物理実験 III－データ処理－

物理実験 III －データ処理－
[1] 最小二乗法
(1) 一次関数（y = ax + b）
最小二乗法とは測定で得られた数値の組を、適当なモデルから想定される一次関数、対数曲線
など特定の関数を用いて近似するときに、想定する関数が測定値に対してよい近似となるよう
に、残差（直線 y = axi + b と測定データ yi との差）の二乗和を最小とするような係数を決定
する方法である。つまり、測定値 (xi ; yi ) と求めた直線（曲線）から計算した値との差が最も小
さくなるように、係数を決める方法である。以下に測定値から最適な直線 y = ax + b の係数 a
と b を決定する手順を示す。
S=
X
(yi ¡ axi ¡ b)2
（残差の二乗和）
X
X
@S
=2
xi (axi + b ¡ yi ) = 2 (ax2i + bxi ¡ xi yi ) = 0
@a
X
@S
= 2 (axi + b ¡ yi ) = 0
@b
これらより、下記の連立方程式が得られる。
a
a
X
X
x2i + b
X
xi =
xi + N b =
X
X
xi yi
yi
N は測定データ数で、上の 2 式より、a と b を決定する。
P
P
P
N xi yi ¡ xi yi
a=
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
b=
P
P
P
P
x2i yi ¡ xi xi yi
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
(2) 二次関数（y = ax2 + bx + c）
上述した方法を二次関数に適用して、係数 a、b、c の決定を行う。
S=
X
(yi ¡ ax2i ¡ bxi ¡ c)2
（残差の二乗和）
X
X
@S
=2
x2i (ax2i + bxi + c ¡ yi ) = 2 (ax4i + bx3i + cx2i ¡ x2i yi ) = 0
@a
X
X
@S
=2
xi (ax2i + bxi + c ¡ yi ) = 2 (ax3i + bx2i + cxi ¡ xi yi ) = 0
@b
X
@S
= 2 (ax2i + bxi + c ¡ yi ) = 0
@c
a
a
a
X
X
X
x4i + b
x3i + b
x2i + b
X
X
X
x3i + c
x2i + c
X
X
x2i =
xi =
xi + Nc =
X
X
X
x2i yi
xi yi
yi
1
得られた連立方程式を解くことにより、係数 a、b、c を決定する。ただし、N は測定データ数
である。
直線の式、二次関数、その他の式などは Excel でも計算が可能である。その手順を以下に示す。
手順
(1)「グラフを作成」（散布図マーカーのみ）
(2)「グラフ」をクリック
(3)「グラフツール」-「レイアウト」-「近似曲線」-「その他のオプション」
(4)「線形近似」（直線）をチェック、二次関数の場合は多項式近似（次数 2）をチェック
(5)「グラフに数式を表示」をチェック
以上
ただし、係数 a と b の誤差は手動で求めなければならない。このテキストの「簡単な応用-回帰
曲線」に求め方が記載されている。
[2] 係数 a; b の誤差
測定値 xi はほとんど誤差がないと仮定すると、係数 a; b の誤差は yi の誤差から生じることにな
る。yi の値の標準偏差について何らかの決定をしなければならない。yi は真の値 ax + b の周り
に分布幅 ¾y で正規分布をしていると仮定する。そうすると、¾y の見積りは
¾y =
s
1 X
(axi + b ¡ yi )2
N
を使って求めることができると考えられる。ところが、N = 2 のときには２点で決定される直
線であり、誤差は生じないことになる。そこで、N を N ¡ 2 に置き換えた式が正しいものにな
る。従って、¾y は
¾y =
s
1 X
(axi + b ¡ yi )2
N ¡2
で与えられる。上述より係数 a; b は下記のように
P
P
P
N xi yi ¡ xi yi
a=
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
b=
P
P
P
P
x2i yi ¡ xi xi yi
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
与えられている。そこで、誤差の伝播によって計算するために a を変形すると
P
N(x1 y1 + x2 y2 + :::) ¡ xi (y1 + y2 + ::::)
(Nx1 ¡
a=
=
P 2
P
2
N xi ¡ ( xi )
となる。係数 a の誤差を計算すると（誤差の伝播参照）
¾a =
=
[(Nx1 ¡
P
¾a = ¾y
N
P
x2i
P
xi )y1 + (Nx2 ¡ xi )y2 + ::::
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
P
xi )2 ¾y2 + (N x2 ¡ xi )2 ¾y2 + ::::]1=2
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
[(Nx1 )2 ¡ 2N x1
s
P
P
P
xi + (
N
P
¡ ( xi )2
xi )2 + (N x2 )2 ¡ 2Nx2
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
2
P
P
xi + (
xi )2 + ::::]1=2
¾y
となる。同様に、b の式を変形して、係数 b の誤差を計算すると
b=
P
P
x2i ¡ (
(
¾b =
P
[N (
¾b = ¾y
v
u
u
t
P
P
xi )x1 )y1 + ( x2i ¡ ( xi )x2 )y2 + :::::
