経済数学練習問題 -微分-

経済数学練習問題 -微分-
1 以下の関数において
1. y “
dy
を求めなさい．
dx
x2 ` 5x ` 3
?
3
x
x´3
px ´ 1qpx ´ 5q
c
1´x
3. y “
1`x
?
x ´ x2 ´ 1
?
4. y “
x ` x2 ´ 1
a
5. y “ logpx ` 1 ` x2 q
2. y “
6. y “ x3 plog xq2
7. y “ xe
´
1
x2
8. y “ plog xq x px ą 1q
B2 z B2 z B2 z B2 z
Bz Bz
, , 第 2 次導関数 2 ,
,
,
および全微
Bx By
Bx ByBx BxBy By2
dy
分 dz を求めなさい．また，全微分を利用して 1 “ 2x2 ` 4xy ` 5y2 の時，
を求めなさい．
dx
Bz Bz
3 z “ au ` bv, u “ dx ` ey, v “ f x ` gy のとき， ,
を求めなさい．ただし a, b, d, e, f, g は定
Bx By
数とする．
4 f pxq “ x3 ´ 5x2 ` 7x ` 2 とするとき以下の問に答えなさい，
2 z “ 2x2 ` 4xy ` 5y2 の第 1 次偏導関数
1. f pxq の x “ 2 における接線を求めなさい．
2. f pxq の極大値，極小値および変曲点を求めなさい．
解答
1
1. y “ x5{3 ` 5x2{3 ` 3x´1{3 であるから
dy
5
10
“ x2{3 ` x´1{3 ´ x´4{3
dx
3
3
1
2.
px ´ 3q1 tpx ´ 1qpx ´ 5qu ´ px ´ 3qtpx ´ 1qpx ´ 5qu1
dy
“
dx
tpx ´ 1qpx ´ 5qu2
px ´ 1qpx ´ 5q ´ px ´ 3qtpx ´ 1q1 px ´ 5q ` px ´ 1qpx ´ 5q1 u
“
px ´ 1q2 px ´ 5q2
px ´ 1qpx ´ 5q ´ px ´ 3qtpx ´ 5q ` px ´ 1qu
“
px ´ 1q2 px ´ 5q2
px ´ 1qpx ´ 5q ´ px ´ 3qp2x ´ 6q
“
px ´ 1q2 px ´ 5q2
´x2 ` 6x ´ 13
“
px ´ 1q2 px ´ 5q2
3. u “
1´x
とおくと y “ u1{2 であるから
1`x
dy
dy du
“
dx
du dx
´1p1 ` xq ´ p1 ´ xq1
1
“ u´1{2
2
p1 ` xq2
c
1
1`x
“´
1 ´ x p1 ` xq2
1
“´a
p1 ´ xqp1 ` xq3
4. 右辺の分母分子に x ´
がって
?
?
x2 ´ 1 をかけると y “
px´ x2 ´1q2
x2 ´px2 ´1q
1
dy
“ 4x ´ t2px2 ´ 1q1{2 ` 2x px2 ´ 1q´1{2 p2xqu
dx
2
2
a
2x
“ 4x ´ 2 x2 ´ 1 ´ ?
x2 ´ 1
2
2p2x ´ 1q
“ 4x ´ ?
x2 ´ 1
5. u “ x ` p1 ` x2 q1{2 とおくと y “ log u で
dy
d log u du
“
dx
du dx
*
"
1
1
2 ´1{2
p2xq
“
1 ` p1 ` x q
u
2
“
1 ` xp1 ` x2 q´1{2
x ` p1 ` x2 q1{2
2
“ 2x2 ´ 2x
?
x2 ´ 1 ´ 1．した
x ` x2 p1 ` x2 q´1{2 ´ p1 ` x2 q1{2 ´ x
(分母分子に x ´ p1 ` x2 q1{2 をかけた)
x2 ´ p1 ` x2 q
a
x2
“´?
` 1 ` x2
1 ` x2
2
´x ` p1 ` x2 q
1
?
