第2回レポート問題解答 - lab.twcu.ac.jp

第 2 回レポート問題解答
数学特論 XC/幾何学特論 IIIA (担当: 新國)
2014 年 7 月 15 日 (火) 出題
問題. 図 1 の結び目 J, K 及び 2 成分絡み目 W に対し, それらの Alexander 多項式
を, 補空間の基本群の表示の自由微分によって全て求めよ.
J
K
W
図 1: 結び目 J, K 及び 2 成分絡み目 W
以上
解答.
以下, 一般に n 個の生成元及び m 個の関係子からなる有限表示群
G = ⟨x1 , x2 , . . . , xn | r1 , r2 , . . . , rm ⟩
に対し, φ : Fn = ⟨x1 , x2 , . . . , xn | ∅⟩ → G は自然な全射準同型写像とし, 更に
ψ : G −→ ⟨t | ∅⟩ ∼
=Z
は対応 ψ(xi ) = t (i = 1, 2, . . . , n) が定める全射準同型写像とする. また, ZFn , ZG
をそれぞれ Fn , G の Z 上の群環とするとき,
φ˜ : ZFn −→ ZG, ψ˜ : ZG −→ ZH = Z[t, t−1 ]
はそれぞれ φ, ψ の環準同型写像への拡張とする. さて, まずは J の Alexander 多
項式 ∆J (t) を求めよう. いま, 図 2 の左図によって GJ = π1 (R3 − J) の Wirtinger
表示を求めると,
−1
−1 −1
−1 −1
−1 −1
r1 = x3 x1 x−1
3 x5 , r2 = x1 x4 x1 x3 , r3 = x4 x2 x4 x1 , r4 = x5 x3 x5 x2
に対し
GJ ∼
= ⟨x1 , x2 , x3 , x4 , x5 | r1 , r2 , r3 , r4 ⟩
である. そこで各 ri を各 xj で自由微分すると
∂r1
∂x1
∂r2
∂x1
∂r3
∂x1
∂r4
∂x1
∂r1
∂r1
∂r1
∂r1
−1
= 0,
= e − x3 x1 x−1
= 0,
= −x3 x1 x−1
3 ,
3 x5 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r2
∂r2
∂r2
∂r2
−1
= e − x1 x4 x−1
= 0,
= −x1 x4 x−1
= x1 ,
= 0,
1 ,
1 x3 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r3
∂r3
∂r3
∂r3
−1
= −x4 x2 x−1
= x4 ,
= 0,
= e − x4 x2 x−1
= 0,
4 x1 ,
4 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r4
∂r4
∂r4
∂r4
−1
= 0,
= −x5 x3 x−1
= x5 ,
= 0,
= e − x5 x3 x−1
5 x2 ,
5
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
= x3 ,
となる. 従って GJ の Jacobi 行列 JGJ は

x3
0 e − x5
0
−e
( (
)) 
∂ri
−e
x1
0
 e − x3 0
JGJ = φ˜
=
∂xj
 −e
x4
0
e − x1
0
0
−e
x5
0
e − x2
であり, これより J の Alexander 行列 AJ は

t
0 1−t
0
−1
)) 
(
(
∂ri
−1
t
0
 1−t 0
=
AJ = ψ˜ ◦ φ˜
∂xj
 −1
t
0
1−t
0
0
−1
t
0
1−t










