数学Ⅰ・数学A - WAKWAK

数学Ⅰ・数学Ａ
▶ 解答表
問題番号
解答記号
正解
ア，イウ，エ
2, 10, 6
オ，カ，キ
解答記号
正解
અ
アイ
35
઄
1, 6, 2
અ
ウエ
12
અ
1, 6, 1, 3
અ
オ，カキ
1, 49
અ
シ
2
અ
クケ，コサシ
29, 735
અ
ス
0
અ
スセ，ソタ
10, 49
અ
セ，ソ，タ，チ
−, −, 4, 3
અ
チツ，テトナ
34, 245
અ
ツテ，トナ
−3, −1
઄
ニヌ
73
અ
ニ
1
઄
小計
−1, −3, 4
અ
ア
8
અ
フ，ヘ
3, 2
઄
イ
1
઄
ホ
1
અ
ウ
2
અ
エオ
23
઄
カ
2
઄
キ，ク，ケコ
5, 7, 11
અ
1 ク，ケ，コ，サ
第
問
2 ヌネ，ノハ，ヒ
小計
自己採点配点
問題番号
点／30 点
第
問
第
問
自己採点配点
点／20 点
ア，イ
3, 3
અ
ウ，エ
6, 3
઄
オ，カ
2, 2
઄
サ
2
઄
キ
9
અ
シ
2
અ
ク，ケ
4, 3
઄
小計
コ，サシ，ス
3, 38, 4
અ
セソ
59
઄
タチ
72
અ
ツテ . ト
61.0
અ
ナニ . ヌ
81.0
અ
ネ
4
઄
ノ
3
઄
1
第
問
2
小計
点／30 点
― 32 ―
点／20 点
英語
イ，ウ
2, 2
઄
エ
4
અ
オカ
10
અ
キク
12
અ
ケ
2
઄
コ，サ
1, 4
઄
シス，セソ
31, 75
અ
小計
点／100 点
(注) 第問，第問は必答。第問〜第問のうちから問選択。計問を解答。
世界史Ｂ日本史Ｂ地理Ｂ現代社会倫
合計
点／20 点
学生物地
઄
理
2
数 Ⅰ Ａ数 Ⅱ Ｂ物理基礎化学基礎生物基礎地学基礎物
ア
第
問
自己採点配点
学
正解
化
解答記号
リスニング
問題番号
理
政治経済倫理政経国
語
― 33 ―
第問
⑷
数と式，次関数
⑴より，方程式①の解は，
x=
〔〕
±2+ 10
6
ここで，3< 10 <4 より，
▶ 出題のねらい
次方程式，次不等式の解法に習熟しているか。
1<−2+ 10 <2， 5<2+ 10 <6
実数 x の条件について，必要条件・十分条件の判
1 −2+ 10
1
5 2+ 10
<
< ， <
<1
6
6
3
6
6
定ができるか。
また，⑵より，
▶ 解説
⑴
6x −2 10 x+1=0

6x −13x+2≦0 
……①
以上より，
解の公式より，
6x −2 10 x+1=0
 10 ± ( 10 ) −6
x=
6

=
 10 ± 4
6
=
 10 ±2
6

6x −13x+2≦0

6x −2 10 x+1=0
は偽
であるから，
6x −2 10 x+1=0 は 6x −13x+2≦0 である
ための
−2+ 10
2+ 10
x=
，
6
6
6x −13x+2≦0
十分条件であるが，必要条件ではない。
……ア〜エ
(…… 2 )

(x−1) −( 10 −2)(x−1)<0
6x −13x+2=0
1
≦x≦2
6
……オ，カ，キ
……⑤
を考える。
④は⑶の③における a=

……④
と，
よって，不等式②の解は，
(x−1) −6a(x−1)<0
……シ
条件
……②
(6x−1)(x−2)≦0
⑶
6x −13x+2≦0
は真
よって，方程式①の解は，
⑵
1
≦x≦2
6
−2+ 10
の場合であ
6
る。
……③
(x−1){(x−1)−6a }<0
1
1 −2+ 10
< であり，
より， <
6
3
6
(x−1){ x−(1+6a)}<0
a>0 より 1<1+6a であるから，不等式③の解は，
1<x<1+6a
この不等式を満たす整数 x がただ一つとなるの
は x=2 のみが解となるときで，
1
1
<a≦ を満たすので，⑶より④を満たす整数
3
6
は x=2 のみである。
また，⑤の解は，
1
x= , 2
6
よって，整数 x について，

