励振周波数変化による空洞内エネルギーの半値幅からのＱ値の導出 2014.12.15 Iw 損失のある共振器に外部から励振する状況は右の等価回路で記述できる。 Z0 Z0 左側の励振側はインピーダンスゼロの信号源とケーブルインピーダンスＺ0 に整合させる抵抗Ｚ0 で記述され、右側の共振器はＺ0，Ｃ，Ｌの直列回路で記述されている。共振周波数は以下で与えられる。 ω 0 = 1 / LC Vs (1) C L 共振時(ω＝ω0)には共振器側は励振側から見るとインピーダンスＺ0 に見えて、インピーダンスＺ0 のケーブルと整合が合う。また、Ｑの定義から、 Q0 = Lω 0 1 Z 0 = Cω 0 Z 0 (2) なお、図の状況は臨界結合になっているため、透過波（空洞内エネルギー）の半値全幅（ＦＷＨＭ）を測定して得られる負荷ＱＬは無負荷Ｑ0 の半分になっていることに注意。さて、ω≠ω0 のときの共振器側のインピーダンスＺは以下で与えられる。 Z = j ( Lω − 1 Cω ) + Z 0 (3) (1) と(2)から x = ω ω 0 として、 Z = j(x − 1 x)Q0 Z 0 + Z 0 (4) 電圧反射係数Γは以下のように表すことが出来る。 Γ= Z − Z0 j(x − 1 / x)Q0 − 1 Z + Z 0 = j(x − 1 / x)Q + 1 0 (5) 空洞内エネルギーが半分になるときには電力反射係数が１／２になることを使うと、 Γ 2 = 1 / 2 を変形して以下を得る。 ( ) ( ) 2Q0 2 x 2 + x −2 − 2 = 4 + Q0 2 x 2 + x −2 − 2 (6) x について解くと、以下を得る。 x = 2 + Q0 2 ± 2 1 + Q0 2 (7) Q0 >>1 として、 Q0 を１／ｄとおき、ｄの関数としてマクローリン展開し、二次の項まで取ると、 x =1+ 1 2Q0 2 ± 1Q 0 (8) となり、幅を取ると Δx = 2 /Q0 となる。これより、 Q0 = 2 ω = 2 0 が得られる。 Δx Δω 従って、測定時に得られる負荷ＱＬは以下で与えられる。 QL = Q0 / 2 = ω0 Δω 臨界結合ではない場合への拡張は各自試すこと。 (9)