数学演習 I(問題 14) 解答例

数学演習 I(問題 14) 解答例
問 1. (1) x = a sin t と変数変換する。x : 0 ∼ a ⇒ t : 0 ∼ π/2 , dx = a cos t dt より
∫
0
a
1
√
dx =
2
a − x2
∫
π/2
1
√
· (a cos t) dt
a 1 − sin2 t
π/2
1
· (a cos t) dt =
a cos t
0
∫
=
0
∫
π/2
dt =
0
π
2
(2) x = a sin2 t と変数変換する。x : 0 ∼ a ⇒ t : 0 ∼ π/2 , dx = 2a sin t cos t dt より
∫
0
a
1
√
dx =
x(a − x)
∫
π/2
√
0
∫
π/2
=
0
∫
1
π/2
(2a sin t cos t) dt =
a sin2 t(a − a sin2 t)
2a sin t cos t
√
dt = 2
a sin2 t cos2 t
0
∫
2a sin t cos t
√
dt
a2 sin2 t(1 − sin2 t)
π/2
dt = π
0
問 2. (1) x = a tan t と変数変換する。x : 0 ∼ ∞ ⇒ t : 0 ∼ π/2 , dx = (a/ cos2 t) dt より
∫
∞
0
1
dx =
(x2 + a2 )2
∫
π/2
1
a
·
dt =
a4 (1 + tan2 t)2 cos2 t
0
1
= 3
a
∫
π/2
cos2 t dt =
0
∫
π/2
0
cos4 t
a
·
dt
a4
cos2 t
1 1 π
π
· · = 3
3
a 2 2
4a
(2) （置換積分による解法）x = sin t とおく。x : 0 ∼ 1 ⇒ t : 0 ∼ π/2，dx = (cos t) dt
∫
1
0
x sin−1 x
√
dx =
1 − x2
∫
0
π/2
∫
t sin t
√
(cos t) dt =
1 − sin2 t
[
]π/2 ∫
= −t cos t
+
0
π/2
π/2
t sin t dt
0
[
]π/2
sin t dt = − cos t
=1
0
0
（部分積分による解法）
∫
0
1
x sin−1 x
√
dx =
1 − x2
∫
1
( √
)′
(sin−1 x) − 1 − x2 dx
0
]1 ∫ 1
[
√
1
1√
√
1 − x2 +
· 1 − x2 dx = 1
= −(sin−1 x) ·
2
0
1 − x2
0
1
コメント： lim (sin−1 x) ·
√
x→1−0
lim (sin−1 x) ·
√
x→1−0
1 − x2 = 0 の証明。ロピタルの定理より，
(sin−1 x)′
1
1 − x2 = lim (
·
)′ = lim √
x→1−0
x→1−0
1 − x2
√ 1
1−x2
= lim −
x→1−0
1
−x
√
(1−x2 ) 1−x2
1 − x2
=0
x
問 3.
1
A=2·
2
∫
∫
π
2
r dθ = a
2
0
π
(1 + 2 cos θ + cos2 θ) dθ
0
∫
2
=a π+a
2
∫
π
2
2
cos θ dθ = a π + 2a
0
= a2 π + 2a2 ·
π/2
2
cos2 θ dθ
0
1 π
3π 2
· =
a
2 2
2
問 4.
∫
∞
ℓ=
0
∫
√
2
′
2
r + (r ) dθ =
∞
√
√ ∫
−2θ
−2θ
e
+e
dθ = 2
0
∞
0
2
e−θ dθ =
√ [ −θ ]∞ √
2 −e
= 2
0

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