(x−1) −( 10 −2)(x−1)<0

1
2
3
6x −13x+2=0 
x
x=2
x=2
ゆえに，

(x−1) −( 10 −2)(x−1)<0
1+6a

2<1+6a≦3
6x −13x+2=0
したがって，
よって，
1
1
<a≦
6
3


……ク〜サ
(x−1) −( 10 −2)(x−1)≧0


6x −13x+20
すなわち，(x−1) −( 10 −2)(x−1)≧0 は
― 34 ―
英語
必要十分条件である。 (…… 0 )
……ス
③
④
②
−2
−1
アドバイス
命題とその対偶
−1<<
命題   q とその対偶 q   の真偽は一
致する。条件 ，q より条件  ， q のほうが考え
=−
やすいとき，対偶の真偽から，もとの命題の真偽
−3
4
3
−−
4
……⑤
……ヌ〜ヒ
3
のとき，
4
 4 x
=x −
〔〕
3
x
2

理
G は x 軸の 0<x<2 の部分と点
条件を，
頂点の y 座標
>−
軸の位置
区間の端点における y 座標の符号
 2 , 0 で交わる。
3
3
のとき，f (0)<0 かつ f (2)=1>0 であるか
4
y
3
=−− のとき
4
▶ 解説
y
3
>−− のとき
4
G
G
f (x)=x +2x−4−3 ……①とおく。

f (x)=(x+) − −4−3
1
3
−
2
より，G の頂点の座標は，

(−, − −4−3)
O
……セ〜チ
2
x
O
x
2
理
G が x 軸と異なる点で交わるような  の値の範
G は x 軸の 0<x<2 の部分と点 (1, 0) で接する。
政治経済倫理政経国
=−3 のとき，
語
囲は，
=−1 のとき，
− −4−3<0
f (x)=(x−1)
より，
 +4+3>0
(+3)(+1)>0
<−3, −1< ……②
f (x)=(x−3)
……ツテ，トナ


G は x 軸の 0<x<2 の部分と共有点をもたない。
である。
よって，G が x 軸の 0<x<2 の部分と共有点を一
①より，
f (2)=1>0
……ニ
つもつ条件は，
3
=−1，− ≦
4
であり，G が x 軸の 0<x<2 の部分と異なる点で
交わるための条件は次のがすべて成り立つこと
である。
……⑥
⑤，⑥より，G が x 軸の 0<x<2 の部分と少なく
とも一つ共有点をもつような  の値の範囲は，
②が成り立ち，
−1≦
(…… 1 )
……ホ
軸について，
0<−<2
f (0)>0
すなわち −2<<0 ……③
すなわち
3
<−
4
世界史Ｂ日本史Ｂ地理Ｂ現代社会倫
ら，G は x 軸の 0<x<2 の部分と共有点を一つもつ。
に着目して考えられるか。
学生物地
次関数のグラフと x 軸との位置関係についての
3
2
……フ，ヘ
学

=x x−
▶ 出題のねらい
3
化
f (x)=x +2⋅ −
を判定するとよい。

0
数 Ⅰ Ａ数 Ⅱ Ｂ物理基礎化学基礎生物基礎地学基礎物
−3
②
リスニング
6x −13x+20 であるための
アドバイス
……④
次関数のグラフと x 軸の位置関係
②，③，④の共通範囲をとって，
次関数のグラフが x 軸の限定された区間と
交わるための条件を調べるには，
― 35 ―
頂点の y 座標(判別式)
E
軸の位置
2
区間の端点における y 座標の符号
のつに着目するとよい。グラフの概形を描いて，
条件を見落とさないよう注意深く解き進めよう。
A
1
D
C
B
ここで，∠DBE=180°−∠ABC であるから，
cos∠DBE=cos(180°−∠ABC)
第問
=−cos∠ABC
図形と計量，データの分析
=
〔〕
 3
3
△BDE において余弦定理を用いると，
▶ 出題のねらい
DE =BD +BE −2BD⋅BE cos∠DBE
適切な三角形に着目して，正弦定理，余弦定理を適

