練習問題 - Biglobe

新微分積分 II
4 章微分方程式 § 1 1 階微分方程式 (p.105∼p.106)
練習問題 1-A
（ 3 ）（同次形）
³
´
x 2−1
dx =
t
dt
2· t
x
x ，すなわち，x = ut とおくと
u=
t
dx
= u + t du
dt
dt
2·
1. （ 1 ）（変数分離形）
両辺を x で割ると
1 dx = 1
x dt
t+1
両辺を
Z t について積分すると
Z
1
1 dt
dx =
x
t+1
これより
log x = log t + 1 + c
log x − log t + 1 = c
x
=c
t+1
log
du = 2u2 − 1 = u − 1
dt
2u
2u
du = − 1
すなわち，t
dt
2u
du
1
2u
= − であるから，両辺を t につい
dt
t
u + t
て積分すると
Z
Z
2u du = − 1 dt
t
よって
これを与えられた微分方程式に代入して
x
= ec
t+1
x = ±ec
t+1
これより
u2 = − log t + C （C は任意定数）
ここで，u =
c
x = ±e (t + 1)
³
c
C = ±e とおくと
x = C(t + 1)
x
t
(C は任意定数)
´2
x であるから
t
= − log t + C
x2 = − log t + C
t2
x2 = t2 (− log t + C)
（ 2 ）（変数分離形）
x2 − 1 で割ると
x
x
dx = 1
2
t
x − 1 dt
両辺を
t
について積分すると
Z
Z
1 dt
x
dx =
t
x2 − 1
Z
Z
2
0
(x − 1)
1
1 dt
dx
=
2
t
x2 − 1
Z
Z
(x2 − 1)0
dx = 2 1 dt
t
x2 − 1
(C は任意定数)
両辺を
これより
log x2 − 1 = 2 log t + c
log x2 − 1 − log t
2
=c
2
x −1
=c
log
t2
dx = 2 · x + 1
dt
t
x ，すなわち，x = ut とおくと
u=
t
dx = u + t du
dt
dt
これを与えられた微分方程式に代入して
du = 2u + 1
dt
du = u + 1
すなわち，t
dt
1 du = 1 であるから，両辺を t に
u + 1 dt
t
u + t
ついて積分すると
Z
1 du =
u+1
Z
1 dt
t
これより
よって
（ 4 ）（同次形）
x2 − 1
= ec
t2
log u + 1 = log t + c （C は任意定数）
log u + 1 − log t = c
x2 − 1 = ec t2
log
x2 − 1 = ±ec t2
x2 = ±ec t2 + 1
C = ±ec とおくと
x2 = Ct2 + 1
(C は任意定数)
u+1 =c
t
よって
u + 1 = ec
t
u
+
1 = ±ec
t
u + 1 = ±ec t
u = ±ec t − 1
C = ±ec とおくと，u = Ct − 1
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新微分積分 II
x であるから
t
x = Ct − 1
t
x = t(Ct − 1) (C は任意定数)
ここで，u =
（ 5 ）（1 階線形） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dx + x = 0
dt
dx
= −x
dt
1 dx = −1
x dt
両辺を
Z
Z t について積分すると
1
dx = − dt
x
したがって
µ
x =
(C は任意定数)
（ 6 ）（1 階線形・同次形） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dx − x = 0
dt
2t
1
dx
= 1
x dt
2t
両辺を
Z t について積分すると
Z
1
1
1 dt
dx =
x
2
t
これより
log x =
これより
log x = −t + c
(c は任意定数)
x = e
−t+c
√
±ec = C とおくと，x = Ce−t
√
x = ec t
√
x = ±ec t
( ii ) x = ue−t とおき，両辺を t で微分する
dx = du e−t − ue−t
dt
dt
微分方程式に代入すると
du e−t − ue−t + ue−t = te−t
dt
du e−t = te−t
dt
du
=t
dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
(C は任意定数)
√
( ii ) x = u t とおき，両辺を t で微分すると
dx = du √t + √
u
dt
dt
2 t
微分方程式に代入すると
√
du √t + √
u − u t =1
dt
2t
2 t
√
du
t=1
dt
du = √1
dt
t
両辺を
t
について積分すると
Z
Z
t dt
これより
よって
µ
x =
(C は任意定数)
¶
1 2
t + C e−t
2
(C は任意定数)
du =
1
t− 2 dt
これより
√
u = 2 t + C （C は任意定数）
よって
〔別解〕
Z
√
±ec = C とおくと，x = C t
と
1 t2 + C
2
