数学Ⅰ・数学A ▶ 解答表 問題番号 解答記号 正解 ア,イウ,エ 2, 10, 6 オ,カ,キ 解答記号 正解 અ アイ 35 1, 6, 2 અ ウエ 12 અ 1, 6, 1, 3 અ オ,カキ 1, 49 અ シ 2 અ クケ,コサシ 29, 735 અ ス 0 અ スセ,ソタ 10, 49 અ セ,ソ,タ,チ −, −, 4, 3 અ チツ,テトナ 34, 245 અ ツテ,トナ −3, −1 ニヌ 73 અ ニ 1 小 計 −1, −3, 4 અ ア 8 અ フ,ヘ 3, 2 イ 1 ホ 1 અ ウ 2 અ エオ 23 カ 2 キ,ク,ケコ 5, 7, 11 અ 1 ク,ケ,コ,サ 第 問 2 ヌネ,ノハ,ヒ 小 計 自己採点 配点 問題番号 点/30 点 第 問 第 問 自己採点 配点 点/20 点 ア,イ 3, 3 અ ウ,エ 6, 3 オ,カ 2, 2 サ 2 キ 9 અ シ 2 અ ク,ケ 4, 3 小 計 コ,サシ,ス 3, 38, 4 અ セソ 59 タチ 72 અ ツテ . ト 61.0 અ ナニ . ヌ 81.0 અ ネ 4 ノ 3 1 第 問 2 小 計 点/30 点 ― 32 ― 点/20 点 英 語 イ,ウ 2, 2 エ 4 અ オカ 10 અ キク 12 અ ケ 2 コ,サ 1, 4 シス,セソ 31, 75 અ 小 計 点/100 点 (注) 第問,第問は必答。第問〜第問のうちから問選択。計問を解答。 世界 史B 日 本 史B 地 理 B 現代社会倫 合 計 点/20 点 学生 物地 理 2 数 Ⅰ A 数 Ⅱ B 物理基礎 化学基礎 生物基礎 地学基礎物 ア 第 問 自己採点 配点 学 正解 化 解答記号 リスニング 問題番号 理 政治経済 倫理政経国 語 ― 33 ― 第問 ⑷ 数と式,次関数 ⑴より,方程式①の解は, x= 〔〕 ±2+ 10 6 ここで,3< 10 <4 より, ▶ 出題のねらい 次方程式,次不等式の解法に習熟しているか。 1<−2+ 10 <2, 5<2+ 10 <6 実数 x の条件について,必要条件・十分条件の判 1 −2+ 10 1 5 2+ 10 < < , < <1 6 6 3 6 6 定ができるか。 また,⑵より, ▶ 解説 ⑴ 6x −2 10 x+1=0 6x −13x+2≦0 ……① 以上より, 解の公式より, 6x −2 10 x+1=0 10 ± ( 10 ) −6 x= 6 = 10 ± 4 6 = 10 ±2 6 6x −13x+2≦0 6x −2 10 x+1=0 は偽 であるから, 6x −2 10 x+1=0 は 6x −13x+2≦0 で あ る ための −2+ 10 2+ 10 x= , 6 6 6x −13x+2≦0 十分条件であるが,必要条件ではない。 ……ア〜エ (…… 2 ) (x−1) −( 10 −2)(x−1)<0 6x −13x+2=0 1 ≦x≦2 6 ……オ,カ,キ ……⑤ を考える。 ④は⑶の③における a= ……④ と, よって,不等式②の解は, (x−1) −6a(x−1)<0 ……シ 条件 ……② (6x−1)(x−2)≦0 ⑶ 6x −13x+2≦0 は真 よって,方程式①の解は, ⑵ 1 ≦x≦2 6 −2+ 10 の場合であ 6 る。 ……③ (x−1){(x−1)−6a }<0 1 1 −2+ 10 < であり, より, < 6 3 6 (x−1){ x−(1+6a)}<0 a>0 より 1<1+6a であるから,不等式③の解は, 1<x<1+6a この不等式を満たす整数 x がただ一つとなるの は x=2 のみが解となるときで, 1 1 <a≦ を満たすので,⑶より④を満たす整数 3 6 は x=2 のみである。 