=(6 3 ) +3 −2⋅6 3 ⋅3⋅
用できるか。
 3
3
=81
与えられた図形の特徴を捉えて，相似，平行線の性
DE>0 であるから，
質などを利用できるか。
DE= 81 =9
……キ
▶ 解説
E
A
1
C

1 +( 3 ) −( 6 )
2⋅1⋅ 3
=−
FA：6 3 =2：3
3FA=2⋅6 3

 3
3

FA=4 3
cos∠BAF=cos∠ABC=−
sin ∠ABC=1−cos ∠ABC

=1− −
 3
3


sin∠BAF=sin∠ABC=
 6
3
BF =AB +AF −2AB⋅AF cos∠BAF
 6
2
=
3
3


=1 +(4 3 ) −2⋅1⋅4 3 ⋅ −
……ウ，エ
 3
3

=57
BF>0 より，
1
△ABC= ⋅BA⋅BC sin∠ABC
2
BF= 57
△ABF の外接円の半径を R とし，正弦定理を用い
 6
1
= ⋅1⋅ 3 ⋅
2
3
 2
2
 3
3
ここで，△ABF において余弦定理を用いると，
2
3
sin∠ABC>0 であるから，
=
……ク，ケ
平行線において錯角は等しいから，
……ア，イ


C
FA：DB=EA：EB
AB +BC −CA 
cos∠ABC=
2AB⋅BC
=
B
FA⫽DB であるから，
余弦定理より，
=
A
1
D
B
sin∠ABC=
2
F
ると，
BF
=2R
sin∠BAF
……オ，カ
より，
R=
― 36 ―
 57
3 38
=
4
 6
2⋅
3
……コ〜ス
英語
アドバイス
るかが，解法の鍵となることが多い。丁寧に自分
Ⅰ
の手で図を描いて，分かっている値を図に書き込
45
−16
(x−Ｃ)
256
65
56
57
4
−5
−4
16
25
16
59
−2
4
72
11
121
50
53
69
−11
−8
8
121
64
64
77
16
256
66
5
25
63
2
4
平均値
Ｃ
心掛けよう。
Ⅱ
〔〕

化
てくる。日頃の学習で，図を描いて考えることを
平均値，中央値，分散の意味を理解し，計算して求
x−Ｃ
んで解き進めることで，着目すべき三角形が見え
▶ 出題のねらい
点数 x
数 Ⅰ Ａ数 Ⅱ Ｂ物理基礎化学基礎生物基礎地学基礎物
図形問題では，どの図形(特に三角形)に着目す
番号
リスニング
班
生徒のおのおのの得点を x とする。
められるか。




学

理
Ⅰ班の生徒の (x−Ｃ) の合計は，
データの変更があったときの，平均値，分散の変化

Ⅱ班の生徒の (x−Ｃ) の合計は，


(−11) +(−8) +8 +16 +5 +2 =534
▶ 解説
よって，分散Ｄは，
⑴ Ⅰ班の生徒の得点を番号の得点を除いて小さい
順に並べると，
378−354=24
よって，入れ替えによって，Ⅰ班の得点の合計が
中央値が 58.0 であることより，
57+Ａ
=58.0
2
……セソ
Ⅰ班の番号(65 点)とⅡ班の番号(77
点)
また，平均値が 59.0 であるから，
または，
Ⅰ班の番号(57 点)とⅡ班の番号(69
点)
よって，
……タチ
のいずれかである。
のうち，Ⅰ班とⅡ班の分散が一致するものを

求める。Ⅰ班とⅡ班の (x−Ｃ) の合計はⅡ班のほ
⑵ Ⅰ班の人の生徒の得点の合計は，
うが高く，その差は，
6⋅59=354
534−438=96
Ⅱ班の人の生徒の得点の合計は，