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
P
P
P
x2i )2 ¡ 2 x2i ( xi )2 + ( xi )2
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
N
P
P
x2i ]1=2
¾y
P
x2i
P
x2i ¡ ( xi )2
となる。従って、求める式は
y = a(¾a )x + b(¾b )
a § ¾a
b § ¾b
と表わされる。
[3] 誤差の伝播
x1; x2 ; x3 ; x4 ; ::: の測定を独立に行い、その誤差 ¾1 、¾2 、¾3 、....... を得たとする。それぞれの測
定結果が正規分布に従う場合には、式 y = f (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ::::) の y の誤差 ¾y は
¾y =
s
(
@f 2 2
@f 2 2
@f 2 2
@f 2 2
) ¾1 + (
) ¾2 + (
) ¾3 + (
) ¾ + ::::
@x1
@x2
@x3
@x4 4
で与えられる。
「@ 」は偏微分（微分する変数以外の変数は定数として扱う）であり、読みは「ラ
ウンド」という。
この関係式に関して、下記に示す。ある量 x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; ::: の測定を独立に行い、これと関係
のある量 R を間接的に見出そうとする場合、R の関数として
R = f(x1 ; x2 ; x3 ; :::::)
と表される。R の最確値は各 xi の最確値を見出して上式により算出される。xi の測定値に ±xi
なる誤差があるときに、R に波及する誤差 ±R は以下に記載されているように
±R =
@f
@f
@f
@f
±x1 +
±x2 +
±x3 + ::::::: +
±xn
@x1
@x2
@x3
@xn
と表される。両辺を二乗すると
(±R)2 = (
@f 2
@f 2
@f @f
) (±x1 )2 + (
) (±x2 )2 + :::::::: + 2
±x1 ±x2 + :::::::::
@x1
@x2
@x1 @x2
となる。各 xi についてそれぞれ多くの観測値を得たとし、それらの誤差に対する上式を両辺そ
れぞれ加算すると、
N
X
k
(±Rk )2 = (
N
N
N
@f 2 X
@f 2 X
@f @f X
)
(±x1k )2 + (
)
(±x2k )2 + :::::::: + 2
(±x1k ±x2k ) + :::::::::
@x1 k
@x2 k
@x1 @x2 k
3
となる。ここで、誤差 ±xi 、±xj はそれぞれ正規分布に従う確率で生まれるとすると、おのおの
が正負の値を取る確率は等しくなり、誤差の合計
PN
これに対し、
(±R)2 = (
k
PN
k
(±x1k ±x2k ) は 0 になることが期待される。
(±xjk )2 などの二乗項は N が増すと共に大きくなる。よって、
@f 2
@f 2
) (±x1 )2 + (
) (±x2 )2 + ::::::::
@x1
@x2
となり、最初の式が得られる。
下記の事項は誤差が正規分布に従わない場合にも一般的に成り立つ。直接観測量を x、y 、
z.......、目的量を R = f (x; y; z; :::::)、各観測量の誤差を ±x、±x、±x、......、これによって生じ
る R の誤差を ±R とし、以下に諸条件の場合を考える。
(1) 和・差の形のとき
R = ax § by § cz § :::::::
±R = a±x § b±y § c±z § ::::::::
j±Rj<ja±xj + jb±yj + jc±zj + ::::::::
or
と書かれる。各測定量の測定誤差の各係数倍がそのまま目的量の絶対誤差として伝搬する。ま
た、それらはある程度正負たがいに打ち消すこともありうる。例えば、ある長さ p と q との観
測により
L = p + 0:001q
の関係があるとき、L の誤差 ±L は
±L = ±p + 0:001±q
or
j±Lj<j±pj + 0:001j±qj
と表される。すなわち、p の絶対誤差と q の絶対誤差の 1=1000 とが L の絶対誤差として波及
する。
(2) 一般形、積・商の形のとき
R = f(x; y; z; :::::)
±R =
@f
@f
@f
±x +
±y +
±z + :::::::
@x
@y
@z
と書かれる。これを積・商の形に適用すると下記のように
R = xm y n z o ::::::::
±R = (y n z o :::::::)mxm¡1 ±x + (xm z o :::::::)ny n¡1 ±y + (xm y n :::::::)oz o¡1 ±z + :::::::::
or j±Rj<j(y n z o :::::::)mxm¡1 ±xj + j(xm z o :::::::)ny n¡1 ±yj + j(xm y n :::::::)oz o¡1 ±zj + :::::::::
と表すことができる。この積・商の場合は各観測量の比率誤差の各微係数が目的量の比率倍数
として波及し、目的量での可能な最大比率誤差はそれらの絶対値の総和である。例えば、針金
の直径 d、長さ l、荷重 W による伸び e を測定して、その Young 率 E を E = 4lW=(¼d2 e) から
求めた。この場合の E の誤差 ±E は
±E = E(
±l ±W
±d ±e
+
¡2 ¡ )
l
W
d
e
or
±l
±W
±d
±e
j±Ej<E(j j + j
j + 2j j + j j)
l
W
d
e
4
となる。かりに l 、W 、d、e 共に全て各自の値の 1%の誤差があれば、誤差 ±E を E で割った値
