解答例

2014.4.23
計算力学及び同演習
演習 No. 3
演習 (A)
3-A-1 〔HW（2014.4.23 〆切）〕問題 [2-A-1] で解いた問題について，問 (1)∼(7) の解答を利用して
問 (8)∼(10) を解きなさい．
(8) 未知の節点変位を求めなさい．
EA
前回の解答から引き続き，k =
とする．
L
 








u1 
 1  1 −1 
 21 F + kg

= 
 







1
v1  k −1 3 

2F




1
 kg 

= 



k F − kg
(9) 節点 3 に生じる反力ベクトルの x, y 方向成分，F3x , F3y を求めなさい．
 



u1 











v


1




 












 k −1 −1 0 0 1 1 
g
 k
−u1 − v1 

F3x 
= 



 = 2 −1 −1 0 0 1 1 









 F3y 
2 −u1 − v1 
0










0









0

ここで、u1 = g，v1 =

  





 
−F/2

F3x 
=




 
−F/2

 F3y 
F
− g より
k
(10) 部材⃝
1 ，⃝
2 について，全体座標 (x, y) から局所座標（部材座標）( x¯ , y
¯ ) への座標変換行列を与
え，この部材に生じる応力を求めなさい．
部材⃝
1 については，
 
  


1 












N
1
0
−1
0
g
0








ax 





 












1













 0 0 0 0 (F − kg)/k 0
N



ay
¯


N⃝
=
k
=







1 =
1















Nbx 
g
0




−1 0 1 0 

























1
N 




0 0 0 0
0
0
by
また，局所座標系での材端力の計算を行うのだが，この部材に対する座標変換行列 T⃝
1 は単
位行列となるため，
 
  






¯1 






N


1
0
0
0
0
0








a x¯ 





 












1








¯








0
1
0
0
0
0
 Na¯y 








¯


=
T
N
=
=








⃝
1
⃝
1






1


¯







Nb x¯ 
0
0



0 0 1 0 

























1
 N¯ 

0 0 0 1 0 0
b¯y
したがって部材⃝
1 に生じる応力は
σ⃝
1 =0
また，部材⃝
2 については，
 

 


2 









 1
Nax
g
F/2 
1 −1 −1 

















 







2














N
(F
−
kg)/k
F/2
1
1
−1
−1
k








ay


¯


=
=
N⃝







1 =
2













2 −1 −1 1
Nbx 
0
−F/2
1  































N 2 





−1
−1
1
1
0
−F/2
by
また，局所座標系での材端力は
 




N¯ a2x¯ 
 1









2



1 −1
 N¯ a¯y 

¯
= T⃝


2 N⃝
2 = − √ 



N¯ b2x¯ 


2  0









 N¯ 2 
0
b¯y
したがって部材⃝
2 に生じる応力は
σ⃝
2 =
N¯ b2x¯
A2
F
= √
2A
1 0
1 0
0 1
0 −1
 







0 
−F 
F/2 











 










0 
0
F/2
1
 



 
=
√










1 
F
−F/2




2











 







1 −F/2
0 
3-A-2 〔HW（2014.4.30 〆切）〕問題 [2-A-1] について，L = 1 [m], A = 900 mm2 , F = 100 kN, E =
250 GPa, g = 0.0 として，以下の問いに答えなさい．
(1) [3-A-1] で求めた節点変位や応力の具体的な値を求めなさい．
EA
= 2.25 × 105 [kN/m] であるから，与えられた値とともに代入すれば，節点変位
k=
L
の応力は
  









u
0.0
1















−4 








v
4.44
×
10



1




















u
0.0
 2 

=
[m]












v
0.0




2




 












u3 
0.0


















 v3 
 


0.0
となる．部材⃝
1 ，⃝
2 の応力は
σ⃝
1 =0 ,
F
= 78.56742013...[MPa] ≈ 78.6[MPa]
σ⃝
2 = √
2A
(2) 汎用 FEM プログラム ANSYS で解き，変形前と変形後を重ねて表示した図，および軸
力図を示しなさい．
図 1: 原型図 + 変形図 (3-A-2)
図 2: 軸力図 (3-A-2)
(3) (1) と (2) で算出した節点変位および部材の応力それぞれについて，両結果を比較した
表を作成し，結果が一致することを確認しなさい．
節点番号
1
2
3
表 1: 節点変位の比較
u x [m](ANSYS) uy [m](ANSYS) u x [m](手計算)
0.0000
0.0000
0.0000
0.44444E − 03
0.0000
0.0000
0.00
0.00
0.00
uy [m](手計算)
4.44 × 10−4
0.00
0.00
表 2: 部材の応力の比較
要素番号 (節点番号) σ [Pa] (ANSYS) σ [MPa] (手計算)
1(1)
1(2)
2(1)
2(3)
0.0000
0.0000
0.78567E + 08
0.78567E + 08
0.00
0.00
78.6
78.6
結果を比較した表 1 および表 2 を見ると，両結果の値が一致することが確認できる．
3-A-3 〔HW（2014.4.30 〆切）〕問題 [3-A-1]（すなわち [2-A-1] で上記の条件を与えたもの）のトラ
ス構造の節点 1 に作用している外荷重を取り除き，代わりに自重のみを作用させて ANSYS
で解析しなさい．ただし，材料の密度は 3000 kg/m3 ，重力加速度は 9.8 m/sec2 としなさい．
なお，解答には，具体的なデータとともにモデル（メッシュ）図，変形図等もつけること．
自重のみを作用させた場合，以下の図や表のような結果となる．
図 3: 原型図 + 変形図
図 4: 軸力図
節点番号
1
2
3
表 3: 節点変位
u x [m]
10−7
1.176 ×
0.0000
0.0000
uy [m]
−3.5280 × 10−7
0.0000
0.0000
表 4: 部材の応力
要素番号 (節点番号)
σ [MPa]
1(1)
1(2)
2(1)
2(3)
−2.9400 × 10−2
−2.9400 × 10−2
−3.1183 × 10−2
−5.1972 × 10−2

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