であるから，入れ替えによってⅠ班の (x−Ｃ) の
50+53+69+77+66+63=378
よって，クラス 12 人のテストの得点の平均値Ｃ
は，
Ｃ=
354+378
=61.0
12
……ツテ，ト

合計が 48 点増加し，Ⅱ班の (x−Ｃ) の合計が 48
点減少したとわかる。
について




(65−61) +48(77−61)
について
(57−61) +48=(69−61) (=64)
したがって，入れ替えた生徒は，
― 37 ―
語
45+65+56+57+59+Ｂ
=59.0
6
政治経済倫理政経国
入れ替えた生徒は，
よって，
Ｂ=72
わかる。
Ⅰ班とⅡ班の得点の合計は，Ⅱ班のほうが高く，
その差は，
45，56，57，  Ａ，65，Ｂ
中央値
Ａ=59
12 点増加し，Ⅱ班の得点の合計が 12 点減少したと
⑶
であるから，得点Ａは 57 と 65 の間の点で，
……ナニ，ヌ
理
45，56，57，  65，Ｂ
中央値 58.0
438+534
=81.0
12
世界史Ｂ日本史Ｂ地理Ｂ現代社会倫
Ｄ=
学生物地
(−16) +4 +(−5) +(−4) +(−2) +11 =438
について考えられるか。
Ⅰ班の番号の生徒と，Ⅱ班の番号の生徒で
ある。
N =1234 となるのは，
……ネ，ノ
はじめに赤玉が出たあと，個の玉から，
，，と書かれた玉を取り出す。
はじめに白玉が出たあと，個の玉から，
アドバイス
，，と書かれた玉を取り出す。
のいずれかである。
データの変更が，平均値，中央値，分散等にど
の確率は，
う影響するかを考えることは，この分野の問題で
1
5
1
×
=
7  C  49
はよく問われる。平均値，分散等を単に計算でき
るだけでは不十分で，その意味，特徴の理解を要
の確率は，
求される問題である。本問⑶では平均値の条件か
2
1
2
1
2
×
= × =
7  C  7 15 105
ら変更したデータの候補をあげ，次に分散の条件
を満たすものを選べばよい。
よって，N =1234 となる確率は，
1
2
29
+
=
49 105 735
第問
場合の数と確率
……ク〜シ
x=6 となるとき
一の位の数字は 7 であるから，はじめに取り出
した個は赤玉である。
▶ 出題のねらい
千，百の位の数字の組は，1，2，3，4，5 から
袋の中から番号の書かれた玉を取り出すとき，
はじめに出る玉の色についてと，次に取る個の玉
の番号の条件を考えて，乗法定理を適用できるか。
玉の番号からつくる整数 N の条件を，玉の取り出
し方に言い換えて，確率を求められるか。
つを選ぶ  C =10 (通り)あるから，x=6 とな
る確率は，
5 10 10
× =
7 35 49
……ス〜タ
x=3 となるとき
千の位の数字は 1，百の位の数字は 2 である。
▶ 解説
はじめに取り出した個が赤玉のとき，一の位の
⑴ 個の玉の取り出し方は全部で，

C = C =
7⋅6⋅5
=35 (通り)
3⋅2⋅1
……アイ
数字は 4，5，6，7 の 4 通り，はじめに取り出し
た個が白玉のとき，一の位の数字は 4，5，6 ま
たは 4，5，7 の 3 通りであるから，x=3 となる
ある。
このうち個の玉に書かれた数字のうち番目に
大きい数が 5 であるものは，
5 より大きい数の選び方が  C  通り
確率は，
4
2
3
4
2
5
× + × = +
7 35 7 15 49 35
5 より小さい数の選び方が  C  通り
=
であることより，

