2014年7月24日
化学システム演習Ⅰ
－移動現象論Ⅰ（熱移動論）－
今日の演習範囲
・演習問題3（授業で配布）・・・【1】～【4】
演習問題2
[1]十分に長い円管（内半径r1、外半径r2、熱伝導率k一定）の温度が、内壁面で
T1、外壁面でT2に保たれている。この時、半径方向の温度分布および伝熱量を
与える式を導出せよ。
一次元定常熱伝導方程式は、円柱の場合、
dT
d
dr kr dr
T1
＝0 ・・・①
熱伝導率kが一定ならば、①式は
d
dT
r
dr
dr
＝0
T2
r1
r2
・・・②
②をrで積分すると、
dT
r
＝C1
dr
dT
C1
dr ＝ r
T＝C1ln r ＋C2 ・・・③
C1、C2：積分定数
ここで、r＝r1の時、T＝T1、 r＝r2の時、T＝T2、より、
T1＝C1ln r1 ＋C2
T2＝C1ln r2 ＋C2
C2＝T1－C1ln r1より、
T2＝C1ln r2 ＋ T1－C1ln r1
T2－ T1
C1＝
ln r2－ln r1
C1、C2を T＝C1ln r ＋C2
に代入すると、③式は
ln（r/r1）
T＝（T2－T1）
＋T1
ln（r2/r1）
（温度分布を与える式）
また、半径r、長さLの円筒面を単位時間内に通過するr方向
の熱量Qrは、
伝熱量Qr＝q×伝熱面積
q＝－k
dT
dr
より、
dT
C1
Qr＝－k dr （2πrL） = －k・
・2πrL
r
1
T2－ T1
= －k・
・
・2πrL
r
ln (r2/ r1）
＝
2πkL
（T1－T2）（伝熱量）
ln （r2/r1）
[2]円管（内半径r1、外半径r2、熱伝導率k一定）の管内外が温度Tf1、Tf2の流体に
さらされていて、管内外壁面における熱伝達係数をh1、h2とするとき、管長L当た
り単位時間に通過する熱量Qを与える式を導出せよ。
[1]より、管内壁熱伝導による伝熱量は、
Q＝
2πkL
ln （r2/r1）
（T1－T2）
T1
・・・①
r1
Tf1
管内流体から管内壁への熱伝達より、
Q＝h1（Tf1－T1）・2πr1L ・・・②
管外壁から管外流体への熱伝達より、
Q＝h2（T2－Tf2）・2πr2L ・・・③
定常状態のとき、①＝②＝③である。
Tf2
r2
T2
熱移動抵抗は、内側から順に、 R＝ΔT／Qより
1
R1＝
2πr1Lh1
T1
ln （r2/r1）
R2＝
2πkL
1
R3＝
2πr2Lh2
r1
Tf1
r2
Tf2
全熱移動抵抗Rは、
1
R＝R1＋R2＋R3＝
2πL
1
＋
r 1 h1
1
r2
1
ln
＋
r2h2
r1
k
よって、伝熱量Qは、
Tf1－Tf2
ΔT
Q＝
＝
＝
R
R
（ Tf1－Tf2 ）（2πL）
r2
1
1
1
＋
ln
＋
r
r2h2
r 1 h1
k
1
T2
鋼
[3]右図のように、厚さ50mmの2枚の板の
中間に薄いヒーターが挟まっている。板の
一方は鋼で、k1＝53W/（m･K）、他方はア
ルミニウムでk2＝204W/（m･K）、鋼の外表
面温度は100℃、アルミニウムの外表面温
度は40℃である。また、ヒーターの発熱量
は40kW/m2であった。鋼板内を通る熱量q1
とヒーター部の温度T0を求めよ。ただし、接
触熱抵抗はないものとする。
アルミニウム
T0＝？℃
T1＝
100℃
q1
q2
L＝50mm L＝50mm
