⽅方程式の解を求めよ。
１２
練習問題解答 dy
= log x + 1
dx
【３】（１）
∴ ∫ log x dx = x + C = ( x log x − x ) + x + C
とおけば、
【１】（１）
∴ y = x log x + C
（ C は任意定数）
答
(
⇔ log Y + 1 = x + b ⇔ Y + 1 = Ce x C = ±eb
これに②を代⼊入すれば、
x + y + 1 = Ce x （ C は任意定数）
1
1
∴ y = ∫ xe2 x dx + C = xe2 x − e2 x + C
2
4
1
= ( 2x − 1) e2 x + C
4
（２） ( x + y )
（ C は任意定数）答
dy
= e y sin x ⇔ e− y dy = sin xdx
dx
∫
（２） x 2
∴ ∫
（ C は任意定数）答
dy
dy
dx
+ y = 0 ⇔ = − 2
dx
y
x
dy
dx
1
= − ∫ 2 + b ⇔ log y = + b
y
x
x
dy
= 2 ( x + y ) + 1  ①
dx
Y = x + y  ② とおけば、
dy dY
=
−1
dx dx
これと②を①に代⼊入すれば、 Y
sin x dx + C ⇔ −e− y = − cos x − C
∴ e− y = cos x + C
)
答
dy
= xe2 x
（２）
dx
∴ ∫ e− y dy =
dy dY
=
−1
dx dx
dY
dY
= Y + 1 ∴ ∫
= dx + b
dx
Y +1 ∫
0 = elog e + C ⇔ C = −e
【２】（１）
Y = x + y  ②
これと②を①に代⼊入すれば、
これに、 x = e, y = 0 を代⼊入すれば、
よって、 y = x log x − e
dy
= x + y  ①
dx
dY
= 3Y + 1
dx
∴∫
Y
1
1 dY
dY = ∫ dx + b ⇔ ∫ dy − ∫
= x+b
3Y + 1
3
3 3Y + 1
⇔ Y 1
− log 3Y + 1 = x + b ⇔ 3Y + 1 = Ce3Y − 9 x
3 9
（ C = ±e−9b ）これに②を代⼊入すれば、
3x + 3y + 1 = Ce3y− 9 x
1
x
∴ y = Ce （ C = ±eb は任意定数）答
１３
（ C は任意定数）答
【４】（１） 3x + y + x
dy
= 0  ①
dx
y = ux  ②とおけば、
【５】（１） y′ + ( x )′ y = 1 とみて、両辺に e x を
du
dy
=u+x
dx
dx
( )
かけると、 e x y′ + e x y = e x ⇔ e x y ′ = e x
∴ e x y = ∫ e x + C = e x + C ⇔ y = 1 + Ce− x
これと②を①に代⼊入すれば、
(3 + u) + u + x
∴∫
du
du
= 0 ⇔ x
− ( 2u + 3)
dx
dx
( C は任意定数)
答
du
dx
1
= − ∫ + b ⇔ log 2u + 3 = − log x + b （２） y′ + ( 2x )′ y = e− x cos x とみて、両辺に e2 x
2u + 3
x
2
⇔ 2u + 3 = Cx −2 ( C = ±e2b )
をかけると、 e2 x y′ + 2e2 x y = e x cos x
これに②を代⼊入すれば、
左辺は e2 x y ′ で、右辺の不定積分は、部分積
3x 2 + 2xy = C
(
（２） x 2 + y 2
(
（ C は任意定数）
答
dy
+ 2xy = 0  ①
) dx
y = ux  ② とけば、
1
分法により、 e x ( cos x + sin x ) + C
2
∴y =
答
【６】 ∫ ( 4t + 5 ) f ( t ) dt = 3( x + 2 ) ∫ f ( t ) dt
x
3
1
の両辺を x で微分すれば、
2
dy
+u
) dx
x
1
⎞
(1 + u ) ⎛⎜⎝ u + x du
⎟ + 2u = 0
dx ⎠
(