C ⋅ C =2⋅
4⋅3
=12 (通り)
2⋅1
……ウエ
34
245
……チ〜ナ
x=4 となるとき
千，百の位の数字の組は 1，2，3 から二つを選
ぶ  C =3 (通り)である。はじめに取り出した
ある。
個が赤玉のとき，一の位の数字は 5，6，7 の 3 通
り，はじめに取り出した個が白玉のとき，一の
⑵
位の数字は 5，6 または 5，7 の 2 通りであるから，
N =1267 となるとき
N に 6，7 とも含まれることから，はじめに
取り出した個は赤玉
である。
1
5
5
1
×
= ×
7  C  7 35
1
49
5 3×3 2 3×2
9
4
×
+ ×
= +
7
35
7
15
49 35
=
よって，N =1267 となる確率は，
=
x=4 となる確率は，
……オ，カキ
― 38 ―
73
245
……ニヌ
(x, y)
19
4
×
17
6
×
定を読み取り，条件を言い換える力が重要である。
13
10
(3, 7)
本問では，玉を取り出して得られる N の値を，
11
12
(5, 7)
設定の読み取りと言い換え
場合の数・確率の問題では，他の分野以上に設
玉がどのように出たかに言い換えることがポイン
上の表より，
トである。特にはじめに出す玉の色で分けること
(x, y, z)=(3, 7, 13), (5, 7, 11)
に注意しよう。具体例を考えたり，表や図を描く
の 2 組ある。
などして条件を整理して読み取る力をつけよう。
……カ
化
S(xy)+S(yz)+S(zx)=216
より，
(1+x+y+xy)+(1+y+z+yz)
第問
整数の性質
+(1+z+x+zx)=216
xy+yz+zx=167 ……③
できるか。
(x, y, z)=(3, 7, 13), (5, 7, 11) のうち，③ を満
約数の和 S(n) の式から，素数 x，y，z の条件式を
たすものは，
(x, y, z)=(5, 7, 11)
⑶
2 以上 20 未満の素数は，
S(xyz)=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz
=(1+y+z+yz)x+(1+y+z+yz)
2，3，5，7，11，13，17，19
の 8 個ある。
=(1+y)(1+z)x+(1+y)(1+z)
……ア
xy の正の約数は，
……イ
S(xyz)−S(xy)=(1+x)(1+y)(1+z)
−(1+x)(1+y)
S(xy)=1+x+y+xy
=(1+x)(1+y){(1+z)−1 }
=(1+x)(1+y)
=z(1+x)(1+y)
S(xy)=48 のとき，
=z⋅S(xy)
S(xyz)−S(xy)=912
(1+x, 1+y)=(3, 16), (4, 12), (6, 8)
のとき，
より，
(1+x)(1+y)⋅z=2 ⋅3⋅19
(x, y)=(2, 15), (3, 11), (5, 7)
ここで，
(x, y)=(2, 15) は素数の組ではない。
3≦1+x<1+y<z≦19， z は素数
よって，S(xy)=48 を満たす (x, y) は，
……ウ
ある。
⑵
であるから，
z=19， (1+x)(1+y)=2 ⋅3
よって，
S(x)+S(y)+S(z)=26
z=19， S(xy)=48
……①
したがって，⑴の設問ウより，
より，
S(xyz)−S(xy)=912
(x+1)+(y+1)+(z+1)=26
x+y+z=23
……サ
と表せる。
3≦1+x<1+y<21 であるから，
2 組
(…… 2 )
語
(1+x)(1+y)=48
……②
……エオ
であるから，①を満たす (x, y, z) は，
を満たす (x, y, z) は，
2 組
ある。
― 39 ―
政治経済倫理政経国
の個であるから，
=(1+x)(1+y)(1+z)
であるから，
理
1，x，y，xy
……キ，ク，ケコ
世界史Ｂ日本史Ｂ地理Ｂ現代社会倫
導き，条件を満たす素数を求められるか。
⑴
学生物地
3+2⋅23+xy+yz+zx=216
素数の定義を理解して，具体的な素数を扱うことが
▶ 解説
理
▶ 出題のねらい
学
3+2(x+y+z)+xy+yz+zx=216
②を代入して，
数 Ⅰ Ａ数 Ⅱ Ｂ物理基礎化学基礎生物基礎地学基礎物
x+y
リスニング
z
英語
アドバイス
……シ
アドバイス
また，線分 CG は ∠ACE の二等分線であるから，
AC：CE=AG：GE
有限個の候補から適する値を求める
AC：6=2：1
有限の区間に含まれる整数は有限個である。そ
AC=6⋅2=12
こで，条件を満たす整数値を求める解法として，
……キク
チェバの定理より，
解が存在する範囲を絞って，有限個の候補の中か
AG ED CQ
⋅
⋅
=1
GE DC QA
ら適する値を求めることができる。やみくもに多
くの値を調べるのではなく，上手に範囲を絞って
(…… 2 )
……ケ
が成り立つから，
適する値を見つけよう。
2 2 CQ
⋅ ⋅
=1
1 1 QA
より，
第問
CQ
1
=
QA 4
図形の性質
……コ，サ
△ABC の面積を S とする。
▶ 出題のねらい
BE：EC=2：3 より，
三角形の重心，角の二等分線の性質，チェバの定理
2
3
△ABE= S， △ACE= S
5
5
を適用して，線分比および面積比を求められるか。
AG：GE=2：1 より，
▶ 解説
2
△ABG= △ABE
3
A
2 2
4
= ⋅ S= S
3 5
15
……②
2
△AGQ= △AEQ
3
8
G
=
Q
P
B
4
E
D 1
=
⑴ G は △ABD の重心であるから，
……ア
8
S
25
四角形 BCQG=△ABC−△ABG−△AGQ
これと BD：DC=4：1 より，
……①
……③
よって，②，③より，
であり，E は線分 BD の中点である。
BE：ED：DC=2：2：1