±E=E の最大値は自らの値の (1 + 1 + 2 + 1)% = 5% になる。
[4] 二乗平均誤差（標準偏差）
真値 X に関する二乗平均誤差 ¾ は各測定誤差 »i = xi ¡ X の二乗を平均し、その平方根をとっ
たもので
¾=
sP
n
i (xi
¡ X)2
=
n
sP
n 2
i »i
n
で定義される。ただし、この ¾ は真値 X から計算されるものであり、この値は計算できない。
実際に得ることができる最確値（平均値）Xm の二乗平均誤差 ¾m を誤差の伝搬を用いて以下に
求める。
個々の測定値 (xi 、i = 1; 2; 3; ::::n) の二乗平均誤差（標準偏差）¾ から平均値 Xm の二乗平均
誤差（標準偏差）¾m を誤差の伝搬から計算すると、
Xm =
1X
1
xi = (x1 + x2 + ::::::: + xn )
n
n
2
¾m
=(
@Xm 2 2
@Xm 2 2
@Xm 2 2
1
) ¾1 + (
) ¾2 + :::::::: + (
) ¾n = 2 (¾12 + ¾22 + ::::::: + ¾n2 )
@x1
@x2
@xn
n
となる。ここで、各 ¾i は単一測定での二乗平均誤差 (¾1 = ¾2 = :::: = ¾n = ¾) であるので
2
¾m
=
1
n¾
n2
¾
¾m = p
n
となり、真値 X に関する二乗平均誤差 ¾ と平均値 Xm の二乗平均誤差 ¾m との関係を与える。
真値 X に関する二乗平均誤差 ¾ は各測定誤差 »i = xi ¡ X の二乗を平均し、その平方根をとっ
たもので
¾=
sP
n 2
i »i
n
=
sP
n
i (xi
¡ X)2
n
と表される。真値 X の代わりに平均値 Xm を使うと
»i = xi ¡ X = (xi ¡ Xm ) + (Xm ¡ X)
となる。両辺を二乗して、n 回の測定を足し合わせて平均すると
»i2 = (xi ¡ Xm )2 + (Xm ¡ X)2 + 2(xi ¡ Xm )(Xm ¡ X)
n
n
n
n
1X
1X
1X
2(Xm ¡ X) X
»i2 =
(xi ¡ Xm )2 +
(Xm ¡ X)2 +
(xi ¡ Xm )
n i=1
n i
n i
n
i
¾2 =
n
1X
2
(xi ¡ Xm )2 + ¾m
+0
n i
となる。右辺の第 2 項目は真値 X と最確値（平均値）Xm との差から求めた Xm の二乗平均誤
差（標準偏差）¾m を示す。平均値は Xm =
P
xi =n で求められているので、(xi ¡ Xm ) は正負の
5
値をとる。従って、右辺の第 3 項目、合計している
て、整理すると
2
¾ ¡
¾=
2
¾m
n
1X
=
(xi ¡ Xm )2
n i
sP
¾m =
n
i=1 (xi
¡ Xm )2
=
n¡1
v
u Pn
u i=1 (xi
t
¾
¾m = p
n
Pn
(xi ¡ Xm ) は当然 0 になる。少し変形し
i
2
2
n¾ ¡ ¾ =
n
X
i
(xi ¡ Xm )2
sP
n
i
½2i
n¡1
v
u
P
¡ Xm )2 u
½2i
=t
n(n ¡ 1)
n(n ¡ 1)
½i = xi ¡ Xm
となり、平均値 Xm を使って、Xm の二乗平均誤差 ¾m を求めることができる。一般的に、誤差
としてこの値を求める。
真値 X に関する二乗平均誤差 ¾ は各測定誤差 »i = xi ¡ X の二乗平均値として定義されてい
る。実際に得ることができるのは、残差 ½ と呼ばれる測定値 xi と最確値（平均値）Xm との差
½i = xi ¡ Xm である。各測定誤差 »i = xi ¡ X を測定された最確値 Xm と真値 X で表し、これ
を n 回測定したとして、合計して平均する。この作業により、真値 X に関する二乗平均誤差 ¾
を最確値 Xm の二乗平均誤差 ¾m と残差 ½i で表している。
二乗平均誤差 ¾m の一般的な算出に関する内容（上述した事項を一般的な形式にしたもの）を、
下記に記載する。真値 Z を持つ物理量を測定して、測定値 z1 ; z2 ; z3 ; :::::; zn を得て、最確値 Zm
を求めたとする。このとき測定誤差 » は上式より
»1 = z1 ¡ Z;
»2 = z2 ¡ Z;
»3 = z3 ¡ Z; :::::::
»n = zn ¡ Z
で与えられる。一方、残差と呼ばれる測定値 zi と最確値 Zm との差 ½ は
½1 = z1 ¡ Zm ;
½ 2 = z 2 ¡ Zm ;
½3 = z3 ¡ Zm ; :::::::
½n = zn ¡ Zm
と書かれる。この残差 ½ を用いて、二乗平均誤差 ¾m を計算する。当然のことながら最確値 Zm
P
は測定値 zi を平均することにより求めているのため、
½i = 0 が成り立つ。
問題となる真値 Z からの最確値 Zm の誤差 ± は 2 つの上式を使って
± = Zm ¡ Z =
(z1 ¡ ½1 ) + (z2 ¡ ½2 ) + ::: ¡ (z1 ¡ »1 + z2 ¡ »2 + :::)
n
n
n
1X
1X
1
=
(»i ¡ ½i ) =
»i = (»1 + »2 + »3 + :::)
n i=1
n i=1
n
と表すことができる。さて、以上の測定を数組（N 回）繰り返して、»1 ; »2 ; »3 ; ::::::: のそれぞれ
について、»1k , »2k , »3k , :::::::, »nk (k = 1; 2; 3; ::::; N ) の誤差を得たと考える。すると、最確値
Zm の二乗平均誤差 ¾m は誤差 ± を用い、以下に上の定義式のように書くことができる。
n
1X
±k =
»ik
n i=1
k = 1; 2; 3; ::::; N
6
±1 = Zm1 ¡ Z =
n
1X
»i1
n i=1
±2 = Zm2 ¡ Z =
n
1X
»i2 ::::::
n i=1