また,⑤の解は, 1 x= , 2 6 よって,整数 x について, (x−1) −( 10 −2)(x−1)<0 1 2 3 6x −13x+2=0 x x=2 x=2 ゆえに, (x−1) −( 10 −2)(x−1)<0 1+6a 2<1+6a≦3 6x −13x+2=0 したがって, よって, 1 1 <a≦ 6 3 ……ク〜サ (x−1) −( 10 −2)(x−1)≧0 6x −13x+20 すなわち,(x−1) −( 10 −2)(x−1)≧0 は ― 34 ― 英 語 必要十分条件である。 (…… 0 ) ……ス ③ ④ ② −2 −1 アドバイス 命題とその対偶 −1<< 命題 q とその対偶 q の真偽は一 致する。条件 ,q より条件 , q のほうが考え =− やすいとき,対偶の真偽から,もとの命題の真偽 −3 4 3 −− 4 ……⑤ ……ヌ〜ヒ 3 のとき, 4 4 x =x − 〔〕 3 x 2 理 G は x 軸の 0<x<2 の部分と点 条件を, 頂点の y 座標 >− 軸の位置 区間の端点における y 座標の符号 2 , 0 で交わる。 3 3 のとき,f (0)<0 かつ f (2)=1>0 であるか 4 y 3 =−− のとき 4 ▶ 解説 y 3 >−− のとき 4 G G f (x)=x +2x−4−3 ……①とおく。 f (x)=(x+) − −4−3 1 3 − 2 より,G の頂点の座標は, (−, − −4−3) O ……セ〜チ 2 x O x 2 理 G が x 軸と異なる点で交わるような の値の範 G は x 軸の 0<x<2 の部分と点 (1, 0) で接する。 政治経済 倫理政経国 =−3 のとき, 語 囲は, =−1 のとき, − −4−3<0 f (x)=(x−1) より, +4+3>0 (+3)(+1)>0 <−3, −1< ……② f (x)=(x−3) ……ツテ,トナ G は x 軸の 0<x<2 の部分と共有点をもたない。 である。 よって,G が x 軸の 0<x<2 の部分と共有点を一 ①より, f (2)=1>0 ……ニ つもつ条件は, 3 =−1,− ≦ 4 であり,G が x 軸の 0<x<2 の部分と異なる点で 交わるための条件は次のがすべて成り立つこと である。 ……⑥ ⑤,⑥より,G が x 軸の 0<x<2 の部分と少なく とも一つ共有点をもつような の値の範囲は, ②が成り立ち, −1≦ (…… 1 ) ……ホ 軸について, 0<−<2 f (0)>0 すなわち −2<<0 ……③ すなわち 3 <− 4 世界 史B 日 本 史B 地 理 B 現代社会倫 ら,G は x 軸の 0<x<2 の部分と共有点を一つもつ。 に着目して考えられるか。 学生 物地 次関数のグラフと x 軸との位置関係についての 3 2 ……フ,ヘ 学 =x x− ▶ 出題のねらい 3 化 f (x)=x +2⋅ − を判定するとよい。 0 数 Ⅰ A 数 Ⅱ B 物理基礎 化学基礎 生物基礎 地学基礎物 −3 ② リスニング 6x −13x+20 であるための アドバイス ……④ 次関数のグラフと x 軸の位置関係 ②,③,④の共通範囲をとって, 次関数のグラフが x 軸の限定された区間と 交わるための条件を調べるには, ― 35 ― 頂点の y 座標(判別式) E 軸の位置 2 区間の端点における y 座標の符号 のつに着目するとよい。グラフの概形を描いて, 条件を見落とさないよう注意深く解き進めよう。 A 1 D C B ここで,∠DBE=180°−∠ABC であるから, cos∠DBE=cos(180°−∠ABC) 第問 =−cos∠ABC 図形と計量,データの分析 = 〔〕 3 3 △BDE において余弦定理を用いると, ▶ 出題のねらい DE =BD +BE −2BD⋅BE cos∠DBE 適切な三角形に着目して,正弦定理,余弦定理を適 =(6 3 ) +3 −2⋅6 3 ⋅3⋅ 用できるか。 