n次行列の対角化と三角化

n 次行列の対角化と三角化
K = R または K = C とする．行列の成分，ベクトルの成分，固有値はすべて K の元
とする．K = R のときと K = C のときで状況が異なる場合には，正確を期すために “K
において” ということがある．
K の元を成分とする n 次行列 A について，K の元を成分とする n 次正則行列 P を適
当に選んで P −1 AP を良い形の行列にすることを考える．
P −1 AP = B とおくと，P −1 (tEn − A)P = tEn − B だから，特性多項式について
FA (t) = FB (t) が成り立つ．よって，A の固有値と P −1 AP の固有値は一致する．λ ∈ K を
A の固有値，x ∈ K n を固有値 λ に属する A の固有ベクトルとする．Ax = λx．y = P −1 x
とおくと，By = P −1 AP P −1 x = P −1 Ax = λP −1 x = λy となるので，y は固有値 λ に属
する B の固有ベクトルである．
K の元を成分とする n 次行列 A について，P −1 AP が対角行列となるような K の元を
成分とする n 次正則行列 P が存在するとき，A は K において対角化可能 (diagonalizable)
であるという．A が対角化可能かどうかは，K = R のときと K = C のときで異なる場合
があるので，区別する必要がある．
第 j 列が v j ∈ K n である n 次行列 P = (v 1 v 2 · · · v n ) を考える．A と P の積 AP の第
j 列は Av j だから，AP = (Av 1 Av 2 · · · Av n ) である．一方，対角行列


λ1 0 · · · 0
 0 λ2 · · · 0 


S =  ..
(1)
.. . .
.. 
.
. .
.
0
0
···
λn
について，P と S の積 P S の第 j 列は λj v j であり，P S = (λ1 v 1 λ2 v 2 · · · λn v n ) となる．
特に，AP = P S が成り立つための必要十分条件は，すべての j (1 ≤ j ≤ n) について
Av j = λj v j となることである．
{v 1 , v 2 , . . . , v n } が K n の基底であることと，P = (v 1 v 2 · · · v n ) が正則行列であるこ
とは同値である．AP = P S であれば，この両辺に左から P −1 をかけると P −1 AP = S が
得られる．
以上の議論により，次の定理が得られた．
定理 K の元を成分とする n 次行列 A について，次の (i) と (ii) は同値である．
(i) A の固有ベクトルで構成される K n の基底が存在する．
(ii) P −1 AP が対角行列となるような K の元を成分とする n 次正則行列 P が存在する．
P −1 AP が対角行列となるとき，その対角成分として行列 A の固有値がすべて現れる．
また，P の列ベクトルはすべて行列 A の固有ベクトルである．
(
)
(
)
1 3
3 1
例 A=
について，P =
とすると
1 −1
1 −1
(
)
(
)
1 1 1
2 0
−1
−1
,
P AP =
P =
0 −2
4 1 −3
1




2 1 1
1
0 1
例 A = 1 2 1 について，P = −1 1 1 とすると，
1 1 2
0 −1 1




2 −1 −1
1 0 0
1
P −1 AP = 0 1 0
P −1 = 1 1 −2 ,
3
1 1
1
0 0 4
(
例 A=
)
(
)
0 1
1 1
とする．K = C のときは P =
とすると
−1 0
i −i
(
)
(
)
1 1 −i
i 0
−1
−1
,
P AP =
P =
0 −i
2 1 i
となる．しかし，実数の範囲に限ると A は対角化可能ではない．
(
)
−1 1
例 A=
は，K = C のときでも固有ベクトルで構成される K 2 の基底が存
0 −1
在しないので，対角化可能ではない．
P −1 AP = S であれば，S 2 = P −1 AP P −1 AP = P −1 A2 P である．任意の自然数 k につ
いて，k 個の積は S k = P −1 Ak P である．S が (1) の形の対角行列ならば，S k は (i, i) 成分
が λi k の対角行列である．よって，P と S がわかっていれば，Ak = P S k P −1 により A の
k 個の積 Ak は容易に計算できる．
K の元を成分とする n 次行列 A の特性多項式 FA (t) について，FA (t) が K において 1
次式の積に因数分解されるとは，異なる K の元 λ1 , λ2 , . . . , λr が存在して
FA (t) = (t − λ1 )m1 (t − λ2 )m2 · · · (t − λr )mr
(2)
が成り立つことをいう．ここで，m1 + m2 + · · · + mr = n である．
定理 K の元を成分とする n 次行列 A について，次の (i) と (ii) は同値である．
(i) A の特性多項式 FA (t) は K において 1 次式の積に因数分解される．
(ii) P −1 AP が上三角行列となるような K の元を成分とする n 次正則行列 P が存在
する．
証明 FA (t) = FP −1 AP (t) であり，上三角行列の特性多項式は 1 次式の積だから，(ii)
が成り立てば (i) は成り立つ．
(i) が成り立つと仮定して，n に関する帰納法で (ii) が成り立つことを示す．n = 1 の
ときは，A は上三角行列だから (ii) は成り立つ．n − 1 のとき (ii) が成り立つと仮定する．
(i) が成り立つので，行列 A の固有値 λ1 ∈ K が存在する．v 1 ∈ K n を固有値 λ1 に属する
固有ベクトルとする．Av 1 = λ1 v 1 ．v 1 に v 2 , . . . , v n ∈ K n を付け加えて {v 1 , v 2 , . . . , v n }
が K n の基底になるようにする．
2 ≤ j ≤ n について，Av j は v 1 , v 2 , . . . , v n の線型結合で
∑n
表せる．Av j = i=1 bij v i (bij ∈ K)．第 j 列が v j である n 次行列を Q = (v 1 v 2 . . . v n )
とおく．