±N = ZmN ¡ Z =
n
1X
»iN
n i=1
測定することによって求められるのは最確値 Zm であるので、知りたいのはこの値の誤差であ
る。N 回測定した最確値 Zm の二乗平均誤差 ¾m は各最確値の誤差 ±k の二乗平均の平方根（最
初の式で定義）であるので
¾m =
sP
N
2
k=1 ±k
2
¾m
=
N
N
1 X
±2
N k=1 k
と表すことができる。この式に、上式の ±k を代入すると
2
¾m
=
=
(
N
N X
n
N X
N
X
1 X
1
1 X
2
2
(»
+
»
+
»
+
::::::::
+
»
)
=
(
»
+
2
»ik ¢ »jk )
1k
2k
3k
nk
ik
N k=1 n2
Nn2 k=1 i=1
k=1 i;j=1
N X
n
N
1 X
1 X
Nn¾ 2
¾2
2
2
»
=
n¾
=
=
Nn2 k=1 i=1 ik Nn2 k=1
N n2
n
n¾ 2 =
n
X
»i2 (定義)
i=1
N X
n
n
n
n
n
X
X
X
1 X
1 X
2
2
2
2
2
»
=
(
»
+
»
+
»
+
:::::
»iN
)
ik
i1
i2
i3
2
2
N n k=1 i=1
N n i=1
i=1
i=1
i=1
の結果を得ることができる。上式の第２項目は正規分布に従う誤差 »ik は正負の等確率で出現
するために０とした。上式は簡単に
¾
¾m = p
n
と書かれ、最確値 Zm の二乗平均誤差 ¾m と真値 Z の二乗平均誤差 ¾ との関係を表す。最確値
Zm の二乗平均誤差 ¾m は真値 Z からの誤差 ± を用いて求めている。最確値の各誤差は測定回数
p
１回当たりのそれに比べて、1= n だけ改善されることになる。つまり、Zm は n 回測定して得
られた値であるので、より改善されている。二乗平均誤差 ¾m は最確値 Zm（平均値）と真値 Z
との間の誤差であり、二乗平均誤差 ¾ は測定値 zi と真値 Z との間の誤差である。
これまでは全て真値 Z を仮定し、二乗平均誤差 ¾ を測定値 zi と真値 Z との差で表現して
きた。しかし、真値は神のみぞ知る値である。そこで、実際に求めることができる残差 ½i を
用いて、二乗平均誤差 ¾ を求める。上式の »i = zi ¡ Z 、½i = zi ¡ Zm 、± = Zm ¡ Z から、
»i = ½i + Zm ¡ (Zm ¡ ±) となり、誤差 »i を残差 ½i で表わせば
»i = ½ i + ±
となる。ここで、必要なのは »i2 の値であるので、二乗すると
n
X
»i2 =
i
n
X
i
½2i + 2±
n
X
½i +
i
n
X
±2 =
i
n
X
½2i + n± 2
n
X
(
i
i
P
となる。残差 ½ は ½i = zi ¡ Zm で求めているのため、
½i =
n
X
i
(zi ¡ Zm ) = 0)
½i = 0 が成り立つ。左辺は最初の定義
2
で n¾ 2 となり、右辺の ± 2 は確率的に ±k2 の平均値 ¾m
に等しいと置けば
n¾ 2 =
n
X
i
2
½2i + n¾m
=
n
X
½2i + ¾ 2
i
7
( n¾ 2 =
n
X
»i2 (定義)
2
¾m
=
i
N
1 X
± 2 (平均値)
N k k
¾
¾m = p )
n
と書くことができる。書き直すと
sP
¾=
n
i
½2i
¾m =
n¡1
v
u
u
t
P
½2i
n(n ¡ 1)
となる。従って、求めた最確値（平均値）Zm の二乗平均誤差 ¾m は最確値 Zm と測定値 zi との
差（残差）½i の値から求めることができる。
[5] ガウスの誤差分布関数（正規分布）
多くの場合、測定値は平均値 m のまわりにつりがね形の正規分布と呼ばれる分布をする。つ
まり、測定値はガウスの誤差分布関数 Á(x) の形をとり、この関数系に従う誤差分布を正規分布
といい、以下の関数の形
2 x2
Á(x) = Ae¡h
A : 常数
で表される。常数 A は以下の条件
A
Z
1
¡1
e¡h
2 x2
dx = 1
から決定される。いま、この式の x と y の２重積分を考えると、
D=
Z
1
¡1
2 x2
e¡h
dx
Z
1
¡1
e¡h
2 y2
dy =
Z
1
¡1
Z
1
¡1
2 (x2 +y 2 )
e¡h
dxdy = I 2
となる。ここで、xy 平面内の極座標 (r; µ) で表せば
r2 = x2 + y 2
dxdy = drrdµ
となる。従って、積分は
D=
Z
2¼
0
Z
0
1
e
¡h2 r 2
drrdµ = 2¼
と計算ができる。従って、
p
p
¼
¼
I=
A
=1
h
h
Z
0
1
re¡h
h
A= p
¼
2 r2
dr = 2¼[¡
1 ¡h2 r2 1
¼
e
]0 = 2 = I 2
2
2h
h
h
2 2
Á(x) = p e¡h x
¼
となる。次に、真値の二乗平均誤差（標準偏差）¾ は下記のように
¾=
s
»12 + »22 + ::::: + »n2
n
で与えられる。誤差の分布が連続的で、その確率密度がガウス分布に従うとすると、期待値 E(x)
は確率 P (x) を用いて
E(x) = x1 P (x1 ) + x2 P (x2 ) + x3 P (x3 ) + :::::::: =
8
Z
1
¡1
xf (x)dx
と表される。従って、上式の分散 ¾ 2 は
Z 1
1Z1 2
h Z 1 2 ¡h2 » 2
h Z1
2 2
2
¾ =
n» f (»)d» =
» f(»)d» = p
» e
d» = p
» ¢ »e¡h » d»
n ¡1
¼ ¡1
¼ ¡1
¡1
p
h
1 ¡h2 » 2 1
1 Z 1 ¡h2 » 2
h 1
¼
1
= p (¡[» 2 e
]¡1 + 2
e
d») = p
=
¼
2h
2h ¡1
¼ 2h2 h
2h2
p
となる。標準偏差 ¾ の二乗は分散 ¾ 2 と呼ばれる（標準偏差= 分散）。ゆえに