1 −x
e ( cos x + sin x ) + Ce−2 x ( C は任意定数)
2
dy
du
=u+x
dx
dx
これと②を①に代⼊入すれば、
⇔ x 1 + u2
)
( 4x + 5 ) f ( x ) = 3( x + 2 ) f ( x ) + 3∫1 f (t ) dt
x
+ 3u = 0
1 + u2
dx
∴∫ 3
du = − ∫ + b
u + 3u
x
∴ ( x − 1) f ( x ) = 3∫ f ( t ) dt
1
⇔ log u 3 + 3u = − log x + b
3
この両辺を x で微分すれば、
(
⇔ u 3 + 3u = Cx −3 C = ±e3b
x
1
( x − 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = 3 f ( x )
⇔ ( x − 1) f ′ ( x ) = 2 f ( x )
)
ここで、 y = f ( x ) とおけば、
これに②を代⼊入すれば、
y 3 + 3x 2 y = C （ C は任意定数）
( x − 1)
答
１４
dy
dy 2dx
= 2y ⇔ =
dx
y x −1
∴ ∫
⎛
f ( x) ⎞
, 0
この接線と x 軸の交点は、 T ⎜ x −
f ′ ( x ) ⎟⎠
⎝
dy
dx
2
= 2∫
+ b ⇔ log y = log ( x − 1) + b
y
x −1
∴ y = C ( x − 1)
2
であり、点 H の座標は ( x, 0 ) であるから、線分
（ C = ±eb は任意定数）  ①
となる。ところが、 f ( 0 ) = 1 であるから、①に
TH の⻑⾧長さは、 f ( x ) > 0, f ′ ( x ) > 0 であるから、
x = 0, y = 1 を代⼊入すれば、 C = 1 となる。
f ( x)
であり、これが 2x に等しいから、
f ′( x)
これを①に代⼊入して、 f ( x ) = ( x − 1)
f ( x)
= 2x より、求める微分⽅方程式は、
f ′( x)
2
答
2x
dy
= y  ①
dx
答
【７】
（１）曲線 c 上の任意の点 ( x, y ) ( x ≠ 0 ) に
（ⅱ） f ( x ) > 0, x > 0 であるから、①より、
⎛ 6x 3 + 1
⎞
, 2y⎟ を通るから、
おける接線が点 ⎜
2
⎝ 6x
⎠
2
⎛ 6x 3 + 1 ⎞
2y − y = y′ ⎜
− x ⎟ が成⽴立立する。よって、
⎝ 6x 2
⎠
∴ 2 log y = log x + b ⇔ y = C x  ②
dy
dy
= 6x 2 y ⇔ = 6x 2 dx
dx
y
( C 2 = eb ( C > 0 ) は任意定数)
∴ ∫
dy
= 6 ∫ x 2 dx + b ⇔ log y = 2x 3 + b
y
dy dx
dy
dx
= ∴ 2 ∫ = ∫ + b y
x
y
x
曲線 y = f ( x ) は点 (1, e ) を通るので、
∴ y = Ce2 x （ C = ±eb は任意定数）  ①
x = 1, y = e を②に代⼊入して、
ここで、曲線 c は ( 0, 2 ) を通るから、 ① に
C = e を得る。よって、この曲線の⽅方程式は、
x = 0, y = 2 を代⼊入すれば、 C = 2 が得られる。
y=e x
3
これを①に代⼊入して、 y = 2e2 x
3
答
（２）（ⅰ）この曲線上の任意の点
P ( x, y ) ( x > 0 ) での接線の⽅方程式は、平⾯面上の
任意の点の座標を ( X, Y ) とすると
Y − f ( x) = f ′( X − x)
１５
答
（３）曲線 y = f ( x ) 上の任意の点 P ( x, y ) にお
∴ y = Cx 4 （ C = eb は任意定数）
ける接線の⽅方程式は、平⾯面上の任意の点の座
この曲線は、点 (1, 3) を通るから、C = 3 を得る。
標を ( X, Y ) とすると、 Y − y =
dy
( X − x)
dx
