第10回プリント

数学第１０回対数微分, 関数の極値とグラフ平成 26 年 07 月 01 日
問 1. 次の関数の対数微分を求めよ。(与えられた関数 f (x) に対して (log f (x))′ を求めよ.)
(1) e3x+1
(2) (sin x)cos x
(3) (x2 + 3x + 1)(x3 + 4x2 − x − 1)
1
(4)
(x + 2)(x + 3)
問 2. 次の関数の導関数を求めよ。
(1) f (x) = xx
(2) f (x) = (x2 + 3)2x+1
(3) f (x) = xsin x
(
)cos x
(4) f (x) = sin x
1
(部分分数展開してから微分する方法と対数微分を取る方法、どちらも試してみよ）
(5) f (x) =
(x − 1)(x + 2)(x + 3)
問 3. 次の関数の極値を求めよ.
(1) f (x) = x2 + 2x − 12,
(2) f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 3,
(4) f (x) = x5 − 5x4 + 5x3 ,
(7) f (x) = x − ex ,
(5) f (x) = tan x − sin x,
√
(8) f (x) = x − 2 sin x,
(3) f (x) = −x3 + 2x + x,
1
(6) f (x) = √ cos 2x − sin x,
2 2
問 4. ３次関数 f (x) = x3 + ax2 + bx − 2 が x = −1 で極大値, x = 3 で極小値をそれぞれ取るとき, 定数 a, b の値を求
めよ. また極大値, 極小値も求めよ.
問 5. 三次関数で x = 0 において極大値 3, x = 2 において極小値 −1 を持つものを求めよ.
問 6. 次の関数の増減、凹凸、極値などを調べて, グラフの概形を描け.
(1) f (x) = ax2 + bx + c,
(2) f (x) = x3 − x2 − x,
(4) y = x3 e−x , (5) y = x + log x (x > 0),
√
(7) y = 2x − x + 1 (x > −1)
(3) f (x) = x4 − 8x3 + 18x2 − 11,
(6) y = x + cos x (0 ≦ x ≦ 2π),

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