2 3
4
= ⋅ S⋅
3 5
5
C
AG：GE=2：1

2
AQ
△ACE⋅
3
AC
=S−
……イ，ウ
=
線分 BG が ∠ABE の二等分線であるとき，
BA：BE=AG：GE=2：1
31
S
75
したがって，四角形 BCQG の面積は，△ABC の
であるから，
1
1
BE= BA= ⋅8=4
2
2
4
8
S− S
15
25
面積の
31
倍
75
……エ
……シス，セソ
である。
⑵ G が △ABC の内心であるとき，線分 BG は
∠ABE の二等分線であるから，⑴より，
キクの別解
BE=4
線分 AE は ∠BAC の二等分線であるから，
①より，
AB：AC=BE：EC
ED=4， DC=2
8：AC=2：3
よって，
BC=10
2AC=24
……オカ
― 40 ―
よって，
英語
AC=12
……キク
リスニング
AE：GE=3：1 より，
1
1
△BCG= △ABC= S
3
3
AC：QC=5：1 より，
1
△CQG= △ACG
5


1 2
△ACE
5 3
化
=
1 2 3
= ⋅ ⋅ S
5 3 5
2
S
25
理
=
数 Ⅰ Ａ数 Ⅱ Ｂ物理基礎化学基礎生物基礎地学基礎物
シ〜ソの別解
学
学生物地
よって，
四角形 BCQG=△BCG+△CQG
1
2
= S+ S
3
25
31
S
75
世界史Ｂ日本史Ｂ地理Ｂ現代社会倫
=
したがって，四角形 BCQG の面積は，△ABC の面
積の
31
倍
75
……シス，セソ
である。
理
アドバイス
政治経済倫理政経国
内心，外心，重心とその周囲
三角形の角の二等分線の性質
A
語
BD：DC=AB：AC
B
D
C
は三角比，ベクトルの問題でもよく使われる重要
な定理である。さらに，
内心
角の二等分線上の点
角の二等分線の性質
というように，内心と結びついて利用されること
もある。
内心，外心，重心の定義，定理を覚えるととも
に，どのような場面で使われるかを押さえながら
演習を重ねよう。
◆2015 年度センター試験実施前のため，今回の問題は，あくまでも
東進が新課程センター試験を想定して作成した形式・内容です。実
際の 2015 年度センター試験の詳細については，大学入試センター
からの発表を必ず確認してください。
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