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物理学演習
第１回資料（平成２６年度後期）
名城大学
物理学１ (教科書１～４章)
ニュートンの運動方程式，
物理学２ (教科書５～６章)
保存則（積分定理），
I
教員：山﨑耕造
質点の運動
剛体の運動（回転運動を含む）
数学的準備および運動学
１．微積分
（ｉ）微分
定義，和の微分，定数倍の微分，積の微分，
合成関数の微分，逆関数の微分
平均値の定理（ラグランジュの平均値の定理）存在定理
マクローリン（Maclaurin）展開（a = 0 でのテーラー展開）
テーラー（Taylor）展開，
微分の基本例（公式）
（ⅱ）積分
不定積分，定積分
置換積分
部分積分
∫fg’dx = fg - ∫f’gdx
x=x(t) のとき ∫f(x)dx = ∫f(x(t)) (dx/dt) dt
（ⅲ）微分方程式
演習問題ヒント
Ａ１．積の微分：
定義に従って，u=u(x), v=(x), u*=u(x+h), v*=v(x+h) として
左辺＝(u*v*-uv)/h=v*(u*-u)/h+u(v*-v)/h,
Ａ２．2 回微分：
h→0 により証明する
微分の基本例（公式）を覚え用いる事（べき関数，三角関数，対数関数，指数関数）
Ａ３．微分：
定義に従って計算する．あるいは，y=(1/2)f 2(x) として dy/dx=(dy/df)(df/dx)を計算する
Ｂ１．微分：
(1) t=x2+C とする
(2) 逆関数の微分公式を用いる x=tany
dy/dx=1/(dx/dy)=1/[siny/cosy]’
=1/[cosy/cosy+(siny/cos2y)siny]= 1/(1+tan2y)
(3) t=x2+a2 とおく
（4）t=x2-a2
(5) 積の微分公式を用いる
Ｂ２．積分：(1) 部分積分-∫x(cosx)’dx
(6) 指数を t として合成関数の微分公式を用いる
(2) 部分積分∫(logx)(x)’dx
(3)tany=x/a として置換積分を用いる f=1/[1+(x/a)2] = cos2y，dx =(a/cos2y)dy,
∫(1/a2)fdx = ∫(1/a2) (cos2y)(a/cos2y)dy=(1/a)y+C
(4) 1/(x2-a2)=(1/2a)[1/(x-a)-1/(x+a)]をもちいる
(5) t=x2+a2, dt=2xdx, (6) t=(x2+a2)1/2, td=xdt
Ｂ３．微分方程式：(1)(2) x=∫(dx/dt)dt
として積分する
(3) (1/x)dx=adt
2 1/2
(4) siny=x として (cosy)dy=dx，1/(1--x ) =1/cosy, dx/(1-x2)1/2=dy,
(5)(6) dx/dt=∫(d2x/dt2)dt=y(t)+C1 更に x=∫y(t)dt+C1t+C2
レポート１
課題
練習問題集から 5 題
提出期限
次回の講義日に
IB1(1)(2), IB2(1)(2), IB3(1)

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