t = c （t > 0 より）
x
= ec
t
x = ±e e
u =
（c は任意定数）
よって
c −t
du =
√
x
log √ = c
t
= ec e−t
1 log t + c
2
log x − log
よって
¶
1 2
t + C e−t
2
¡ √
x = 2 t + C
dt = t
x = 2t + C
¢√
√
t
t，すなわち
(C は任意定数)
t
方程式の両辺に，e をかけると
dx + et x = te−t et
dt
(et x)0 = t
et
よって
t
Z
e x =
t dt
= 1 t2 + C
2
(C は任意定数)
〔別解〕
dx = 1 x + 1
dt
2 t
x ，すなわち，x = ut とおくと
u=
t
dx
= u + t du
dt
dt
これを与えられた微分方程式に代入して
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du = 1 u + 1
dt
2
du
すなわち，t
=−1u+1
dt
2
1
du
1
=−
であるから，両辺を t
u − 2 dt
2t
u + t
について積分すると
Z
1 du = − 1
u−2
2
Z
1 dt
t
これより
1
log u − 2 = − log t + c（c は任意定数）
2√
log u − 2 + log t = c （t > 0 より）
√
log u − 2 t = c
よって
√
u − 2
√
t
1
u = ±e · √ + 2
t
− 1
2t
x
√ =
t
dt = − 1 log t
2
Z
−1 = 04 + C
C = −1 よって
−
1 = t4 − 1
x
x=−
1
t4 − 1
（ 2 ）（変数分離形）
tan−1 x = t + C
(C は任意定数)
これに，t = 0, x = 1 を代入すると
tan−1 1 = 0 + C
π よって
4
π
tan−1 x = t +
4
µ
¶
π
x = tan t +
4
C =
√
したがって
√
(C は任意定数)
√
√
t
これを与えられた微分方程式に代入して
du = u2 + u
dt
du = u2
すなわち，t
dt
du
1
= 1 であるから，両辺を t につい
2
t
u dt
u + t
て積分すると
Z
1 du =
u2
Z
1 dt
t
これより
x = (2 t + C) t，すなわち
x = 2t + C
³ ´
dx = x 2 + x
dt
t
t
x ，すなわち，x = ut とおくと
u=
t
dx
= u + t du
dt
dt
√1 dt
t
=2 t+C
(C は任意定数)
2. （ 1 ）（変数分離形）
両辺を x2 で割ると
1 dx = 4t3
x2 dt
両辺を t について積分すると
1 = t4 + C (C は任意定数)
x
これに，t = 0, x = 1 を代入すると
−
（ 3 ）（同次形）
= log √1 （t > 0 より）
t
log √1t
1
ここで，e
= √
t
1
方程式の両辺に， √ をかけると
t
1
1
dx
√
− √ x = √1
dt
t
2t t
t
µ
¶0
1
1
√ x = √
t
t
よって
これより
これより
C
C = ±e とおくと，u = √ + 2
t
x であるから
ここで，u =
t
x
C
= √ +2
t
t
µ
¶
C +2
x=t √
t
√
x = 2t + C t (C は任意定数)
c
4t3 dt
dx = 1
1
x2 + 1 dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
1
dx = dt
x2 + 1
c
´
Z
1
u − 2 = ±ec · √
³
1 dx =
x2
両辺を x2 + 1 で割ると
t = ec
(u − 2) t = ±ec
〔別解〕
Z
Z
1 = log t + C （C は任意定数）
u
1
u = −
log t + C
x であるから
ここで，u =
t
x
1
=−
t
log t + C
t
x=−
log t + C
1 を代入すると
これに，t = 1, x =
2
1
1
=−
2
log 1 + C
−
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新微分積分 II
dx + e− cos t sin t · x = 1
dt
(e− cos t x)0 = 1
C = −2
e− cos t
t
よって，x = −
log t − 2
t
すなわち，x =
2 − log t
よって
Z
e− cos t x =
（ 4 ）（1 階線形） ( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dx + x sin t = 0
dt
1
dx = − sin t
x dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
1 dx = − sin t dt
x
これより
log x = cos t + c
（c は任意定数）
よって
dt
=t+C
(C は任意定数)
x = (t + C)ecos t
(C は任意定数)
したがって
3. （ 1 ） t dx = −x
dt
dx = − 1
1
x dt
t
両辺を
t
について積分すると