また、どちらかの板の温度分布が一様とな
り、熱が流れない状態が作り出せるかどう
か調べよ。
ヒーター
（発熱量q=40kW/m2 ）
図の温度分布を考えると、q1、q2はそれぞれ、
T0－T1
q1 ＝k1
L
T2 ＝
40℃
、q2 ＝ k2
T0－T2
L
ヒーターの発熱量は、q＝q1＋q2＝ k1 T0－T1 ＋ k2 T0－T2
L
L
T0－T1
T0－T2
q＝q1＋q2＝ k1
＋ k2
L
L
鋼
アルミニウム
T0＝？℃
qL＝ k1 （ T0－T1）＋ k2（ T0－T2 ）
T1＝
100℃
q1
qL
T0＝
＋ k1 T1＋ k2T2
k1 ＋ k2
k1 ＋ k2
q2
T2＝
40℃
L＝50mm L＝50mm
q＝ 40kW/m2 、L＝50mm＝50×10-3m、
T1＝100℃、 T2＝40℃、 k1＝53W/（m･K）、
k2＝204W/（m･K）より、
T0＝60.2℃
q1 ＝ k1 T0－T1 ＝－42.2kW/m2
L
ヒーター
（発熱量q=40kW/m2 ）
計算結果より、実際の温度分布は右図の通り。
ここで、T1＝T0＝100℃になれば、鋼板
内の温度分布が一様となり、鋼板内に
熱が流れない状態が作り出せる。
この時、q1＝0、
q2 ＝ k2
鋼
アルミニウム
T0＝100℃
T1＝
100℃
T0＝
60.2℃
q1
T0－T2
100－40
＝(204)･
L
50×10-3
＝224.8×103W/m2
T2＝
40℃
q2
ヒーター
（発熱量Q ）
＝224.8kW/m2
すなわち、ヒーターの発熱量Qを224.8kW/m2にすれば、
T1＝T0＝100℃とすることができ、熱が流れない状態を
作り出すことができる。
[4]厚さ2Lの平板状のヒーター（熱伝導率
k）内で、一様に単位時間・単位面積当りH
の一定の発熱がある。ヒーターの表面は
温度Tfの流体にさらされており、熱伝達係
数はhである。定常状態におけるヒーター
内の最高温度T0およびヒーター表面温度
TLを与える式を導出せよ。なお、座標系は
右図のように取ること。
T
T
0
TL
h
T
Tf
－L
0
温度分布の対称性を考慮して、0≦x≦Lの範囲を考える。
内部発熱を伴う一次元定常熱伝導方程式は、
H
d2T
＋
＝0 ・・・①
2
k
dx
境界条件は、
dT
x＝0の時、
dx
x＝0
dT
x＝Lの時、－k dx
h
＝0 ・・・②
x＝L
＝h（T－Tf）・・・③
L
f
x
H
d2T
＋
k
dx2
H
d2T
=－
2
k
dx
＝0 ・・・①
dT
H
＝－
x＋C1
dx
k
さらに積分すると、
を積分すると、
・・・④
T＝－
H 2
x ＋C1x＋C2 ・・・⑤
2k
②、④より、C1＝0
③、④、⑤より、－k － HL
k
HL2
＝h －
＋C2－Tf
2k
HL
HL2
C2＝
＋
＋Tf
h
2k
よって温度分布は
H 2
HL2
T＝－
x ＋C1x＋C2 ＝
2k
2k
x 2
HL
1－
＋
＋Tf
h
L
HL2
T ＝
2k
x
1－
L
2
HL
＋ h ＋Tf
より、
T
T
0
最高温度T0は、x＝0の時なので、
2
HL
HL
T0 ＝
＋
＋Tf
h
2k
T1
h
T
Tf
－L
0
ヒーター
ヒーター表面温度TLは、x＝Lの時なので、
HL
TL ＝
＋Tf
h
h
L
f
x