λ1 b12 · · · b1n
 0 b22 · · · b2n 


B =  ..
..
.. 
.
.
. 
0
bn2 · · ·
2
bnn
とすると，AQ = QB で Q は正則行列だから，Q−1 AQ = B となる．
B から第 1 行と第 1 列を取り除いて得られる n − 1 次行列を B ′ とおく．


b22 · · · b2n

.. 
B ′ =  ...
. 
bn2 · · ·
bnn
B の特性多項式と B ′ の特性多項式について，FB (t) = (t − λ1 )FB ′ (t) が成り立つので，
仮定により B ′ の特性多項式は K において 1 次式の積に因数分解される．よって帰納法の
仮定により，K の元を成分とする n − 1 次正則行列 R′ で R′−1 B ′ R′ が上三角行列となるも
のが存在する．


1 0 ··· 0

0


R =  ..

′

.
R
0
とすると，R−1 BR は上三角行列なので，P = QR とおくと (ii) が成り立つ．
上記の定理を用いると，次のようにして Cayley–Hamilton の定理が証明できる．A を
n 次行列とする．K = C とし，A の特性多項式 FA (t) を 1 次式の積に因数分解したものを
FA (t) = (t − α1 )(t − α2 ) · · · (t − αn ) とする．αi ∈ C である．(2) の形の因数分解とは異な
り，α1 , . . . , αn には同じものがあってもよい．t に A を代入すると，
FA (A) = (A − α1 En )(A − α2 En ) · · · (A − αn En )
(3)
となる．
前定理により，B = P −1 AP が上三角行列になるような n 次正則行列 P が存在する．
B の対角成分は A の固有値だから，


α1 ∗ · · · ∗
 0 α2 · · · ∗ 


B =  ..
.. . .
.. 
.
.
.
. 
0
0
···
αn
としてよい．FA (t) = FB (t) であり，t に B を代入したものは P −1 FA (A)P に一致する．
P −1 FA (A)P = FA (B) = (B − α1 En )(B − α2 En ) · · · (B − αn En )
(4)
行列 B の形に注意すると，k = 1, . . . , n について，(4) の右辺の左から k 個の行列の積
(B − α1 En )(B − α2 En ) · · · (B − αk En )
の第 1 列から第 k 列までのすべての成分は 0 であることが，k に関する帰納法で容易に確
かめられる．特に k = n のときは零行列 O になるので，(4) の右辺は O である．よって，
FA (A) = O がわかる．
A の成分がすべて実数のときも，K = C として上記の議論をすれば，同じ結論 FA (A) =
O が得られる．以上により，Cayley–Hamilton の定理が証明された．
3
問題
1. 次の行列が C において対角化可能かどうか判定せよ．対角化可能のときは，P −1 AP が
対角行列となるような正則行列 P を求めよ．ただし，(6) の α は任意の定数である．


(
)
(
)
1 0 2
0 −1
−1 0
(1)
(2)
(3) 0 1 1
−1 0
2 −1
0 0 2


1 0 0
(4) 1 1 0
2 1 2


6 −3 −2
(5) 4 −1 −2
3 −2 0
2. 次の行列 A の n 乗 An を計算せよ．


(
)
2 1 1
1 3
(1)
(2) 1 2 1
1 −1
1 1 2
4

α
0
(6) 
0
0
1
α
0
0
0
1
α
0

0
0

1
α
解答とヒント
1.
(1) FA (t) = (t − 1)(t + 1) で固有値の重複度はすべて (
1 だから，
A は対角化可能であ
)
( )
1
1
る．固有値 1 および −1 に属する固有ベクトルとして，
および
があるので，
−1
1
(
)
(
)
1 1
1 0
P =
とすると P −1 AP =
となる．
−1 1
0 −1
( )
0
2
(2) FA (t) = (t + 1) で，固有値 −1 に属する固有ベクトルは
の 0 以外のスカラー倍
1
に限るので，対角化可能ではない．
   
1
0
2



(3) FA (t) = (t − 1) (t − 2) で，固有値 1 に属する固有ベクトルは 0 と 1 の線型独立
0
0 
 

2
1 0 2
なものがある．固有値 2 に属する固有ベクトルとして 1 があるので，P = 0 1 1
1
0 0 1


1 0 0
とすると P −1 AP = 0 1 0 となる．
0 0 2
 
0
2

(4) FA (t) = (t − 1) (t − 2) で，固有値 1 に属する固有ベクトルは 1  の 0 以外のスカ
−1
ラー倍に限るので，対角化可能ではない．
(5) FA (t) = (t − 1)(t − 2)2 で，固有値 2 に対する固有空間は 1 次元なので，対角化可能で
はない．
(6) FA (t) = (t − α)4 で，固有値 α に対する固有空間は 1 次元なので，対角化可能ではない．
(
)
(
)
3 1
1 0
−1
とすると P AP = 2
だから，
(1) 本文中にあるように，P =
1 −1
0 −1
(
)
n
3 − (−1)n 3
n
−1
n −1
n−2 3 + (−1)
A = P (P AP ) P = 2
1 − (−1)n 1 + (−1)n 3




1
0 1
1 0 0
(2) 本文中にあるように，P = −1 1 1 とすると P −1 AP = 0 1 0 だから，
0 −1 1
0 0 4
 n

4 + 2 4 n − 1 4n − 1
1
An = P (P −1 AP )n P −1 = 4n − 1 4n + 2 4n − 1
3
4n − 1 4n − 1 4n + 2
2.
5

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