3 3 =81 与えられた図形の特徴を捉えて,相似,平行線の性 DE>0 であるから, 質などを利用できるか。 DE= 81 =9 ……キ ▶ 解説 E A 1 C 1 +( 3 ) −( 6 ) 2⋅1⋅ 3 =− FA:6 3 =2:3 3FA=2⋅6 3 3 3 FA=4 3 cos∠BAF=cos∠ABC=− sin ∠ABC=1−cos ∠ABC =1− − 3 3 sin∠BAF=sin∠ABC= 6 3 BF =AB +AF −2AB⋅AF cos∠BAF 6 2 = 3 3 =1 +(4 3 ) −2⋅1⋅4 3 ⋅ − ……ウ,エ 3 3 =57 BF>0 より, 1 △ABC= ⋅BA⋅BC sin∠ABC 2 BF= 57 △ABF の外接円の半径を R とし,正弦定理を用い 6 1 = ⋅1⋅ 3 ⋅ 2 3 2 2 3 3 ここで,△ABF において余弦定理を用いると, 2 3 sin∠ABC>0 であるから, = ……ク,ケ 平行線において錯角は等しいから, ……ア,イ C FA:DB=EA:EB AB +BC −CA cos∠ABC= 2AB⋅BC = B FA⫽DB であるから, 余弦定理より, = A 1 D B sin∠ABC= 2 F ると, BF =2R sin∠BAF ……オ,カ より, R= ― 36 ― 57 3 38 = 4 6 2⋅ 3 ……コ〜ス 英 語 アドバイス るかが,解法の鍵となることが多い。丁寧に自分 Ⅰ の手で図を描いて,分かっている値を図に書き込 45 −16 (x−C) 256 65 56 57 4 −5 −4 16 25 16 59 −2 4 72 11 121 50 53 69 −11 −8 8 121 64 64 77 16 256 66 5 25 63 2 4 平均値 C 心掛けよう。 Ⅱ 〔〕 化 てくる。日頃の学習で,図を描いて考えることを 平均値,中央値,分散の意味を理解し,計算して求 x−C んで解き進めることで,着目すべき三角形が見え ▶ 出題のねらい 点数 x 数 Ⅰ A 数 Ⅱ B 物理基礎 化学基礎 生物基礎 地学基礎物 図形問題では,どの図形(特に三角形)に着目す 番号 リスニング 班 生徒のおのおのの得点を x とする。 められるか。 学 理 Ⅰ班の生徒の (x−C) の合計は, データの変更があったときの,平均値,分散の変化 Ⅱ班の生徒の (x−C) の合計は, (−11) +(−8) +8 +16 +5 +2 =534 ▶ 解説 よって,分散Dは, ⑴ Ⅰ班の生徒の得点を番号の得点を除いて小さい 順に並べると, 378−354=24 よって,入れ替えによって,Ⅰ班の得点の合計が 中央値が 58.0 であることより, 57+A =58.0 2 ……セソ Ⅰ班の番号(65 点)とⅡ班の番号(77 点) また,平均値が 59.0 であるから, または, Ⅰ班の番号(57 点)とⅡ班の番号(69 点) よって, ……タチ のいずれかである。 のうち,Ⅰ班とⅡ班の分散が一致するものを 求める。Ⅰ班とⅡ班の (x−C) の合計はⅡ班のほ ⑵ Ⅰ班の人の生徒の得点の合計は, うが高く,その差は, 6⋅59=354 534−438=96 Ⅱ班の人の生徒の得点の合計は, であるから,入れ替えによってⅠ班の (x−C) の 50+53+69+77+66+63=378 よって,クラス 12 人のテストの得点の平均値C は, C= 354+378 =61.0 12 ……ツテ,ト 合計が 48 点増加し,Ⅱ班の (x−C) の合計が 48 点減少したとわかる。 