微分積分 I
2014/06/27
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問題
次の関数を x について微分せよ。ただし、a は定数とする。
(a) z = ln(1 + ex )
(b) z = exp(
(c) z = xex
(d) z = x2 ex
(e) z =
√
x2 + a
x2
)
2
(f) z = ln(x +
(g) z = ex ln x
√
x2 + a)
(h) z = exp(ln x)
解答
ベキ関数の微分
{ }
d
xp = pxp−1
dx
(p は実数)
関数の積についての微分の公式
{
}
{
}
{
}
d
d
d
f (x) × g(x) =
f (x) × g(x) + f (x) ×
g(x)
dx
dx
dx
自然対数の微分
{
}
d
1
ln x =
dx
x
指数関数の微分
{ }
d
ex = e x
dx
合成関数の微分公式
{
}
d
g(f (x)) = g ′ (f (x)) × f ′ (x)
dx
を用いる。
(a) 合成関数についての微分公式を用いる。関数 f (x) と g(x) を
f (x) = 1 + ex = y,
z = g(y) = ln y
とおくと、
d
y = y ′ = ex ,
dx
d
1
g(y) = g ′ (y) =
dy
y
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
1
= × ex
y
ex
=
1 + ex
(b) 合成関数についての微分公式を用いる。関数 f (x) と g(x) を
f (x) =
x2
= y,
2
z = g(y) = exp(y)
とおくと、
d
y = y ′ = x,
dx
d
g(y) = g ′ (y) = exp(y)
dy
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したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
= exp(y) × x
= x exp(
x2
)
2
(c) 関数 f (x) と g(x) を
f (x) = x,
g(x) = exp(x)
とおくと、
d
f (x) = 1,
dx
d
g(x) = exp(x)
dx
したがって、積の微分公式より、
z ′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
= 1 × exp(x) + x × exp(x)
= exp(x) + x exp(x) = (1 + x) exp(x)
(d) 関数 f (x) と g(x) を
f (x) = x2 ,
g(x) = exp(x)
とおくと、
d
f (x) = 2x,
dx
d
g(x) = exp(x)
dx
したがって、積の微分公式より、
z ′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
= 2x × exp(x) + x2 × exp(x)
= 2x exp(x) + x2 exp(x) = x(2 + x) exp(x)
(e) 合成関数についての微分公式を用いる。関数 f (x) と g(x) を
f (x) = x2 + a = y,
z = g(y) =
√
y
とおくと、
d
y = y ′ = 2x,
dx
d
1
g(y) = g ′ (y) = √
dy
2 y
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
1
= √ × 2x
2 y
x
=√
x2 + a
(f) 合成関数についての微分公式を用いる。関数 f (x) と g(x) を
√
f (x) = x + x2 + a = y,
z = g(y) = ln y
とおくと、
x
d
y = y′ = 1 + √
,
2
dx
x +a
1
d
g(y) = g ′ (y) =
dy
y
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
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{
}
1
x
× 1+ √
y
x2 + a
{
}
1
x
√
=
× 1+ √
x + x2 + a
x2 + a
√
2
x +a+x
1
√
=
× √
x + x2 + a
x2 + a
1
=√
x2 + a
=
(g) 関数 f (x) と g(x) を
f (x) = ex ,
g(x) = ln(x)
d
f (x) = ex ,
dx
d
1
g(x) =
dx
x
とおくと、
したがって、積の微分公式より、
z ′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
1
= ex × ln(x) + ex ×
x
{
}
1
= ex ln x +
x
(h) 合成関数についての微分公式を用いる。関数 f (x) と g(x) を
f (x) = ln x = y,
z = g(y) = exp(y)
とおくと、
d
1
y = y′ = ,
dx
x
d
g(y) = g ′ (y) = exp(y)
dy
したがって、
z ′ = g ′ (y) × y ′
= exp(y) ×
=
1
x
1
1
exp(ln x) = eln x
x
x
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