2
1
¾=p
2h
1
h= p
2¾
の関係が得られる。従って、誤差分布関数 Á(x) は x = m（最確値）のとき最大になるように
(x¡m)2
1
Á(x) = p
e¡ 2¾2
2¼¾
と表される。¡¾ から ¾ まで Á(x) の積分を行うと
S=
Z
m+¾
m¡¾
Á(x)dx = 0:683
となる。¾ をこの物理量の測定結果の標準偏差という。標準偏差は m ¡ ¾ と m + ¾ の間の大き
さの測定値が全体の 68.3%の中に存在し、2¾ になると、95.4%の中に、3¾ になると、99.7%の
中に存在する。この計算は解析的には求められず、数値計算によって求められる。誤差分布関
数 Á(x) を f (x) とおいて、この関数
(x¡m)2
1
f (x) = p
e¡ 2¾2
2¼¾
の特徴を調べる。まず、２階まで微分すると、
2
(x ¡ m) ¡ (x¡m)
2¾2
f 0 (x) = ¡ p
e
2¼¾ 3
f 00 (x) =
2
(x ¡ m)2 ¡ ¾ 2 ¡ (x¡m)
2¾ 2
p
e
2¼¾ 5
となる。つまり、x = m、§1 でこの関数は f 0 (x) = 0、また、x = m§¾ でこの関数は f 00 (x) = 0
となるので、
「m で最大値をとり、§¾ に変曲点がある左右対称な裾野を持つ偶関数」であるこ
とが分かる。分散 ¾ 2 が小さいと急峻に、大きいとなだらかになることも容易に分かる。しか
し、どのようにつぶれようと、シャープであろうと、この関数と x 軸に囲まれる部分の面積を
¡1 から +1 にわたって積分すると 1 となることには変わりはない。
Z
+1
¡1
f (x)dx = 1
Z
or
0
+1
f (x)dx =
1
2
さて、期待値（平均値）E(x) は上述した定義にしたがって計算するまでもなく、E(x) = m と
なるはずである。計算を行うと
(x¡m)2
z2
x
1 Z
p
e¡ 2¾2 dx = p
(z + m)e¡ 2¾2 dz
¡1
2¼¾
2¼¾
p
p p
z2
1
¼
1
2 ¡ 2¾
1
2
=p
([¡¾ e
]¡1 + m
)= p
m ¼ 2¾ = m
x¡m= z
h
2¼¾
2¼¾
E(x) =
Z
+1
xf (x)dx =
Z
9
dx = dz
となる。一方、分散 V (x) は定義に従って計算すると以下のとおりとなる。
Z
V (x) =
+1
¡1
2
2
(x ¡ m) f(x)dx =
2
= E(x ) ¡ m =
Z
Z
(x2 ¡ 2mx + m2 )f (x)dx = E(x2 ) ¡ E(x)2
2
z2
x2 ¡ (x¡m)
1 Z
2
2
p
e 2¾ dx ¡ m = p
(¾z + m)2 e¡ 2 dz ¡ m2
2¼¾
2¼
Z
Z
z2
z2
1 2 Z 2 ¡ z2
1
1
¡
2
p e¡ 2 dz ¡ m2
=p ¾
z e 2 dz + 2¾m p ze 2 dz + m
2¼
2¼
2¼
Z
1
z2
2¾m
z2
2
2
= p ¾ 2 z 2 e¡ 2 dz + p [¡e¡ 2 ]1
¡1 + m ¡ m
2¼
2¼
Z
2
2
¾2 Z
¾2
1
z2
¡ z2
¡ z2 1
2
p
p
p e¡ 2 dz = ¾ 2
=
z(ze )dz =
[z(¡e )]¡1 + ¾
2¼
2¼
2¼
誤差分布関数は最確値（平均値）m と標準偏差（二乗平均誤差）¾ で表されている。
例題 1
最確値（平均値）x を求めよ。
x=
1X
xi
n
x=
71 + 72 + 72 + 73 + 71
= 71:8
5
最確値 x の二乗平均誤差（標準偏差）¾x を求めよ。
¾x =
s
¾x =
s
X
1
(xi ¡ x)2
n(n ¡ 1)
1
[(71 ¡ 71:8)2 + (72 ¡ 71:8)2 + (72 ¡ 71:8)2 + (73 ¡ 71:8)2 + (71 ¡ 71:8)2 ]
5 £ (5 ¡ 1)
=0.33
従って、x = x § ¾x = 71:8 § 0:3 = 71:8(3) と表わされる。
例題 2
円柱の直径が d § ¾d で、高さが h § ¾h で表されるとき、誤差の伝搬を使って円柱の体積の最確
値 V = ¼(d=2)2 h の平均誤差 ¾V を求めよ。
@V
¼
2
= 2dh = V
@d
4
d
¾V =
s
@V
¼
1
= d2 = V
@h
4
h
@V 2 2
@V 2 2
(
) ¾d + (
) ¾h =
@d
@h
（偏微分 [@] 読み、ラウンド）
s
2
1
( )2 ¾d2 + ( )2 ¾h2 £ V
d
h
10
例題 3
ある物体の長さ l を測って以下の値を得た。長さ l の最確値（平均値）および最確値の二乗平均
誤差（標準偏差）¾l を求めよ。
l [cm]
1
143.5
2
144.2
3
143.7
4
143.6
5
143.4
6
143.5
7
143.6
8
143.3
9
143.5
10 143.8
l = 143.61
±i2
1.2 £10¡2
34.8 £10¡2
0.8 £10¡2
0.0 £10¡2
4.4 £10¡2
1.2 £10¡2
0.0 £10¡2
9.6 £10¡2
1.2 £10¡2
3.6 £10¡2
P 2
±i = 0.568
±i = l ¡ l
-0.11
0.59
0.09
-0.01
-0.21
-0.11
-0.01
-0.31
-0.11
0.19
最確値の二乗平均誤差は下記のように計算できる。
¾l =
v
u
u
t
P
±i2
=
n(n ¡ 1)
s
0:568
= 0:0794
10 £ (10 ¡ 1)
(n : 測定数)
l = 143:61 § 0:08[cm]
物理では物理量の測定結果を m § ¾m と表し、¾m を単に誤差という。ある人の身長の測定値の