となる. そこで第 1 列を除いて得られる小行列式を計算することで,
0 1−t
0
−1
−1
t
0 . 0
∆J (t) = = t4 − t3 + t2 − t + 1
t
0
1−t
0 −1
t
0
1−t が得られる.
次に K の Alexander 多項式 ∆K (t) を求めよう. いま, 図 2 の中央の図によって
GK = π1 (R3 − K) の Wirtinger 表示を求めると,
−1
−1 −1
−1 −1
−1 −1
r1 = x4 x1 x−1
3 x1 , r2 = x2 x4 x1 x4 , r3 = x1 x2 x5 x2 , r4 = x5 x3 x4 x3
に対し
GK ∼
= ⟨x1 , x2 , x3 , x4 , x5 | r1 , r2 , r3 , r4 ⟩
x1
x1
r1
x3
x1
r1
r2
x4
r4
r3
x5
J
x2
x3
r4
x4
r2
r3
r1
x4
x5
x2
r4
r3
x3
r2
x2
K
x5
W
図 2:
である. そこで各 ri を各 xj で自由微分すると
∂r1
∂x1
∂r2
∂x1
∂r3
∂x1
∂r4
∂x1
∂r1
∂r1
∂r1
∂r1
= 0,
= −x4 x1 x−1
= e,
= 0,
3 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r2
∂r2
∂r2
∂r2
−1
= −x2 x4 x−1
= e,
= 0,
= x2 − x2 x4 x−1
= 0,
1 ,
1 x4 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r3
∂r3
∂r3
∂r3
−1
= e,
= x1 − x1 x2 x−1
= 0,
= 0,
= −x1 x2 x−1
5 x2 ,
5 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r4
∂r4
∂r4
∂r4
−1
= 0,
= 0,
= x5 − x5 x3 x−1
= −x5 x3 x−1
=e
4 x3 ,
4 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
−1
= x4 − x4 x1 x−1
3 x1 ,
となる. 従って GK の Jacobi 行列 JGK は

x4 − e
0
−x1
e
0
( (
)) 
∂ri
e
0
x2 − e 0
 −x4
JGK = φ˜
=
∂xj

e
x1 − e
0
0
−x2
0
0
x5 − e −x3
e
であり, これより K の Alexander 行列 AK は

t−1
0
−t
1
0
)) 
(
(
∂ri
1
0
t−1 0
 −t
AK = ψ˜ ◦ φ˜
=
∂xj
 1
t−1
0
0
−t
0
0
t − 1 −t
1










となる. そこで第 1 列を除いて得られる小行列式を計算することで,
0
−t
1
0
1
0
t − 1 0 .
. ∆K (t) = = −2t3 + 3t2 − 2t = 2t2 − 3t + 2
t−1
0
0
−t 0
t − 1 −t
1 が得られる.
最後に W の Alexander 多項式 ∆W (t) を求めよう. いま, 図 2 の右図によって
GW = π1 (R3 − W ) の Wirtinger 表示を求めると,
−1
−1 −1
−1 −1
−1 −1
r1 = x1 x4 x−1
1 x5 , r2 = x3 x4 x2 x4 , r3 = x5 x3 x4 x3 , r4 = x5 x2 x5 x1
に対し
GW ∼
= ⟨x1 , x2 , x3 , x4 , x5 | r1 , r2 , r3 , r4 ⟩
である. そこで各 ri を各 xj で自由微分すると
∂r1
∂x1
∂r2
∂x1
∂r3
∂x1
∂r4
∂x1
∂r1
∂r1
∂r1
∂r1
−1
= 0,
= 0,
= x1 ,
= −x1 x4 x−1
1 x5 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r2
∂r2
∂r2
∂r2
−1
= 0,
= −x3 x4 x−1
= e,
= x3 − x3 x4 x−1
= 0,
2 ,
2 x4 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r3
∂r3
∂r3
∂r3
−1
= 0,
= 0,
= x5 − x5 x3 x−1
= −x5 x3 x−1
= e,
4 x3 ,
4 ,
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
∂r4
∂r4
∂r4
∂r4
−1
= −x5 x2 x−1
= x5 ,
= 0,
= 0,
= e − x5 x2 x−1
5 x1 ,
5
∂x2
∂x3
∂x4
∂x5
= e − x1 x4 x−1
1 ,
となる. 従って GW の Jacobi 行列 JGW は

e − x5 0
0
x1
−e
( (
)) 
∂ri
−x4
e
x3 − e
0
 0
JGW = φ˜
=
∂xj
 0
0 x5 − e −x3
e
−e
x5
0
0
e − x1
であり, これより W の Alexander 行列 AW は

1−t 0
0
t
−1
(
(
)) 
∂ri
−t
1
t−1
0
 0
AW = ψ˜ ◦ φ˜
=
∂xj
 0
0 t − 1 −t
1
−1
t
0
0
1−t










となる. そこで第 4 列を除いて得られる小行列式を計算することで,
1−t 0
0
t −t
1
t − 1 .
. 0
∆W (t) = = t4 − 3t3 + 3t2 − t = t3 − 3t2 + 3t − 1
0
0 t − 1 −t
−1
t
0
0 が得られる.

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