第 2 回レポート問題 解答 数学特論 XC/幾何学特論 IIIA (担当: 新國) 2014 年 7 月 15 日 (火) 出題 問題. 図 1 の結び目 J, K 及び 2 成分絡み目 W に対し, それらの Alexander 多項式 を, 補空間の基本群の表示の自由微分によって全て求めよ. J K W 図 1: 結び目 J, K 及び 2 成分絡み目 W 以上 解答. 以下, 一般に n 個の生成元及び m 個の関係子からなる有限表示群 G = ⟨x1 , x2 , . . . , xn | r1 , r2 , . . . , rm ⟩ に対し, φ : Fn = ⟨x1 , x2 , . . . , xn | ∅⟩ → G は自然な全射準同型写像とし, 更に ψ : G −→ ⟨t | ∅⟩ ∼ =Z は対応 ψ(xi ) = t (i = 1, 2, . . . , n) が定める全射準同型写像とする. また, ZFn , ZG をそれぞれ Fn , G の Z 上の群環とするとき, φ˜ : ZFn −→ ZG, ψ˜ : ZG −→ ZH = Z[t, t−1 ] はそれぞれ φ, ψ の環準同型写像への拡張とする. さて, まずは J の Alexander 多 項式 ∆J (t) を求めよう. いま, 図 2 の左図によって GJ = π1 (R3 − J) の Wirtinger 表示を求めると, −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 r1 = x3 x1 x−1 3 x5 , r2 = x1 x4 x1 x3 , r3 = x4 x2 x4 x1 , r4 = x5 x3 x5 x2 に対し GJ ∼ = ⟨x1 , x2 , x3 , x4 , x5 | r1 , r2 , r3 , r4 ⟩ である. そこで各 ri を各 xj で自由微分すると ∂r1 ∂x1 ∂r2 ∂x1 ∂r3 ∂x1 ∂r4 ∂x1 ∂r1 ∂r1 ∂r1 ∂r1 −1 = 0, = e − x3 x1 x−1 = 0, = −x3 x1 x−1 3 , 3 x5 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r2 ∂r2 ∂r2 ∂r2 −1 = e − x1 x4 x−1 = 0, = −x1 x4 x−1 = x1 , = 0, 1 , 1 x3 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r3 ∂r3 ∂r3 ∂r3 −1 = −x4 x2 x−1 = x4 , = 0, = e − x4 x2 x−1 = 0, 4 x1 , 4 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r4 ∂r4 ∂r4 ∂r4 −1 = 0, = −x5 x3 x−1 = x5 , = 0, = e − x5 x3 x−1 5 x2 , 5 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 = x3 , となる. 従って GJ の Jacobi 行列 JGJ は x3 0 e − x5 0 −e ( ( )) ∂ri −e x1 0 e − x3 0 JGJ = φ˜ = ∂xj −e x4 0 e − x1 0 0 −e x5 0 e − x2 であり, これより J の Alexander 行列 AJ は t 0 1−t 0 −1 )) ( ( ∂ri −1 t 0 1−t 0 = AJ = ψ˜ ◦ φ˜ ∂xj −1 t 0 1−t 0 0 −1 t 0 1−t となる. そこで第 1 列を除いて得られる小行列式を計算することで, 0 1−t 0 −1 −1 t 0 . 0 ∆J (t) = = t4 − t3 + t2 − t + 1 t 0 1−t 0 −1 t 0 1−t が得られる. 次に K の Alexander 多項式 ∆K (t) を求めよう. いま, 図 2 の中央の図によって GK = π1 (R3 − K) の Wirtinger 表示を求めると, −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 r1 = x4 x1 x−1 3 x1 , r2 = x2 x4 x1 x4 , r3 = x1 x2 x5 x2 , r4 = x5 x3 x4 x3 に対し GK ∼ = ⟨x1 , x2 , x3 , x4 , x5 | r1 , r2 , r3 , r4 ⟩ x1 x1 r1 x3 x1 r1 r2 x4 r4 r3 x5 J x2 x3 r4 x4 r2 r3 r1 x4 x5 x2 r4 r3 x3 r2 x2 K x5 W 図 2: である. そこで各 ri を各 xj で自由微分すると ∂r1 ∂x1 ∂r2 ∂x1 ∂r3 ∂x1 ∂r4 ∂x1 ∂r1 ∂r1 ∂r1 ∂r1 = 0, = −x4 x1 x−1 = e, = 0, 3 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r2 ∂r2 ∂r2 ∂r2 −1 = −x2 x4 x−1 = e, = 0, = x2 − x2 x4 x−1 = 0, 1 , 1 x4 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r3 ∂r3 ∂r3 ∂r3 −1 = e, = x1 − x1 x2 x−1 = 0, = 0, = −x1 x2 x−1 5 x2 , 5 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r4 ∂r4 ∂r4 ∂r4 −1 = 0, = 0, = x5 − x5 x3 x−1 = −x5 x3 x−1 =e 4 x3 , 4 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 −1 = x4 − x4 x1 x−1 3 x1 , となる. 従って GK の Jacobi 行列 JGK は x4 − e 0 −x1 e 0 ( ( )) ∂ri e 0 x2 − e 0 −x4 JGK = φ˜ = ∂xj e x1 − e 0 0 −x2 0 0 x5 − e −x3 e であり, これより K の Alexander 行列 AK は t−1 0 −t 1 0 )) ( ( ∂ri 1 0 t−1 0 −t AK = ψ˜ ◦ φ˜ = ∂xj 1 t−1 0 0 −t 0 0 t − 1 −t 1 となる. そこで第 1 列を除いて得られる小行列式を計算することで, 0 −t 1 0 1 0 t − 1 0 . . ∆K (t) = = −2t3 + 3t2 − 2t = 2t2 − 3t + 2 t−1 0 0 −t 0 t − 1 −t 1 が得られる. 最後に W の Alexander 多項式 ∆W (t) を求めよう. いま, 図 2 の右図によって GW = π1 (R3 − W ) の Wirtinger 表示を求めると, −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 r1 = x1 x4 x−1 1 x5 , r2 = x3 x4 x2 x4 , r3 = x5 x3 x4 x3 , r4 = x5 x2 x5 x1 に対し GW ∼ = ⟨x1 , x2 , x3 , x4 , x5 | r1 , r2 , r3 , r4 ⟩ である. そこで各 ri を各 xj で自由微分すると ∂r1 ∂x1 ∂r2 ∂x1 ∂r3 ∂x1 ∂r4 ∂x1 ∂r1 ∂r1 ∂r1 ∂r1 −1 = 0, = 0, = x1 , = −x1 x4 x−1 1 x5 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r2 ∂r2 ∂r2 ∂r2 −1 = 0, = −x3 x4 x−1 = e, = x3 − x3 x4 x−1 = 0, 2 , 2 x4 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r3 ∂r3 ∂r3 ∂r3 −1 = 0, = 0, = x5 − x5 x3 x−1 = −x5 x3 x−1 = e, 4 x3 , 4 , ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 ∂r4 ∂r4 ∂r4 ∂r4 −1 = −x5 x2 x−1 = x5 , = 0, = 0, = e − x5 x2 x−1 5 x1 , 5 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂x5 = e − x1 x4 x−1 1 , となる. 従って GW の Jacobi 行列 JGW は e − x5 0 0 x1 −e ( ( )) ∂ri −x4 e x3 − e 0 0 JGW = φ˜ = ∂xj 0 0 x5 − e −x3 e −e x5 0 0 e − x1 であり, これより W の Alexander 行列 AW は 1−t 0 0 t −1 ( ( )) ∂ri −t 1 t−1 0 0 AW = ψ˜ ◦ φ˜ = ∂xj 0 0 t − 1 −t 1 −1 t 0 0 1−t となる. そこで第 4 列を除いて得られる小行列式を計算することで, 1−t 0 0 t −t 1 t − 1 . . 0 ∆W (t) = = t4 − 3t3 + 3t2 − t = t3 − 3t2 + 3t − 1 0 0 t − 1 −t −1 t 0 0 が得られる.
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