平均値が 161.414cm、標準偏差（誤差）が 0.1cm の場合には、身長の測定結果の平均値として
意味があるのは、161.4cm である。この場合の意味ある 4 桁の数字の 1614 を有効数字という。
注意: 下記の実験テーマは最小二乗法（誤差を含む）で計算して、測定誤差を含んだ最適な直
線式を求めなさい。
(1) ベータ線
(2) アッベの屈折計
(3) マイケルソン干渉計
(4) 位相差検出による光速測定
以下の実験テーマに関しては、時間的に実行可能ならば最小二乗法を用いて計算しなさい。
(1) ジュール熱・熱起電力
(2) 誘電率・電気伝導度測定
11
アッベの屈折計
測定例
最小二乗法で直線 y = ax + b の係数 a と b を求める。
N
1
2
3
4
5
6
7
8
濃度 x [%]
0
10
20
30
40
50
60
70
P
xi =280
屈折率 y
1.3320
1.3461
1.3613
1.3780
1.3961
1.4145
1.4353
1.4493
P
yi =11.1126
x2i
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
P 2
xi =14000
xi yi
0
13.461
27.226
41.340
55.844
70.725
86.118
101.451
P
xi yi =396.165
(axi + b ¡ yi )2
9.765 £10¡6
0.001 £10¡6
3.901 £10¡6
6.126 £10¡6
2.481 £10¡6
0.141 £10¡6
10.401 £10¡6
0.001 £10¡6
P 2
±i = 3:282 £ 10¡5
最小二乗法で求めた係数 a、b は
P
P
P
N xi yi ¡ xi yi
a=
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
b=
P
P
P
P
x2i yi ¡ xi xi yi
P
P
N x2i ¡ ( xi )2
である。これに測定データから計算された値を代入して、a と b を求める。
a=
8 £ 396:165 ¡ 280 £ 11:1126
= 1:7200 £ 10¡3
8 £ 14000 ¡ (280)2
b=
14000 £ 11:1126 ¡ 280 £ 396:165
= 1:3288
8 £ 14000 ¡ (280)2
従って、屈折率は式「 y = 1:720 £ 10¡3 x + 1:329」に従う。次に、係数 a と b の誤差を以下の
式を使って求める。
¾y =
s
1 X
(axi + b ¡ yi )2 =
N ¡2
¾a = ¾y
¾b = ¾y
s
v
u
u
t
s
1
(3:282 £ 10¡5 ) = 2:339 £ 10¡3
8¡2
N
= (2:339 £ 10¡3 ) £
P 2
P
N xi ¡ ( xi )2
P
x2i
= (2:339 £ 10¡3 ) £
P 2
P
N xi ¡ ( xi )2
s
s
8
= 3:609 £ 10¡5
8 £ 14000 ¡ (280)2
14000
= 1:510 £ 10¡3
8 £ 14000 ¡ (280)2
従って、係数 a と b の誤差を含めて、ショ糖濃度 x と屈折率 y の関係は
y = 1:720(36) £ 10¡3 x + 1:329(2)
となる。グラフは直線の式 y = ax + b に x を代入して計算値 y を求めて、作成する。
得られたデータは直線の式から少しずれている。二次関数の式 y = ax2 + bx + c を決定し、
グラフを作成して検討しなさい。ただし、係数の誤差は求めなくても良い。
12
ベータ線の吸収曲線の測定例
アルミ(mm) ｶｳﾝﾄ(cpm) ｌn(ｶｳﾝﾄ)
0.0
3782
8.238
0.1
3233
8.081
0.2
2742
7.916
0.3
2528
7.835
0.4
2320
7.749
0.5
2092
7.646
0.6
1905
7.552
0.8
1561
7.353
1.0
1226
7.112
1.5
551
6.312
2.0
208
5.338
2.5
80
4.382
3.0
20
2.996
4.0
2
0.693
Σｘ＝
16.9
Σｙ＝ 89.203
ａ＝
ｂ＝
Δａ＝
Δｂ＝
-1.813465
8.5607552
0.0774425 （ａの誤差）
0.1309835 （ｂの誤差）
測定電圧：400V
ｘ＾２
0.00
0.01
0.04
0.09
0.16
0.25
0.36
0.64
1.00
2.25
4.00
6.25
9.00
16.00
40.05
ｘｙ
0.000
0.808
1.583
2.351
3.100
3.823
4.531
5.882
7.112
9.468
10.675
10.955
8.987
2.773
72.047
計算値
8.561
8.379
8.198
8.017
7.835
7.654
7.473
7.110
6.747
5.841
4.934
4.027
3.120
1.307
得られた直線　ｙ＝-1.81(8) ｘ + 8.6(1)
ベータ線の測定結果
9.0
8.0
カ
ウ 7.0
ン 6.0
ト
数 5.0
4.0
c
p 3.0
m 2.0
（
ｌn(ｶｳﾝﾄ)
計算値
）
1.0
0.0
0.0
1.0
2.0
3.0
アルミの厚さ（ｍｍ）
4.0
5.0
（カウント数は測定値からバックグラウンド数（ベータ線源なし）を引いたものである。）
吸収係数（減弱係数）μ（mm^-1）の決定
半価層になるときの厚さｘを求めて、吸収係数μを求めると
μ＝0.693/（（8.561－8.561/2）/1.813）＝0.293(mm^-1）
マイケルソン干渉計の測定例
n(x) S_i(y)[mm]
0 1.5000
50 1.4837
100 1.4691
150 1.4526
200 1.4359