“
“ ?
2
1`x
1 ` x2
“
6. u “ log x とおくと y “ x3 u2 で
dy
d
“ px3 q1 u2 ` x3 u2
dx
dx
2 2
3 d 2 du
“ 3x u ` x
u
du dx
1
“ 3x2 u2 ` x3 2u
x
2
2
“ 3x plog xq ` 2x2 log x
“ x2 log xp3 log x ` 2q
7. u “ ´ x12 とおくと y “ xeu で
dy
d du
“ pxq1 eu ` x eu
dx
du dx
“ eu ` xeu p2x´3 q
ˆ
˙ ˆ
˙
2
2
´1
u
“ e 1 ` 2 “ 1 ` 2 e x2
x
x
この問題のように，式が積や冪乗の形で複雑になっている物は対数微分法を用いた方が簡単
な場合も多い．この式の場合は y ą 0，つまり x ą 0 の場合に限定して対数をとれば (y ą 0
でなければ対数が取れない)
log y “ log x ´ x´2
であるから，両辺を x で微分すれば
d
dy
1
log y
“ ` 2x´3
dy
dx
x
dy
“ ypx´1 ` 2x´3 q
dx
´
1
“ xe x2 px´1 ` 2x´3 q
ˆ
˙
2
´1
“ 1 ` 2 e x2
x
となる．ただし，前述のように，対数は正の値に対してしか取れない点に注意が必要である
(経済変数の多くは，仮定により正である)．
3
8. x ą 1 より両辺とも正なので，両辺の対数をとると
log y “ x logplog xq
u “ log x とおくと log y “ x log u．この両辺を x で微分すると
d
dy
d
du
log y
“ pxq1 log u ` x log u
dy
dx
du
dx
11
1 dy
“ log u ` x
y dx
ux
1
“ logplog xq `
log x
したがって
dy
“ plog xq x logplog xq ` plog xq x´1
dx
2
Bz
Bx
Bz
By
B2 z
Bx2
B2z
ByBx
B2z
BxBy
B2 z
By2
“ 4x ` 4y
“ 4x ` 10y
“4
“4
“4
“ 10
B2 z
B2z
“
に注意すること．
ByBx
BxBy
1 “ 2x2 ` 4xy ` 5y2 の両辺を全微分すると (右辺は定数なので，全微分すると 0 である)
Bz
Bz
dx ` dy
Bx
By
0 “ p4x ` 4yqdx ` p4x ` 10yqdy
p4x ` 4yq
dy
2x ` 2y
“´
“´
dx
4x ` 10y
2x ` 5y
0“
3 合成関数の微分法により
Bz
Bz Bu Bz Bv
“
`
Bx
Bu Bx Bv Bx
“ ad ` b f
4
同様に
Bz
Bz Bu Bz Bv
“
`
By
Bu By Bv By
“ ae ` bg
4 f pxq “ x3 ´ 5x2 ` 7x ` 2, f 1 pxq “ 3x2 ´ 10x ` 7 “ px ´ 1qp3x ´ 7q, f 2 pxq “ 6x ´ 10 “ 2p3x ´ 5q.
(1) f 1 p2q “ ´1, f p2q “ 4 であるから接線の方程式は y ´ 4 “ ´1px ´ 2q すなわち y “ ´x ` 6.
(2) 第 1 次，第 2 次導関数より次の増減表が得られる．
f 1 pxq
` 0
´
0
f 2 pxq
´
0
`
f pxq
5
119
27
103
27
ñ
`
ô
7
3
ô
5
3
ñ
1
x
5 119
したがって f pxq は x “ 1 の時，極大値 5, x “ 37 の時，極小値 103
27 をとる．また変曲点は p 3 , 27 q
である．
(注意) 極大，極小を判定するのに，第 2 次導関数を用いて f 2 p1q “ ´4 ă 0 であるから x “ 1 で極
大， f 2 p 73 q “ 4 ą 0 であるから x “ 73 で極小としてもかまわない．
5

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