第２章
問題１
(a) x − π = t とおくと
tan2 t
0
=
t→0 t2
0
lim
より不定形なので、ロピタルの定理より
2tant 1
sint
= lim
=1
2
t→0 2t cos t
t→0 tcos3 t
与式 = lim
(b) x → 0 のとき
tan−1 x
x
=
0
0
より不定形なのでロピタルの定理を用いる。
与式 = lim
x→0
1
=1
1 + x2
(c)
与式 = lim
x→0
logx
1
x
1
x
x→0 − 12
x
⇒ロピタル lim
= lim (−x) = 0
x→0
(d)1∞ より不定形のなので
1
x
与式 = lim x → 0exp[ log(
ax + bx
2
ax loga + bx logb
)] ⇒ロピタル lim exp[ x
(
)]
x
x→0
2
a +b
2
√
1
= exp[ (loga + logb)] = ab
2
問題２
(a)
aeax sinbx + beax cosbx = eax (asinbx + bcosbx)
(b)
1
)
(−2)(− 2√
d
2
1
x
√ )=
√ 2 =√
√
(−1 +
dx
1− x
(1 − x)
x(1 − x)2
(c)y = sin−1 xa とおくと
siny =
1
x
a
ここで両辺をｘで微分すると
dy
1 dy
1
1
cosy = ⇔
=p
2
dx
a dx
a
1 − sin y
∴
dy
1
=√
2
dx
a − x2
(d)y = xx とおくと
logy = xlogx
両辺をｘで微分
dy 1
= logx + 1
dx y
∴
(e)y = sec−1 x とおくと x =
1
cosy
dy
= xx (1 + logx)
dx
これの両辺をｘで微分
1=
∴
dy siny
dx cos2 y
dy
1
= q
dx
x2 1 −
=
1
x2
1
|x| x2 − 1
√
問題３
高校の範囲だ！自力で解こう☆
問題４
dy
dx
=
dy
dt
−1
∗ ( dx
を用いる。
dt )
(a)
3asin2 tcost
dy
=
= −tant
dx
−3acos2 tsint
(b)
dy
2atsinht2
a
=
= tanht2
dx
2btcosht2
b
(c)
2t − t4
(1 + t3 )2
t4 − 2t
dy
=
∗
= 3
3
2
3
dx
(1 + t )
1 − 2t
2t − 1
問題５
解説で十分だと思う。
2
問題６
(a)
3

数学演習 I(問題 14) 解答例