250 1.4194
300 1.4027
350 1.3850
400 1.3660
450 1.3518
500 1.3353
2750 15.6015
Σ
x^2
0
2500
10000
22500
40000
62500
90000
122500
160000
202500
250000
962500
xy
計算値
0.00
1.5014 74.19
1.4848
146.91
1.4682
217.89
1.4516
287.18
1.4349
354.85
1.4183
420.81
1.4017
484.75
1.3851
546.40
1.3684
608.31
1.3518
667.65
1.3352
3808.935
962500　ａ＋2750　ｂ＝3808.935
2750　ａ＋11　ｂ　＝15.6015
ａ＝
ｂ＝
Δａ＝
Δｂ＝
-0.000332509
1.501445455
2.40413E-06
0.000711151
λ＝2*a=665.0×10^-6 [m]
Δλ＝2*Δa=4.8×10^-6 [m]
求める波長λ＝665(5)×10^-6 [m]
マイケルソン干渉計
1.52
ー
マ 1.50
イ 1.48
ク 1.46
ロ
メ 1.44
1.42
タ 1.40
の
読 1.38
み 1.36
ｙ 1.34
1.32
S_i(y)[mm]
計算値
0
100
200
300
400
変化したしまの数ｎ
500
600
位相差検出による光速測定例
測定周波数（最小）： 29.2MHz
測定距離位相差距離[ｘ] 位相差
(m)
(目盛)
(m)
[ｙ](nsec)
0.5
0.2
1.0
4.0
1.0
0.3
2.0
6.0
1.5
0.6
3.0
12.0
2.0
0.8
4.0
16.0
2.5
1.0
5.0
20.0
3.0
1.1
6.0
22.0
3.5
1.2
7.0
24.0
4.0
1.4
8.0
28.0
4.5
1.6
9.0
32.0
5.0
1.7
10.0
34.0
Σ=
55.0
198.0
ａ＝
ｂ＝
Δａ＝
Δｂ＝
3.38182
1.20000
0.13525
0.83919
x^2
1.0
4.0
9.0
16.0
25.0
36.0
49.0
64.0
81.0
100.0
385.0
xy
計算値[y]
4.0
12.0
36.0
64.0
100.0
132.0
168.0
224.0
288.0
340.0
1368.0
4.582
7.964
11.345
14.727
18.109
21.491
24.873
28.255
31.636
35.018
ｃ＝１／ａ＝ 2.956989 ×10^8[m/s]
Δｃ＝ Δａ/ａ^2＝0.118258
求める光速ｃ＝3.0(1)×10^8 [m/s]
光速測定
40.0
35.0
位相差[ｙ]
30.0
25.0
位相差
[ｙ](nsec)
計算値[y]
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
距離[ｘ]
8.0
光速測定
12.0
測定距離
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
0.0
10.0
ａ＝ 0.291963
ｂ＝ -0.28087
20.0
位相差
30.0
10.0
12.0
測定距離位相差位相差距離[ｘ]
計算値
(m)
(目盛) [ｙ](nsec)
(m)
0.5
0.2
4.0
1.0
0.887
1.0
0.3
6.0
2.0
1.471
1.5
0.6
12.0
3.0
3.223
2.0 距離[ｘ]
0.8
16.0
4.0
4.391
(m)
2.5 計算値 1.0
20.0
5.0
5.558
3.0
1.1
22.0
6.0
6.142
3.5
1.2
24.0
7.0
6.726
4.0
1.4
28.0
8.0
7.894
4.5
1.6
32.0
9.0
9.062
40.0
5.0
1.7
34.0
10.0
9.646
Δａ＝ 0.011676 （この図の距離－位相差の軸のとり方は良くない。
Δｂ＝ 0.257834 なぜなら、誤差は距離の誤差から計算される。）
誘電率と電気伝導度測定
温度(℃) 容量（C） ε(μF/m)
11.0
30.66
1698.4
12.0
33.96
1881.2
13.0
35.84
1985.3
14.0
38.67
2142.1
15.0
39.78
2203.6
16.0
42.81
2371.4
17.0
46.71
2587.4
18.0
50.88
2818.4
19.0
56.50
3129.7
20.0
66.33
3674.3
20.5
71.77
3975.6
21.0
83.58
4629.8
21.5
95.65
5298.4
22.0
122.66
6794.6
22.5
152.00
8419.8
23.0
176.78
9792.5
23.5
153.91
8525.6
24.0
125.24
6937.5
24.5
103.28
5721.0
25.0
88.93
4926.2
25.5
76.47
4235.9
26.0
67.73
3751.8
27.0
54.47
3017.3
28.0
46.26
2562.5
29.0
39.49
2187.5
30.0
35.47
1964.8
32.0
28.26
1565.4
34.0
24.74
1370.4
36.0
21.72
1203.1
38.0
19.98
1106.8
40.0
18.28
1012.6
ロッシェル塩（昇温過程）
T-Tc １/ε(m/F) 計算値
-12.0
588.80
597.31
-11.0
531.59
558.65
-10.0
503.70
519.99
-9.0
466.84
481.33
-8.0
453.81
442.67
-7.0
421.69
404.01
-6.0
386.48