について (65−61) +48(77−61) について (57−61) +48=(69−61) (=64) したがって,入れ替えた生徒は, ― 37 ― 語 45+65+56+57+59+B =59.0 6 政治経済 倫理政経国 入れ替えた生徒は, よって, B=72 わかる。 Ⅰ班とⅡ班の得点の合計は,Ⅱ班のほうが高く, その差は, 45,56,57, A,65,B 中央値 A=59 12 点増加し,Ⅱ班の得点の合計が 12 点減少したと ⑶ であるから,得点Aは 57 と 65 の間の点で, ……ナニ,ヌ 理 45,56,57, 65,B 中央値 58.0 438+534 =81.0 12 世界 史B 日 本 史B 地 理 B 現代社会倫 D= 学生 物地 (−16) +4 +(−5) +(−4) +(−2) +11 =438 について考えられるか。 Ⅰ班の番号の生徒と,Ⅱ班の番号の生徒で ある。 N =1234 となるのは, ……ネ,ノ はじめに赤玉が出たあと,個の玉から, ,,と書かれた玉を取り出す。 はじめに白玉が出たあと,個の玉から, アドバイス ,,と書かれた玉を取り出す。 のいずれかである。 データの変更が,平均値,中央値,分散等にど の確率は, う影響するかを考えることは,この分野の問題で 1 5 1 × = 7 C 49 はよく問われる。平均値,分散等を単に計算でき るだけでは不十分で,その意味,特徴の理解を要 の確率は, 求される問題である。本問⑶では平均値の条件か 2 1 2 1 2 × = × = 7 C 7 15 105 ら変更したデータの候補をあげ,次に分散の条件 を満たすものを選べばよい。 よって,N =1234 となる確率は, 1 2 29 + = 49 105 735 第問 場合の数と確率 ……ク〜シ x=6 となるとき 一の位の数字は 7 であるから,はじめに取り出 した個は赤玉である。 ▶ 出題のねらい 千,百の位の数字の組は,1,2,3,4,5 から 袋の中から番号の書かれた玉を取り出すとき, はじめに出る玉の色についてと,次に取る個の玉 の番号の条件を考えて,乗法定理を適用できるか。 玉の番号からつくる整数 N の条件を,玉の取り出 し方に言い換えて,確率を求められるか。 つを選ぶ C =10 (通り)あるから,x=6 とな る確率は, 5 10 10 × = 7 35 49 ……ス〜タ x=3 となるとき 千の位の数字は 1,百の位の数字は 2 である。 ▶ 解説 はじめに取り出した個が赤玉のとき,一の位の ⑴ 個の玉の取り出し方は全部で, C = C = 7⋅6⋅5 =35 (通り) 3⋅2⋅1 ……アイ 数字は 4,5,6,7 の 4 通り,はじめに取り出し た個が白玉のとき,一の位の数字は 4,5,6 ま たは 4,5,7 の 3 通りであるから,x=3 となる ある。 このうち個の玉に書かれた数字のうち番目に 大きい数が 5 であるものは, 5 より大きい数の選び方が C 通り 確率は, 4 2 3 4 2 5 × + × = + 7 35 7 15 49 35 5 より小さい数の選び方が C 通り = であることより, C ⋅ C =2⋅ 4⋅3 =12 (通り) 2⋅1 ……ウエ 34 245 ……チ〜ナ x=4 となるとき 千,百の位の数字の組は 1,2,3 から二つを選 ぶ C =3 (通り)である。はじめに取り出した ある。 個が赤玉のとき,一の位の数字は 5,6,7 の 3 通 り,はじめに取り出した個が白玉のとき,一の ⑵ 位の数字は 5,6 または 5,7 の 2 通りであるから, N =1267 となるとき N に 6,7 とも含まれることから,はじめに 取り出した個は赤玉 である。 1 5 5 1 × = × 7 C 7 35 1 49 5 3×3 2 3×2 9 4 × + × = + 7 35 7 15 49 35 = よって,N =1267 となる確率は, = x=4 となる確率は, ……オ,カキ ― 38 ― 73 245 ……ニヌ (x, y) 19 4 × 17 6 × 定を読み取り,条件を言い換える力が重要である。 