Coregister と Normalization 大谷 俊介 廣安 知之 山本 詩子 2014 年 12 月 11 日 IS Report No. 2015010603 Report
Medical Information System Laboratory Abstract
本稿では，経時的に撮像された機能画像時系列を画像解析する際に用いられる Coregister と Normal-
ization について述べる．
キーワード: 空間的前処理，相互情報量，エントロピー，アフィン変換
目次
第 1 章 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
第 2 章 Coregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
第 3 章 画像の相互情報量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.1
一次元ヒストグラムと二次元ヒストグラム . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
相互情報量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2.1
情報量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2.2
平均情報量 (エントロピー) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2.3
条件付き平均情報量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2.4
相互情報量
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2.5
相互情報量の画像への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
第 4 章 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
第 1 章 はじめに
現在，脳機能画像を解析する際に，SPM(Statistical Parametric Mapping) という解析ツールがよく
用いられている．SPM を用いた脳機能画像解析では，実験課題の間で脳の特定の部位の活動が異なっ
ているかどうかを検定することが主な目的である．その検定を行うために，SPM の処理過程に，被
験者脳を標準脳に合わせこむ処理が含まれている．被験者脳を標準脳に合わせることで被験者間で部
位を比較することができ，部位の脳活動を検討することができる．標準脳に位置合わせする処理には，
Coregister と Normalization という 2 つのステップが存在する．この 2 つのステップについて，本稿
で説明していく．
2
第 2 章 Coregister
Coregister とは，各被験者の機能画像と構造画像の頭部を位置合わせすることである．Coregister を
行う理由としては，機能画像撮像と構造画像撮像の間で動く可能性があったり，機能画像と構造画像
では，一般的に撮像方法や撮像方向が異なり頭部が一致しないためである．位置合わせを行った際，
その一致度について評価しなければいけないが，画像の類似性の評価尺度として，一般的に残差平方
和，正規化相互相関，相互情報量の 3 つの方法がある．Coregister では，相互情報量を用いて評価を
行っている．相互情報量を用いた評価について次章で述べる．
3
第 3 章 画像の相互情報量
相互情報量による位置合わせは，画像の信号の性質が異なる際に用いられる．相互情報量は通信分野
のエントロピーの考えを利用したものである．本章では，画像における相互情報量について説明する
1)
．まず，相互情報量を求めるための 1 次元ヒストグラムと 2 次元ヒストグラムの考え方を説明す
る．その後，2 次元ヒストグラムから相互情報量を算出する方法を説明する．異なる画像の場合と同
じ画像が平行移動や回転移動した場合に，2 次元ヒストグラムとそこから算出される相互情報量の値
がどのように変化するか示す．
3.1
一次元ヒストグラムと二次元ヒストグラム
1 次元ヒストグラムは画像の濃度情報を表すもので，同じ濃度値の画素数を数えて度数を求め，濃
度値とそれに対応する度数の関係をグラフで表す．一般的に，あるデータを値ごとに度数を数え，値
と度数の関係を求めたものを度数分布と呼び，棒グラフで表す．2 次元ヒストグラムは，2 つの画像
からヒストグラムを作成する．1 つ目の画像 f (i) の i 番目の画素をｎ階調に変換したものを Ca (i) と
する．2 つ目の画像 g(i) の i 番目の画素をｎ階調に変換したものを Cb (i) とする．Ca (i) と Cb (i) は，
それぞれ 1 から n までの値を取る．2 次元の度数分布 h(a, b) は，
h(a, b) =
n
∑