365.35
-5.0
354.81
326.69
-4.0
319.52
288.03
-3.0
272.16
249.37
-2.5
251.53
230.04
-2.0
215.99
210.72
-1.5
188.74
191.39
-1.0
147.18
172.06
-0.5
118.77
152.73
0.0
102.12
133.40
0.5
117.29
133.87
1.0
144.14
161.14
1.5
174.79
188.40
2.0
203.00
215.67
2.5
236.07
242.93
3.0
266.54
270.20
4.0
331.42
324.73
5.0
390.24
379.26
6.0
457.14
433.79
7.0
508.95
488.32
9.0
638.81
597.39
11.0
729.69
706.45
13.0
831.15
815.51
15.0
903.54
924.57
17.0
987.56 1033.64
23℃以下
低温相
23℃以上
高温相
傾き
切片
傾き
切片
キュリー・ワイス定数C
T<Tc
C＝ 0.026
T>Tc
C＝ 0.018
低温相の定数Cが大きい
傾きの比＝ -1.41
高温相における、誘電率の
逆数の傾きは1.4倍程度、低
温相より大きい。テキストと
は逆の結果になっている？
1200
10000
1000
8000
800
6000
600
4000
400
2000
200
0
0
10
15
20
25
温度
30
右側の縦軸を使いたいとき
変更したいグラフをダブルクリックし軸の設定を変更
35
40
１/ε
ε
ロッシェル塩の誘電率の温度変化
12000
-38.659
1022.556
54.531
-1147.615
ε(μF/m)
１/ε(m/F)
計算値
簡単な応用
--回帰曲線--
ビーカー中で培養した細菌について、面積 X と細菌数 Y との関係を求めると以下の
表のようになった。
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
サンプル番号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
面積X 細菌数Y
45
6.5
42
6.3
56
9.5
48
7.5
42
7.0
35
5.9
58
9.5
40
6.2
39
6.6
50
8.7
回帰曲線
10.0
9.0
細 8.0
菌
数 7.0
細菌数Y
6.0
5.0
30
40
50
60
ビーカーの面積
１．図から細菌数とビーカーの面積との間には相関があるように見える。そこで、
回帰曲線Ｙ＝ａＸ＋ｂの係数ａとｂを最小２乗法で求める。また、それらの誤差（標
準偏差）も求める。（最小２乗法とはＸを与えたときのデータＹと回帰曲線から計算
されたＹとの差の２乗が最小になるように係数を決定する。）
２．得られた回帰曲線から計算されたＹの値をグラフに追加する。
＜手順＞
１．係数ａの値を下記の手順に従って求める。
(1)「Ｂ１４」をマウスでクリック
(2)ｆｘ->統計->LINEST を選ぶ
(3) 既知のｙＣ２：Ｃ１１ <－－マウスでクリック
既知のｘＢ２：Ｂ１１ <－－マウスでクリック
「OK」を押す
２．係数ｂの値を下記の手順に従って求める。
(1)「Ｂ１５」をマウスでクリック
(2)ｆｘ->統計->LINEST を選ぶ
(3) 既知のｙＣ２：Ｃ１１ <－－マウスでクリック
既知のｘＢ２：Ｂ１１ <－－マウスでクリック
「OK」を押す
(4)ツールバー下のｆｘのとなり、
「=LINEST(..Y..,..X...)」を「=INDEX(
(linest(..Y.,...X)
,1,2)」に書き換える。つまり、INDEX（と,1,2）の部分を入力して追加する。ｂは Excel
中の 1,2 の位置に保存されているため。
３．誤差に間しても同様に行う。
ただし、ａの誤差「=INDEX(linest(...Y,...X,TRUE,TRUE),2,1)、ｂの誤差「=INDEX
( linest( ...Y,...X.,TRUE,TRUE) ,2,2) 」と変更する。つまり、「 INDEX」、「ＴＲＵＥ」
と数字「，２，１」を入力する。大文字と小文字のどちらでもかまわない。
A
14 係数a
15 係数ｂ
16
17 誤差±△ａ
18 誤差±△ｂ
B
0.175125
-0.59818
0.020431
0.940761
=LINEST(..Y..,..X...)
=INDEX(LINEST(..Y..,..X.),1,2)
=INDEX(LINEST(..Y..,..X..,TRUE,TRUE),2,1)
=INDEX(LINEST(..Y..,..X..,TRUE,TRUE),2,2)
(3)得られた式を使って Y の値を計算して、グラフに追加する。
番号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
面積X 細菌数Y Yの計算値
45
6.5
7.28
42
6.3
6.76
56
9.5
9.21
48
7.5
7.81
42
7.0
6.76
35
5.9
5.53
58
9.5
9.56
40
6.2
6.41
39
6.6
6.23
50
8.7
8.16
「＝係数ａ×面積 X ＋係数ｂ」を入力
ただし、定数項と係数は絶対指定
（「F ４」を押す）を行う。
下へ、コピーする。
＝ B14[F4]＊Ｘ＋ B15[F4]
（順にマウスでクリック）
(4)図を押して、表中の緑の枠を広げる。そうすると、計算された値が図に追加され
る。計算値を直線にする。追加された点をドラッグする。パターン中で線を指定、
マーカーをなしにする。
回帰曲線
10.0
9.0
細 8.0
菌
数 7.0
細菌数Y
Yの計算値
6.0
5.0
30
40
50
ビーカーの面積X
60

Download Report