1 1log dx ax b C ax b a = + + + ⌠ ⎮ ⌡ 0 ⌠ ⎮ ⌡ ⌠ ⎮ ⌡ Q （ ( ), ( ) P x x P x

451_部分分数分解を利用する不定積分計算の解法
部分分数分解を利用する不定積分計算の解法
部分分数分解（partial fraction decomposition）とは，分数式の分母が整式の積で表さ
れるとき，その分数式を多項式と複数の分数式の和で表すことである．ただし，分解され
たときの分数式は，(分子の次数)＜(分母の次数)であるとする．
数学 B の数列では，分数列の和を求める際，分数式を 2 つの分数式の差に分解すること
が多いが，数学Ⅲの積分では，和または差の形に可能な限り分解することが求められる．
分数式の不定積分のうち，次の２パターンは即答できる．
説明
⎮
１． ⌠
1 dx = 1 log ax + b + C （ a ' 0 ）（C は積分定数）
⌡ ax + b
a
⌠ f ′( x) dx = log f ( x) + C （C は積分定数）
２． ⎮
⌡ f ( x)
⌠ P ( x) dx （ P ( x) , Q ( x) は x についての整式）を求める
上記のパターン以外の不定積分 ⎮
⌡ Q ( x)
には，次のように計算していく．
(1) (分子の次数) ) (分母の次数)のときは， P( x) を Q ( x) で割り，商 R( x) と余り S ( x) を
求め
P ( x) = Q ( x) R( x) + S ( x) （ただし，（ S ( x) の次数）＜（ Q ( x) の次数））
が成り立つことから
⌠ P( x) dx = ⌠ Q ( x) R( x) + S ( x) dx = ⌠ ⎧ R( x) + S ( x) ⎫ dx
⎮
⎮
⎬
⎮⎨
Q ( x)
Q ( x) ⎭
⌡ Q ( x)
⌡
⌡⎩
と変形する．
(2)
(1)において，分数式
S ( x)
は，部分分数分解により，１．または２．のパターンに持
Q ( x)
ち込むことができれば，不定積分が求められる．
【部分分数分解の分解パターン】
①
②
③
④
⑤
⑥
px + q
= A + B
(ax + b)(cx + d ) ax + b cx + d
px 2 + qx + r
= A + B + C
(ax + b)(cx + d )(ex + f ) ax + b cx + d ex + f
px + q
B
= A +
(ax + b) 2 ax + b (ax + b) 2
px 2 + qx + r
= A + 2Bx + C
2
(ax + b)(cx + dx + e) ax + b cx + dx + e
px 2 + qx + r
B
= A +
+ C
(ax + b) 2 (cx + d ) ax + b (ax + b) 2 cx + d
px 2 + qx + r
B
C
= A +
+
3
2
ax + b (ax + b)
(ax + b)
(ax + b)3
q 分母が完全平方式や立方式の場合は，分子は定数でよいが，一般の n 次式の場合は
n − 1 次式で置かなければならないことに注意する．
−1−
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r１．
5x − 1
= A + B とおくと，分母を払って
( x + 1)( x − 2) x + 1 x − 2
5 x − 1 = A( x − 2) + B( x + 1) "" ①
x について整理して
5 x − 1 = ( A + B) x − 2 A + B
上式が，x についての恒等式となるためには
⎧ A+ B = 5
⇔ A=2, B =3
⎨
⎩ − 2 A + B = −1
5x − 1
よって
= 2 + 3
( x + 1)( x − 2) x + 1 x − 2
u ①の段階で，数値代入法により未定係数 A，B を決定することもできる．
すなわち， x = −1 を代入して −6 = −3 A ⇔ A = 2
x = 2 を代入して 9 = 3B ⇔ B = 3
ただ，数値代入法の場合は，必要十分性の欠点があるので，”逆は明らかに成り立つ”の
一言を明記しておけばよいだろう．
r２．
2 x 2 − 9 x − 11
= A + B + C とおくと，分母を払って
( x − 1)( x + 2)( x − 3) x − 1 x + 2 x − 3
2 x 2 − 9 x − 11 = A( x + 2)( x − 3) + B( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x + 2) "" ②