13 10 (3, 7) 本問では,玉を取り出して得られる N の値を, 11 12 (5, 7) 設定の読み取りと言い換え 場合の数・確率の問題では,他の分野以上に設 玉がどのように出たかに言い換えることがポイン 上の表より, トである。特にはじめに出す玉の色で分けること (x, y, z)=(3, 7, 13), (5, 7, 11) に注意しよう。具体例を考えたり,表や図を描く の 2 組ある。 などして条件を整理して読み取る力をつけよう。 ……カ 化 S(xy)+S(yz)+S(zx)=216 より, (1+x+y+xy)+(1+y+z+yz) 第問 整数の性質 +(1+z+x+zx)=216 xy+yz+zx=167 ……③ できるか。 (x, y, z)=(3, 7, 13), (5, 7, 11) の う ち,③ を 満 約数の和 S(n) の式から,素数 x,y,z の条件式を たすものは, (x, y, z)=(5, 7, 11) ⑶ 2 以上 20 未満の素数は, S(xyz)=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz =(1+y+z+yz)x+(1+y+z+yz) 2,3,5,7,11,13,17,19 の 8 個ある。 =(1+y)(1+z)x+(1+y)(1+z) ……ア xy の正の約数は, ……イ S(xyz)−S(xy)=(1+x)(1+y)(1+z) −(1+x)(1+y) S(xy)=1+x+y+xy =(1+x)(1+y){(1+z)−1 } =(1+x)(1+y) =z(1+x)(1+y) S(xy)=48 のとき, =z⋅S(xy) S(xyz)−S(xy)=912 (1+x, 1+y)=(3, 16), (4, 12), (6, 8) のとき, より, (1+x)(1+y)⋅z=2 ⋅3⋅19 (x, y)=(2, 15), (3, 11), (5, 7) ここで, (x, y)=(2, 15) は素数の組ではない。 3≦1+x<1+y<z≦19, z は素数 よって,S(xy)=48 を満たす (x, y) は, ……ウ ある。 ⑵ であるから, z=19, (1+x)(1+y)=2 ⋅3 よって, S(x)+S(y)+S(z)=26 z=19, S(xy)=48 ……① したがって,⑴の設問ウより, より, S(xyz)−S(xy)=912 (x+1)+(y+1)+(z+1)=26 x+y+z=23 ……サ と表せる。 3≦1+x<1+y<21 であるから, 2 組 (…… 2 ) 語 (1+x)(1+y)=48 ……② ……エオ であるから,①を満たす (x, y, z) は, を満たす (x, y, z) は, 2 組 ある。 ― 39 ― 政治経済 倫理政経国 の個であるから, =(1+x)(1+y)(1+z) であるから, 理 1,x,y,xy ……キ,ク,ケコ 世界 史B 日 本 史B 地 理 B 現代社会倫 導き,条件を満たす素数を求められるか。 ⑴ 学生 物地 3+2⋅23+xy+yz+zx=216 素数の定義を理解して,具体的な素数を扱うことが ▶ 解説 理 ▶ 出題のねらい 学 3+2(x+y+z)+xy+yz+zx=216 ②を代入して, 数 Ⅰ A 数 Ⅱ B 物理基礎 化学基礎 生物基礎 地学基礎物 x+y リスニング z 英 語 アドバイス ……シ アドバイス また,線分 CG は ∠ACE の二等分線であるから, AC:CE=AG:GE 有限個の候補から適する値を求める AC:6=2:1 有限の区間に含まれる整数は有限個である。