よって、 y = 3x 4 答
⎛
y ⎞
この接線と x 軸との交点は ⎜ x − , 0 ⎟ である
⎝
y′ ⎠
ので、問題の三⾓角形の⾯面積 S は、
（５）
1 ⎧ ⎛
y ⎞⎫
1 y2
S = ⎨ x − ⎜ x − ⎟ ⎬ y = ⋅
2 ⎩ ⎝
y′ ⎠ ⎭
2 y′ ∴y =
dy
1
=
dx
1+ x
1
dx = 2 1 + x + C  ①
1+ x
∫
問題の回転体の体積は、
である。 S = 8 であるから、
16
dy
16dy
= ±y 2 ⇔ 2 = ±dx
dx
y
∴ 16 ∫
⇔ （４） S1 =
∫
0
∫ f (t ) dt , S
x
2
{
2
56
C + 30 = 26
3
2
⇔ ( 9C + 2 ) ( C + 6 ) = 0 ⇔ C = − , −6
9
= xf ( x ) − S1 である。
x
1
f ( t ) dt =
xf ( x ) − ∫ f ( t ) dt
0
4
)
56
⎛
⎞
= π ⎜ 3C 2 + C + 30 ⎟
⎝
⎠
3
これを①に代⼊入して、
y = 2 1+ x −
}
∴ 5 ∫ f ( t ) dt = xf ( x ) ∴ 5 f ( x ) = f ( x ) + xf ′ ( x )
x
0
∴ xf ′ ( x ) = 4 f ( x )
よって、 y = f ( x ) とおけば、
x
0
V = 26π より、 3C 2 +
1
S 1 = S2 であるから、
4
x
0
(
3
8C
⎡
∴ V = π ⎢ 2x 2 + 4x +
(1 + x ) 2 + C 2 x ⎤⎥
3
⎣
⎦0
答
0
2
3
dy
16
= ± ∫ dx + C ⇔ − = ±x + C
2
y
y
16
= ±x − C
y
3
V = π ∫ y 2 dx = π ∫ 2 1 + x + C dx
dy
dy 4dx
dy
dx
= 4y ⇔ =
∴ ∫
= 4∫ + b
dx
y
x
y
x
⇔ log y = log x 4 + b
１６
2
または y = 2 1 + x − 6
9
答
（６）
（ⅰ）曲線 y = f ( x ) ( 0 ≤ x ≤ t ) の弧の⻑⾧長さ
は、 l ( t ) =
A (t ) =
∫
t
0
∫
得る。これを③に代⼊入して、
2
⎛ dy ⎞
1 + ⎜ ⎟ dx であり、また、
⎝ dx ⎠
t
0
f ( x ) dx =
∫
t
0
(
y + y 2 − 1 = e± x ⇔ y 2 − 1 = e± x − y
⇔ 2e± x y = e±2 x + 1 ⇔ y =
y dx
ここで、 l ( t ) = A ( t ) であるから、
∫
2
⎛ dy ⎞
1 + ⎜ ⎟ dx =
⎝ dx ⎠
t
0
∫
t
o
2
y=
2
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
1 + ⎜ ⎟ = y ∴1 + ⎜ ⎟ = y 2
⎝ dx ⎠
⎝ dx ⎠
（ⅱ）
答
{ (
d
log y + y 2 − 1
dy
1
)}
(
=
d
y + y2 − 1
2
y + y − 1 dy
=
⎛
⎜1 +
y + y2 − 1 ⎝
∴ d
log y + y 2 − 1
dy
⋅
1
{ (
（ⅲ）①より、
∴ ∫
dy
y2 − 1
)
⎞
⎟
y2 − 1 ⎠
y
)} =
dy
y2 − 1
1
y −1
2
 ②
答
= ±dx
= ± ∫ dx + b
ここで②を利⽤用すれば、
(
1 ±x
e + e x
2
)
ここで、 ±x のかわりに x を⽤用いれば、
y dx
dy
= ± y 2 − 1  ①
dx
2
（複号同順）
この両辺を t について微分すると、
∴ (
)
)
log y + y 2 − 1 = ±x + b ⇔ y + y 2 − 1 = Ce± x
（ C = ±eb は任意定数）  ③
ここで、 f ( 0 ) = 1 であるから、③より、C = 1 を
１７
(
1 x
e + e− x
2
)
答

Download Report