右辺を展開して整理すると
2 x 2 − 9 x − 11 = ( A + B + C ) x 2 + (− A − 4 B + C ) x − 6 A + 3B − 2C
両辺，係数を比較して
⎧ A+ B +C = 2
⎧ A=3
⎪
⎪
⇔ ⎨ B =1
⎨ − A − 4 B + C = −9
⎪ − 6 A + 3B − 2C = −11
⎪ C = −2
⎩
⎩
2
2 x − 9 x − 11
よって
= 3 + 1 − 2
( x − 1)( x + 2)( x − 3) x − 1 x + 2 x − 3
u 上の 3 元連立 1 次方程式を解く手間を考えると，②において，数値代入法を利用し
た方が手際がよい．
x = 1 を代入して
−18 = −6 A ⇔ A = 3
x = −2 を代入して 15 = 15B ⇔ B = 1
x = 3 を代入して −20 = 10C ⇔ C = −2
B
r３． 3x − 12 = A +
とおくと，分母を払って
x
−
2
( x − 2)
( x − 2) 2
3x − 1 = A( x − 2) + B ⇔ 3 x − 1 = Ax − 2 A + B
両辺，係数を比較して
A = 3 , − 2 A + B = −1 ⇔ A = 3 , B = 5
3x − 1 = 3 +
5
よって
2
x − 2 ( x − 2) 2
( x − 2)
−2−
451_部分分数分解を利用する不定積分計算の解法
u 分母が完全平方式の場合は，次のように分母と同じ因数を作る方法の方が手際がよ
い．
3x − 1 = 3( x − 2) + 5 = 3( x − 2) +
5
5
= 3 +
2
2
2
2
( x − 2) ( x − 2) 2
( x − 2)
( x − 2)
( x − 2)
( x − 2)
r４．
8 x 2 − 4 x + 11 = A + Bx + C とおくと，分母を払って
(2 x + 1)( x 2 − x + 3) 2 x + 1 x 2 − x + 3
8 x 2 − 4 x + 11 = A( x 2 − x + 3) + ( Bx + C )(2 x + 1)
= ( A + 2 B ) x 2 + (− A + B + 2C ) x + 3 A + C
係数を比較して
⎧ A + 2B = 8
⎪
⎨ − A + B + 2C = −4 ⇔
⎪ 3 A + C = 11
⎩
8 x 2 − 4 x + 11 =
よって
(2 x + 1)( x 2 − x + 3)
⎧ A=4
⎪
⎨ B=2
⎪ C = −1
⎩
4 + 2x −1
2 x + 1 x2 − x + 3
例題１．次の不定積分を求めよ．
(1)
x 2 dx
⌠
⎮
⌡ 1− x
dx
⌠
⎮
⌡ x(2 x + 1)
(関西大) (2)
(
)
x 2 dx = −⌠ x + 1 + 1 dx
s(1) (与式) = −⌠
⎮
⎮
x −1
⌡ x −1
⌡
= − 1 x 2 + x + log x − 1 + C （C は積分定数）
2
(
)
(東京都市大)
x+ 1
x-1 x 2
x 2-x
x
⌠
⎮ 1 dx = log 1 − x + C のミスをしないように！
x- 1
⌡ 1− x
1
⌠ 1 dx = − log 1 − x + C である．
正しくは， ⎮
⌡ 1− x
⌠ 1 dx = − ⎮
⌠ 1 dx = − log x − 1 + C とすれば，ミスは防げる．
前もって， ⎮
⌡ 1− x
⌡ x −1
q
1
= A + B とおいて，両辺の分母を払うと
x(2 x + 1) x 2 x + 1
1 = A(2 x + 1) + Bx ⇔ 1 = (2 A + B) x + A
⎧ 2A + B = 0
⇔ A = 1 , B = −2
両辺の係数を比較して ⎨
⎩ A =1
(2)
よって
(⌡ 1x − 2x2+ 1 ) dx = log x − log 2x + 1 + C
(与式) = ⌠
⎮
= log
x
+ C （C は積分定数）
2x +1
−3−
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例題２．次の不定積分を求めよ．
(1)
⌠ 2 x + 3 dx
⎮
⌡ (2 x − 1) 2
(関西大)
(2)
4 x 2 + x + 1 dx
⌠
⎮
⌡ x3 − 1
(2 x − 1) + 4
⌠
4
s(1) (与式) = ⌠
dx = ⎮ ⎛⎜ 1 +
⎮
2