そ AC=6⋅2=12 こで,条件を満たす整数値を求める解法として, ……キク チェバの定理より, 解が存在する範囲を絞って,有限個の候補の中か AG ED CQ ⋅ ⋅ =1 GE DC QA ら適する値を求めることができる。やみくもに多 くの値を調べるのではなく,上手に範囲を絞って (…… 2 ) ……ケ が成り立つから, 適する値を見つけよう。 2 2 CQ ⋅ ⋅ =1 1 1 QA より, 第問 CQ 1 = QA 4 図形の性質 ……コ,サ △ABC の面積を S とする。 ▶ 出題のねらい BE:EC=2:3 より, 三角形の重心,角の二等分線の性質,チェバの定理 2 3 △ABE= S, △ACE= S 5 5 を適用して,線分比および面積比を求められるか。 AG:GE=2:1 より, ▶ 解説 2 △ABG= △ABE 3 A 2 2 4 = ⋅ S= S 3 5 15 ……② 2 △AGQ= △AEQ 3 8 G = Q P B 4 E D 1 = ⑴ G は △ABD の重心であるから, ……ア 8 S 25 四角形 BCQG=△ABC−△ABG−△AGQ これと BD:DC=4:1 より, ……① ……③ よって,②,③より, であり,E は線分 BD の中点である。 BE:ED:DC=2:2:1 2 3 4 = ⋅ S⋅ 3 5 5 C AG:GE=2:1 2 AQ △ACE⋅ 3 AC =S− ……イ,ウ = 線分 BG が ∠ABE の二等分線であるとき, BA:BE=AG:GE=2:1 31 S 75 したがって,四角形 BCQG の面積は,△ABC の であるから, 1 1 BE= BA= ⋅8=4 2 2 4 8 S− S 15 25 面積の 31 倍 75 ……エ ……シス,セソ である。 ⑵ G が △ABC の内心であるとき,線分 BG は ∠ABE の二等分線であるから,⑴より, キクの別解 BE=4 線分 AE は ∠BAC の二等分線であるから, ①より, AB:AC=BE:EC ED=4, DC=2 8:AC=2:3 よって, BC=10 2AC=24 ……オカ ― 40 ― よって, 英 語 AC=12 ……キク リスニング AE:GE=3:1 より, 1 1 △BCG= △ABC= S 3 3 AC:QC=5:1 より, 1 △CQG= △ACG 5 1 2 △ACE 5 3 化 = 1 2 3 = ⋅ ⋅ S 5 3 5 2 S 25 理 = 数 Ⅰ A 数 Ⅱ B 物理基礎 化学基礎 生物基礎 地学基礎物 シ〜ソの別解 学 学生 物地 よって, 四角形 BCQG=△BCG+△CQG 1 2 = S+ S 3 25 31 S 75 世界 史B 日 本 史B 地 理 B 現代社会倫 = したがって,四角形 BCQG の面積は,△ABC の面 積の 31 倍 75 ……シス,セソ である。 理 アドバイス 政治経済 倫理政経国 内心,外心,重心とその周囲 三角形の角の二等分線の性質 A 語 BD:DC=AB:AC B D C は三角比,ベクトルの問題でもよく使われる重要 な定理である。さらに, 内心 角の二等分線上の点 角の二等分線の性質 というように,内心と結びついて利用されること もある。 内心,外心,重心の定義,定理を覚えるととも に,どのような場面で使われるかを押さえながら 演習を重ねよう。 ◆2015 年度センター試験実施前のため,今回の問題は,あくまでも 東進が新課程センター試験を想定して作成した形式・内容です。実 際の 2015 年度センター試験の詳細については,大学入試センター からの発表を必ず確認してください。 ― 41 ―
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