Z
Z
1 dx = − 1 dt
x
t
これより
x = ecos t+c
log x = − log t + c （c は任意定数）
c cos t
log x + log t = c
=e e
log xt = c
x = ±ec ecos t
±ec = C とおくと，x = Cecos t
(C は任意定数)
よって
xt = ec
xt = ±ec
( ii ) x = uecos t とおき，両辺を t で微分する
と
dx = du ecos t − uecos t sin t
dt
dt
x = ±ec · 1
t
±ec = C とおくと，x =
(C は任意定数)
微分方程式に代入すると
du ecos t − uecos t sin t + uecos t sin t
dt
= ecos t
du ecos t = ecos t
dt
du
=1
dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
du =
dt
これより
u = t + C （C は任意定数）
よって
x = (t + C)ecos t
π , x = 0 を代入すると
2 ´
π
π
0 =
+ C ecos 2
2
π
すなわち，C = −
µ 2 ¶
π
よって，x = t −
ecos t
2
これに，t =
³
〔一般解の求め方の別解〕
Z
sin t dt = − cos t
方程式の両辺に，e− cos t をかけると
C
t
u とおき，両辺を t で微分すると
t
dx = du 1 − u
dt
dt t
t2
（ 2 ）x =
微分方程式に代入すると
³
´
du 1 − u + u =
t
dt t
t
t2
1 + t2
du − u + u =
t
dt
t
t
1 + t2
du =
t
dt
1 + t2
両辺を
Z t について積分すると
Z
t
du =
dt
1 + t2
Z
Z
(1 + t2 )0
dt
du = 1
2
1 + t2
t
これより
u =
1 log(1 + t2 ) + C （C は任意定数）
2
よって
x =
1
t
½
¾
1
log(1 + t2 ) + C
2
(C は任意定数)
4. di = −i + E
dt
di = −1
1
i − E dt
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新微分積分 II
両辺を
Z t について積分すると
Z
1 di = −
i−E
2. （ 1 ）与式の両辺を t で微分すると
³
´
dx = dx + t d2 x + 3 dx 2 d2 x
dt
dt
dt
dt2
dt2
dt
これより
よって
log i − E = −t + c （c は任意定数）
よって
d2 x
dt2
µ
³
´2 ¶
t + 3 dx
=0
dt
d2 x = 0 のとき
dt2
dx = C
dt
i − E = e−t+c
（ 2 ）( i ) i − E = ±ec e−t
C = ±ec とおくと，i = Ce−t + E
よって，一般解は，これを与えられた微
これに，t = 0, i = 0 を代入すると
分方程式に代入して，x = tC + C 3
0 = Ce0 + E
³
´
dx 2 = 0 のとき
dt
³
´
dx 2 · · · °
1
t = −3
dt
C = −E
( ii ) t + 3
よって
i = −Ee−t + E
i = E(1 − e−t )
これを，与えられた微分方程式に代入す
れば
³
x = −3
³
= −2
練習問題 1-B
1. （ 1 ） u =
√
t3 = −27
2t + x + 4 より，u >
=0
´3
dx +
dt
³
dx
dt
´3
2
···°
1
du = 1 · √
· (2t + x + 4)0
dt
2
2t + x + 4
´
³
= √ 1
· 2 + dx
dt
2 2t + x + 4
= 1 (2 + u)
2u
du
=u+2
よって，2u
dt
du = u + 2
dt
2u du = 1
u + 2 dt
2(u + 2) − 4 du
=1
´dt
³ u+2
2
du = 1
2 1 −
u + 2 dt
両辺を
Z
Z ³t について積分すると
´
2
du = dt
2
1−
u+2
（ 2 ） 2u
これより
2{u − 2 log(u + 2)} = t + C
(C は任意定数)
2u − 4 log(u + 2) = t + C
³
dx
dt
´6
2 の両辺を 2 乗すると
°
x2 = 4
³
dx
dt
´6
この 2 式より，−
t3 = x 2
27
4
よって，特異解は，x2 = −
4 3
t
27
3. （ 1 ） z = x−2 の両辺を t で微分すると
dz = −2x−3 dx
dt
dt
よって
dx = − x3 dz
dt
2 dt
これを与えられた方程式に代入すると
µ
¶
x3 dz − 2x = t2 x3
2 dt
2
x
dz − 2 = t2 x2
−t
2 dt
x2 = z −1 なので
z −1 dz − 2 = t2 · z −1
−t
2 dt
dz
t
+ 4z = −2t2
dt
t −
（ 2 ） z についての微分方程式を解く．
dz + 4z = −2t2 より
dt
dz + 4z = −2t
dt
t
t
よって
√
dx