δ(Ca (i) − a)・δ(Cb (i) − b)
(3.1)
i=0
となる．2 次元の度数分布は，i 番目の画素において 2 次元位置である (Ca (i)，Cb (i)) ごとに度数を数
えていくことになる．この 2 次元度数分布は，a の級，縦軸を b の級とした 2 次元画像ヒストグラム
として表示することができる．
3.2
相互情報量
相互情報量は，2 次元ヒストグラムから計算させる．次節では，情報量や相互情報量がどのような
ものであるか説明する．
3.2.1
情報量
発生確率 P (s) の事象が起こったことを知って得られる情報量を H とする．また情報量 H は
H = log 2
1
= − log 2 P
p
(3.2)
と表すことができる．この式が情報量 H の定義となり，その単位は「bit」と呼ばれる．
3.2.2
平均情報量 (エントロピー)
事象が次々と発生する場合は，その事象が発生する確率によって情報量が変わってくる．その系
列全体の情報量を考える場合は，情報量の平均値を求める．この値を平均情報量，あるいはエント
ロピーと呼ぶ．発生する事象 A を ai とし，個々の事象の確率を p(ai ) とする．それぞれの情報量を
H(ai ) とすると，平均情報量 H(A) は重み付け平均で表される．式で表すと，
4
3.2 相互情報量
第 3 章 画像の相互情報量
H(A) =
m
∑
P (ai )H(ai ) = −
i=0
m
∑
P (ai ) log 2 p(ai )
(3.3)
i=0
となる．この平均情報量は，その情報源がどれだけ情報を出しているかを測る尺度となる．
3.2.3
条件付き平均情報量
まったく別系列で，なおかつ互いに関連している 2 つの事象 A，B を考える．事象 A が ai (i = 1∼
m)，事象 B が bj (j = 1∼m) としたとき，それぞれの確率を p(ai ) と p(bj ) とし，それらが同時に起
こる確率である同時確率を p(ai ，bj ) で表すと，同時確率の平均情報量 H(A，B) は，
H(A，B) =
m ∑
n
∑
P (ai ，bj ) log 2 p(ai ，bj )
(3.4)
i=1 j=1
と表すことができる．よって，条件付き確率 p(ai |bj ) は
p(ai ，bj )
p(bj )
p(ai |bj ) =
(3.5)
となる．これをもとに，条件付き平均情報量を考えると，次のようなに導出される．ます事象 B が
bj であるとしたときの事象 A の平均情報量は，条件付き確率をもとに平均情報量を求めるので，
H(A|bj ) = −
m
∑
p(ai ，bj ) log 2 p(ai ，bj )
(3.6)
i=1
となる．今度は事象 B 全体で考えると，その条件付き平均情報量は，この事象 B についての期待値
を計算すればよいので，
H(A|B) =
n
∑
p(bj )H(A|bj )
(3.7)
j=1
となる．この式 (3,7) に式 (3,6) を代入すると
H(A|B) = −
n
m ∑
∑
P (ai ，bj ) log 2 p(ai |bj )
(3.8)
i=1 j=1
と表すことができる．この条件付き平均情報量を
H(A|B) = −
= −
= −
m ∑
n
∑
i=1 j=1
m ∑
n
∑
i=1 j=1
m ∑
n
∑
p(ai ，bj ) log 2
p(ai |bj )
p(bj )
p(ai ，bj ) log 2 p(ai |bj ) +
(3.9)
m ∑
n
∑
p(ai ，bj ) log 2 p(ai ，bj ) +
i=1 j=1
p(ai ，bj ) log 2 (bj )
i=1 j=1
n
∑
p(bj ) log 2 p(bj )
(3.10)
(3.11)
j=1
= H(A，B) − H(B)
(3.12)
と変形して考えると，事象 A と B 全体の平均情報量 H(A，B) から事象 B の平均情報量 H(B) を
引いているので，事象 A のみが知り得る情報の平均情報量を表している．
5
3.2 相互情報量
3.2.4
第 3 章 画像の相互情報量
相互情報量
相互情報量は，情報量の平均値である平均情報量から計算されるので，平均相互情報量とも呼ばれ
る．2 つの事象 A，B が共通に持っている平均情報量である平均相互情報量 M I(A，B) を考える．２
つの事象 A，B が独立でない場合，それぞれの持っている平均情報量 H(A) と H(B) の和に対して，
事象 A，B 全体の平均情報量 H(A，B) は異なり，その差が共通に持つ平均情報量となる．よって，平
均相互情報量 M I(A，B) は，それぞれの平均情報量の和から全体の平均情報量を引いて
M I(A，B) = H(A) + H(B) − H(A，B)
(3.13)
と表される．この式と条件付き平均情報量の式から平均相互情報量は
M I(A，B) = H(A) − H(B) − H(A|B)
(3.14)
と表すこともできる．
求めたい平均相互情報量は，
M I(A，B) = H(A) − H(A|B) n
m
m ∑
∑
∑
