ノート

第４節対数微分法と成長率
✓対数微分法
✏
合成関数の微分法より
{log f (x)}′ =
f ′ (x)
,
f (x)
(f (x) > 0)
を得る．この式の両辺に f (x) を掛けたもの
f ′ (x) = f (x){log f (x)}′ , (f (x) > 0)
を対数微分法とよぶ．
✒
例
✑
関数 f (x) = ax , (a > 0, a ̸= 1) の導関数を求める。対数微分法より、
(ax )′ = ax (x log a)′ = ax log a
✓(recall) 公式
✏
実数 α に対し，
(xα )′ = αxα−1 ,
(x > 0)
が成り立つ．
✒
証明
✑
対数微分法より
(xα )′ = xα (α log x)′ = xα
(α)
x
= αxα−1 .
□
例
関数 f (x) = xx , (x > 0) の導関数を求める．対数微分法より
(xx )′ = xx (x log x)′ = xx (log x + 1).
1
例
√
x
関数 f (x) = ( 2x − 1)e , (x > 1/2) の導関数を求める．対数微分法より
√
√
√
x
x
x
{( 2x − 1)e }′ = ( 2x − 1)e {log( 2x − 1)e }′
{ x
}′
√
e
ex
log(2x − 1)
= ( 2x − 1)
2
{ x
}
√
e
ex
2
ex
= ( 2x − 1)
log(2x − 1) +
·
2
2 2x − 1
{
}
√
√
1
ex x
= ( 2x − 1) e log 2x − 1 +
.
2x − 1
例
f (x) = (5x + ex )x の導関数を対数微分法を用いて求めよ．
解
f ′ (x) = f (x){log f (x)}′ = (5x + ex )x {x log(5x + ex )}′
{
}
x(5 + ex )
x x
x
= (5x + e ) log(5x + e ) +
.
5x + ex
例
ex (x + 1)10
, (x > 1) の導関数を求める．分数関数の微分公式を用いて計算し
(x − 1)5
てもよいが，ここでは対数微分法を用いて計算する．分数式が複雑になればなるほど，対
関数 f (x) =
数微分法を用いた方が計算が容易になることを実感しよう．
ex (x + 1)10
{x + 10 log(x + 1) − 5 log(x − 1)}′
(x − 1)5
{
}
10
5
ex (x + 1)10
1+
−
.
=
(x − 1)5
x+1 x−1
f ′ (x) = f (x){log f (x)}′ =
□
√
例
f (x) =
(x2 + x)2 (x3 − 1)5
, (x > 1) の導関数を求める．
(x2 + 4)3 (x2 + 3)2
{log f (x)}′ = {log(x2 + x) +
=
5
3
log(x3 − 1) − log(x2 + 4) − log(x2 + 3)}′
2
2
2x + 1 5
3x2
3
2x
2x
+
·
− · 2
− 2
.
2
3
x +x 2 x −1 2 x +4 x +3
よって，対数微分法より
f ′ (x) = f (x){log f (x)}′
√
{
}
15x2
3x
2x
(x2 + x)2 (x3 − 1)5 2x + 1
=
+
−
−
.
(x2 + 4)3 (x2 + 3)2 x2 + x 2(x3 − 1) x2 + 4 x2 + 3
2
✓成長率
✏
f (t) を時刻 t におけるある経済量とする．このとき，
f ′ (t)
(= {log f (t)}′ )
f (t)
を f (t) の成長率という．
✒
例
✑
A と r を定数として，t を時間を表す変数とする．ある経済量が f (t) = Aert で与えら
れているとき，その成長率は
f ′ (t)
= {log f (t)}′ = {log Aert }′ = {log A + rt}′ = r
f (t)
である．
例（新古典派成長モデルの一例）
t を時間のパラメータとする．Y = Y (t) を産出量，
K = K(t) を資本量，L = L(t) を雇用量，λ を技術進歩率（定数）とする．また，マクロ
的生産関数が
Y (t) = eλt K(t)α L(t)1−α
(1)
で与えられているとする．ただし，α は 0 < α < 1 を満たす定数とする．さて，労働生産
性 y(t) = Y (t)/L(t) の成長率が（定数）µ のとき，資本係数 v(t) = K(t)/Y (t) の成長率を
定数 λ, α, µ を用いて表せ．
解
(1) の両辺の対数をとって微分すると次を得る．
Y ′ (t)
K ′ (t)
L′ (t)
=λ+α
+ (1 − α)
.
Y (t)
K(t)
L(t)
(2)
労働生産性の成長率が µ であることから，
y ′ (t)
Y ′ (t) L′ (t)
= {log y(t)}′ = {log Y (t) − log L(t)}′ =
−
= µ.
y(t)
Y (t)
L(t)
よって，
L′ (t)
Y ′ (t)
=
−µ
L(t)
Y (t)
を得る．ここで，(3) を (2) に代入すると
( ′
)
K (t) Y ′ (t)
−
0=λ+α
− (1 − α)µ.
K(t)
Y (t)
3
(3)
(4)
一方，資本係数の成長率は
v ′ (t)
K ′ (t) Y ′ (t)
= {log v(t)}′ = {log K(t) − log Y (t)}′ =
−
v(t)
K(t)
Y (t)
(5)
であるから，(5) を (4) に代入すると
0=λ+α·
v ′ (t)
− (1 − α)µ
v(t)
である．したがって，資本係数の成長率は，定数 λ, α, µ を用いて
v ′ (t)
1
= {(1 − α)µ − λ}
v(t)
α
□
と表せる．
例（離散時間データと成長率）
f (1), f (2), · · · , f (n) を離散時間データ（経済時系列データ）とする．このデータの時刻 t
における『成長率』は
f (t) − f (t − 1)
f (t − 1)
· · · (1)
または，
log f (t) − log f (t − 1)
で与えられる．実は，(1) と (2) は共に成長率
解説
(1) は
· · · (2)
f ′ (t)
を差分化したものである．
f (t)
f (t) − f (t − h)
hf (t − h)
で h = 1 とおいたものである．この式で h → 0 の極限を考えると
f (t) − f (t − h)
f (t) − f (t − h)
1
1
f ′ (t)
= lim
·
= f ′ (t) ·
=
h→0
h→0
hf (t − h)
h
f (t − h)
f (t)
f (t)
lim
よって，(1) は成長率を差分化したものである．
次に，(2) は
log f (t) − log f (t − h)
h
で h = 1 とおいたものである．この式で h → 0 の極限を考えると
log f (t) − log f (t − h)
f ′ (t)
= {log f (t)}′ =
h→0
h
f (t)
lim
よって，(2) も成長率を差分化したものである．
4
□

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