2
−
1
x
(2 x − 1) 2
⌡ (2 x − 1)
⌡⎝
= 1 log 2 x − 1 − 2 + C （C は積分定数）
2
2x −1
(2)
(芝浦工業大)
⎞ dx
⎟
⎠
4x2 + x + 1 =
4 x2 + x + 1
+ C とおくと
= A + Bx
3
2
2
x −1
( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1
← x = 1 を代入すると
4 x 2 + x + 1 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
= ( A + B) x 2 + ( A − B + C ) x + A − C
6 = 3A より A = 2 が
すぐ求められる．
係数を比較して
⎧ A+ B = 4
⎧ A=2
⎪
⎪
⎨ A− B +C =1 ⇔ ⎨ B = 2
⎪ A−C =1
⎪ C =1
⎩
⎩
よって
⌠ ⎛ 2 + 2 x + 1 ⎞ dx = 2 log x − 1 + log( x 2 + x + 1) + C
⎟
⌡ ⎝ x − 1 x2 + x + 1 ⎠
= log( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) + C （C は積分定数）
(与式) = ⎮ ⎜
例題３． ⌠
⎮
1
dx を求めよ．
⌡ x( x + 1)( x + 2)
s
(富山県立大)
1
= A+ B + C
"" ①
x( x + 1)( x + 2) x x + 1 x + 2
とおいて，両辺の分母を払って
1 = A( x + 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x + 1)
上式に x = 0 , − 1 , − 2 をそれぞれ代入すると
1 = 2 A , 1 = − B , 1 = 2C ⇔ A = 1 , B = −1 , C = 1
2
2
逆に，これは①を満たす．したがって
(
)
⎫
⌠⎧ 1
1
1 ⌠ 1 − 2 + 1 dx
− 1 +
⎬ dx = ⎮
2 ⌡ x x +1 x + 2
⌡ ⎩ 2 x x + 1 2( x + 2) ⎭
= 1 {log x − 2 log x + 1 + log x + 2 } + C
2
x( x + 2)
= 1 log
+ C （C は積分定数）
2
( x + 1) 2
(与式) = ⎮ ⎨
−4−
451_部分分数分解を利用する不定積分計算の解法
■ 練習問題．
１．次の不定積分を求めよ．
(埼玉大)
⌠ ( x − 1) (3x − 1) dx
⎮
x2
⌡
2
(1)
(2)
4 x − 6 x + 9 dx
⌠
⎮ 4
⌡ x − 3x 2 + 9 x + 10
3
(信州大)
２．次の積分を計算せよ．
(1)
⌠
⎮ 2 3x + 4 dx
⌡ x + 3x + 2
(2)
⌠
⎮ 2 x dx
⌡ x +1
x 3 − x 2 − 9 x + 10 dx を求めよ．
⌡
x2 − 9
３．不定積分 ⌠
⎮
2x
⌠
dx を求めると
⌡ ( x 2 + 1)( x 2 + 3)
４．不定積分 ⎮
(山形大)
+ C である．ただし，C は積分定数で
(関西大)
ある．
５．
x −1 = α x + β + γ
を満たす定数 α , β , γ を求めると，
x3 + 1 x 2 − x + 1 x + 1
α= ア , β= イ , γ= ウ
である．よって，C を積分定数として
⌠
⎮ x3 − 1 dx = 1 log
3
⌡ x +1
(
エ
)+C
(同志社大)
となる．
６．次の不定積分を計算せよ．
(1)
1
⌠
dx
⎮
x
−
x
+ 2)( x − 3)
(
2)(
⌡
(2)
⌠ x2 − 2x + 9
dx
⎮ 2
2
⌡ ( x + 3)( x − 1)
(2)
(3)
(小樽商科大)
1
について，次の問いに答えよ．
x (1 − x)
a
a
a
f ( x) = 1 + 22 + 33 + b とおいて，定数 a1 , a2 , a3 , b を求めよ．
1− x
x x
x
７．関数 f ( x) =
(1)
(摂南大)
3
⎮ f ( x)dx を求めよ．
不定積分 ⌠
1
⌡
1
1
dx
⌠
（ p = 1 , 2 , 3 , "" ）を求めよ．
p
⌡ x (1 − x)
同様にして，不定積分 ⎮
−5−
(神戸大)

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