dt
´2
1 の両辺を 3 乗すると
°
また，両辺を t で微分すると
2
dx
dt
2t + x + 4
√
−4 log( 2t + x + 4 + 2) = t + C
(C は任意定数)
( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
dz + 4z = 0
dt
t
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新微分積分 II
1 dz = − 4
z dt
t
両辺を
t
について積分すると
Z
Z
1 dx = −4 1 dt
z
t
(t4 z)0 = −2t5
よって
(c は任意定数)
log z + log t
4
=c
4
log z t = c
よって
z t4 = ec
zt4 = ±ec
z = ±
dz = du t−4 − 4ut−5
dt
dt
微分方程式に代入すると
du t−4 − 4ut−5 + 4ut−4 = −2t
dt
t
du
5
= −2t
dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
t5 dt
これより
u = −
− 1 t6 + c
3
z =
t4
6
3c
= −t +
3t4
4. （ 1 ） x = t より， dx = 1
dt
C
t4
(C は任意定数)
すると
du = −2
したがって
左辺 = 1 + (2t2 + 1)t − t · t2
( ii ) z = u4 = ut−4 とおき，両辺を t で微分
t
1 t6 + c （c は任意定数）
3
よって
z = ut−4
− 1 t6 + c
3
=
t4
6
3c
= −t +
3t4
3c = C とおくと
−t6 + C
z =
3t4
1
z = 2 であるから
x
1
−t6 + C
2 =
x
3t4
2
6
x (−t + C) = 3t4
= 1 + 2t3 + t − t3
= t3 + t + 1 = 右辺
1 より，x − t = 1
x−t
u
1
であるから
すなわち，x = t +
u
dx = 1 − 1 du
dt
u2 dt
（ 2 ） u =
これを，微分方程式に代入して
³
´
³
´2
1 − 12 du + (2t2 + 1) t + 1 − t t + 1
u
u
u dt
= t3 + t + 1
2
− 12 du + 2t3 + 2t + t + 1
dt
u
u
u
³
´
2t
2
−t t +
+ 12 = t3 + t
u
u
2
2t
1
1
du
3
+ 2t +
+t+
− 2
u
u
u dt
2
2t
3
−t −
− t2 = t3 + t
u
u
− 12 du + 1 − t2 = 0
u
u dt
u
du
よって，
− u = −t
dt
du − u = −t を解く． dt
( i ) 斉次 1 階微分方程式の解
du − u = 0
dt
1
du = 1
u dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
1 dx = dt
u
（ 3 ） (C は任意定数)
これより
log u = t + c
〔z Zの一般解の求め方の別解〕
4 dt = 4 log t = log t4
t
4
ここで，elog t = t4
dz + 4z = −2t の両辺に，t4 かけると
dt
t
4 dz
t
+ 4t3 z = −2t5
dt
(c は任意定数)
これを微分方程式に代入すると
ec
t4
±ec = C とおくと，z =
(−2t5 ) dt
= − 1 t6 + c
3
これより
log z = −4 log t + c
Z
t4 z =
(c は任意定数)
よって
u = et+c
u = ±et+c = ±ec et
±ec = C とおくと，u = Cet
(C は任意定数)
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( ii ) u = vet とおき，両辺を t で微分すると
du = dv et + vet
dt
dt
微分方程式に代入すると
dv et + vet − vet = −t
dt
dv
= −te−t
dt
両辺を
Z t について積分すると
Z
dv = − te−t dt
µ
¶
Z
v = − −te−t + e−t dt
= te−t + e−t + C
(C は任意定数)
よって
u = vet
= (te−t + e−t + C)et
= t + 1 + Cet
したがって
x = t +
=t+
1
u
1
Cet + t + 1
(C は任意定数)
〔u Zの一般解の求め方の別解〕
(−1) dt = −t
du − u = −t の両辺に，e−t かけると
dt
du − e−t u = −e−t t
e−t
dt
(e−t u)0 = −e−t t
よって
Z
e−t u = −
e−t t dt
µ
¶
Z
= − −e−t t + e−t dt
= −(−e−t t − e−t ) + C
= e−t t + e−t + C
(C は任意定数)
したがって
u = et (e−t t + e−t + C)
= t + 1 + Cet
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