計算工学I 電子情報工学科５年（前期）１０回目(25/6/2015) 担当：古山彰一 ([email protected]) 数値積分 𝑥𝑖 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑖−1 Pi 積分をコンピュータで計算するにはどうしたらよいか？ Pi-1 fi fi-1 xi-1 xi hi ℎ𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 として、これが十分小さいとすると、 𝑃𝑖 と𝑃𝑖−1 は直線で結ぶことができて、それは台形だからその面積を足し合わせて…という近似を用いた。これを台形公式と呼ぶ！というのが前回の内容。 PiとPi-1を直線で結ぶというのは、一次の曲線（直線）で結んでいるということなので、じゃぁ、この曲 x 線を高次にしたらもっと精度が上がるんじゃね？みたいな。その方針でやってみましょう。 P2i+1 P2i+2 ①式に3点の情報を入れる。ただし、 𝑥2𝑖+1 = 0, 𝑥2𝑖 = −ℎ, 𝑥2𝑖+2 = ℎとした座標系で考える。 P2i 𝑓2𝑖 = 𝐴ℎ2 − 𝐵ℎ + 𝐶 －② f2i a=x0 x1 x2 x2i f2i+1 x2i+1 𝑓2𝑖+1 = 𝐶 －③ f2i+2 x2i+2 𝑓2𝑖+2 = 𝐴ℎ2 + 𝐵ℎ + 𝐶 －④ 𝑥𝑛 = 𝑏 x ②＋④より、2 𝐴ℎ2 + 𝐶 = 𝑓2𝑖 + 𝑓2𝑖+2 －⑤ では、この2次関数を 𝑥2𝑖 , 𝑥2𝑖+2 の範囲で積分してみましょう。いま、𝑃2𝑖 (𝑥2𝑖 , 𝑓2𝑖 ), 𝑃2𝑖+1 (𝑥2𝑖+1 , 𝑓2𝑖+1 )の2点を考える。 𝑥2𝑖+2 ℎ これらの点を結ぶために2次式を準備する。すなわち 𝐼𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝐴𝑋 2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 𝑑𝑋 2 𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 + 𝐶 －①。ただしこれには問題が… 𝑥2𝑖 −ℎ 未知数としてA,B,Cと３つ出てくる。今は2点の情報（２つ 2 3 1 = 𝐴ℎ + 2𝐶ℎ = ℎ 2 𝐴ℎ2 + 𝐶 + 4𝐶 の方程式しか立てられない）しかないのでこれらを決め 3 3 られない… ③、⑤より、しょうがないので、𝑃2𝑖+2 (𝑥2𝑖+2 , 𝑥2𝑖+2 )の情報も用いるこ 1 = ℎ 𝑓2𝑖 + 4𝑓2𝑖+1 + 𝑓2𝑖+2 とにする。 3 これをすべての𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑛 − 1について合計したものがシンプソンの1/3公式と呼ばれる。シンプソンの公式 𝑏 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥において、積分区間[𝑎, 𝑎 𝑏]を2𝑛等分し、分点を𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥2𝑛 = 𝑏, これらの点での関数値を𝑓0 , 𝑓1 , ⋯ , 𝑓2𝑛 とすると、 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑎 ℎ 3 𝑛−1 𝑓2𝑖 + 4𝑓2𝑖+1 + 𝑓2𝑖+2 𝑖=0 ℎ 𝑓 + 𝑓2𝑛 + 2 𝑓2 + 𝑓4 + ⋯ + 𝑓2𝑛−2 + 4(𝑓1 + 𝑓3 + ⋯ + 𝑓2𝑛−1 ) 3 0 𝑏−𝑎 ただし、 ℎ = 2𝑛 である。 = 誤差の限界は、 (𝑏−𝑎)5 𝑀 であることが知られている。 2880𝑛4 課題 1. シンプソンの公式のプログラムを作る。 2. そのプログラムを用いて、教科書p.107の例題2を解く。 3. 教科書p.128問1の関数について、作成したプログラムを用いて計算を行う。上記課題をレポートにまとめてpdfファイルにしたうえで、本日23:59までに古山にメールで提出([email protected])しなさい。なおファイル名は、10i5??.pdf とする。??は二桁の出席番号。