p(ai ，bj ) log 2 p(ai |bj )
= −
p(ai ) log 2 p(ai ) +
i=1 j=1
m ∑
n
∑
j=1
p(ai ，bj ) log 2 p(ai ) +
i=1 j=1
m
n
∑∑
i=1 j=1
=
=
n
m ∑
∑
i=1 j=1
m ∑
n
∑
(3.16)
i=1 j=1
i=1
m ∑
n
n
m ∑
n
∑
∑
∑
= −
{
p(ai ，bj )}
log 2 p(ai ) +
p(ai ，bj ) log 2 p(ai |bj )
= −
(3.15)
p(ai ，bj ) log 2 p(ai |bj )
(3.17)
(3.18)
i=1 j=1
p(ai ，bj ) log 2
p(ai |bj )
p(ai )
(3.19)
p(ai ，bj ) log 2
p(ai ，bj )
p(ai )p(bj )
(3.20)
i=1 j=1
と導かれる．
3.2.5
相互情報量の画像への応用
相互情報量の画像への応用を考える．画像のある値が出現する確率は，ヒストグラムから用意に計
算できる．ヒストグラムは，画像の値の度数分布に相当するので，それを総度数で割れば，画像のあ
る値が出現する確率分布となる．次に 2 つの画像の結合事象を考える．2 つの画像から 2 次元ヒスト
グラムが作成でき，2 次元ヒストグラムを総度数で割ると，2 つの画像のそれぞれの値が出現する同
時確率となる．また，2 次元ヒストグラムから作成した同時確率の分布をそれぞれ，縦方向，横方向
に積分したものが，個々の画像の確率分布になる．これは，周辺確率分布に相当する．同時確率分布
と周辺確率分布がわかれば，前述の式から相互情報量を求めることができる．2 つの画像が同じ場合，
相互情報量が最も大きくなる．2 つの画像がまったく無関係な場合は，p(ai ，bj ) = p(ai )p(bj ) となり，
相互情報量は 0 となる．情報理論の解釈では，2 つの画像が同じということは，双方で失われた情報
6
3.2 相互情報量
第 3 章 画像の相互情報量
はないということで，すべて情報が伝達され相互情報量は最大となる．また，2 つの画像が無関係な
ときは，伝達の過程ですべての情報が失われている状態であり，相互情報量はなくなる．
画像が平行移動した場合と，回転移動した場合の相互情報量の変化を Table. 3.1 と Table. 3.2 に示
す．Table. 3.1 は，画像を x 方向に図に示した画素だけ平行移動し，そのときの相互情報量の値を示
す．平行移動すると 2 次元ヒストグラムは 45 度の直線から徐々に幅を持つように値が分布し，それ
に伴って相互情報量が小さくなる．
Table. 3.2 は，画像を図に示すだけ角度だけ回転移動し，そのときの相互情報量の値を示す．回転
移動した場合も，2 次元ヒストグラムは 45 度の直線から徐々に幅を持つようになり，相互情報量も小
さくなる．相互情報量が最も大きくなるときは，2 つの画像の位置が一致したときであり，その結果
を利用すれば，相互情報量を画像の位置合わせの指標とすることができる 1) ．
Table. 3.1 平行移動したときの 2 次元ヒストグラムと相互情報量の関係 1)
x 方向の移動値
相互情報量
なし
4.589811
1 画素
1.697539
2 画素
1.427240
4 画素
1.169425
8 画素
0.928529
Table. 3.2 回転移動したときの 2 次元ヒストグラムと相互情報量の関係 1)
回転角度
相互情報量
なし
4.589811
1度
2.181722
2度
1.882536
4度
1.641860
8度
1.458493
7
第 4 章 Normalization
Normalization(標準化) は，複数の被験者による平均脳活動量の評価の際に必要不可欠な過程である．
前述で述べた Coregister と続いた空間的前処理の過程は，被験者内での位置補正に関するものであ
る．Normalize では，被験者間での位置や脳の形態の補正を行う．標準化は，様々な位置に存在しか
つ様々な形態を持った被験者の個人脳を国際的に定義されたテンプレート脳に合わせこむ作業である．
テンプレート脳は，Talairach アトラスを基礎とした座標系を持っている．したがって，標準化を行
えば，脳活動部位を座標で表現することができ，被験者間で比較ができる．標準化は，変換の推定と
変換の適用及び標準化データの書き出しの 2 つの処理過程を含む．変換においては，アフィン変換と
非線形変換の 2 種類の変換が行われる．これは，個人脳を全体的にテンプレート脳に合わせこむため
である．アフィン変換は，剛体変換に拡大縮小及びシアーの変換を加えたもので，個人脳を全体的に
テンプレート脳に合わせこむ．さらにより詳細な位置合わせについては，非線形変換の離散コサイン
変換によりテンプレート脳に合わせこむ．
8
参考文献
1) 篠原広行. 医用画像位置合わせの基礎. 医療科学社, 2011.
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