PDF1 - FC2

lnupri
赤阪正純 (httpンク
web.fc2 com)
関数の連続性 (1)
関数のグラフが「連続である」と￨ま ,簡単に言え
ば「つながっているJということです最初からグ
”ボ
つながってるよね。
ではありません
現に,勁 /(″ )が存在するための条件は
,
ラフの形がわかっていれば,見た目でつながってい
Point
るかどうか判断できますが,グラフの形が分からな
い場合はどうすればよいのでしようか
そのために
は,そもそも「つながっている」とはどういうこと
存するためには ,右側極限値
」場 /(″ )が在
なのかを,数学的にきちんと定義する必要があり
r」
ニ
界0/(″ )と左側極限値″
ュ0ノ (″ )がとも
に存在し
ま
,
頂ぉょぅになります
銘
ム 7ム
″J屏
Pointく (連続の定義
の″の値αにおいて連
関数 /(″ )力型
0/(″
)=r里
が成立することである
,
lim/(″ )=r(α )
サニコレ?
が成立することである
連続ではないことを不連続という
関数 √(″ )が定義域内のすべての″の値で連
続であるとき,ノ (″ )は連続関数であるという
とにかく具体例を通して理解を深めていくことに
しよう
=0はもともと定義域内の
=0で連続かどうかの議論は全
くナンセンスです。よって ,定意義域内の全ての ″
で連続なので,関数 y=÷ は連続関数です
ヽ
、
θ"L無た
ん
・
も
さて ,関数の連続性で問題となるのは,そもそも
ユ
賜/(″ )や /(α )がキチンと定まるのか?という
l嶋 /(″ )が存在しなかったり,存在し
たとしても /(α )と等しくないならば,″ =α で不
連続になりますだから,単純に
limノ (″ )=/(α )
が成立すればよい,とは言うものの,そう単純な話
一
供
以上のことを確認できて初めて「
m/(″ )が存 Frから
」
在する」と言えるのです
これまた堅苦しいですね
1'ゞ 7も
l・
θ:沖 ∼
日じ
したがって,関数 /(″ )が ″=α で連続である
ことかどうかは次の流れで考察します
Point
″ =α で連続であることのテエック方法
質問 (1)
質問 (2)
″ =0で途切れているじゃん」と思
うかもしれませんが,″
∼
るから
、
1も
夏らヽ
國國
か
? ￨
数y=÷ は
連
続
関
数
1剛関
カ
で
す ″マ
0はい
,断敵
ことです
,
である
.
点ではないので,″
′
そのとき
J界 0/(″ )=″ 塁
↓
及0/(″ )=l嶋 /(″ )
続であるとは
「エッ ?
/(″ )
ュ。
/(α )が存在しますか?
塾 0/(″ )が存在しますか?
″
「
塾界0/(″ )が存在しますか?
″
致
塾
魔,L/(″ )と ″
界0/(″ )が
しますか?(一致すれば,ュ賜/(″ )が存在す
ることになります)
質問 (5)
井鴫 /(″ )=/(α
)が成立しま
すか ?
これら 5つの質問にすべて υOsならば,″
=α
1つ
1,
L
"1難
Zrr,7
ヽ
くのうヽ
し■、
で連続です
つまり「連続でない」とは,上の 5つのチエック
ポイントのどこかでエラーが生じているわけで,ど
の部分でアウトなのかをしっかり把握することが大
切です
.
まずは以下の具体例で,連続性の雰囲気を実感じ
よう
6夕
―
εフ県年尺τλます。
′
ムヽ
メウ
'ド
やすじ
単維
や峯
inupri web fc2 com)
赤阪正純 (httpソフ
関数の連続性
(2)
次にあげるグラフ ①∼ ⑥ は″=0で連続であるか,不連続であるかを理由ものべて説明せよ
①
②
考え方
③
どう見ても連続なのは ① だけで ,② ∼ ⑥ が不連続なのは明らかですが ,その理由が大切です
①
lilヽ
/(″ )
li耳
つ４
①
lim/(″ )
/(0)
連続か不連続か
2
2
2
連続
ヽ/(″ )
!
そ●マよう
。
透(
欝う
②
2
2
2
1
不連続
2
1
なし
2
不連続
,かリヒ
ι
J3)
昴し
③
④
2
1
なし
1
不連続
⑤
2
2
2
なし
ナンセンス
⑥
2
1
なし
なし
ナンセンス
硯κ
疹注 ③ と④ は
)キ
J=%/(″
〔
れ夕∼道続
｀
・
つ4が ,卜 ■
Cフ
が
…
彎
ぅ
ふよ
こフなたび∼2
せん
∫
岬0/(″ )なので J珊 /(″ )は存在しま
,
連続か不連続かの理由
①
②
し
ヽ●｀
1´ 呻―ミ
rJl,ほ
″
7いつム
③
④
⑤
⑥
J珊
/(″ )と
立するから
ちらも
存在し
,ュ /(″ )=/(0)が成
/(0)がど
端
存在するが,」島/(″ )キ /(0)だから
独/(″ )と /(0)がどちらも
ている
ノ )が存在しないから(/(0)は存在し
J珊
ている
ないから(/(0)は存在し
り
珊/(″ )が存在し
)
(″
)
J珊
/(″ )は
存在するが /(0)が存在しないから
,
ちらも存在しないから
1嶋 /(″ )と /(0)がど
珍注 ⑤ と⑥ は″=0は定義域内の点ではないから
,
7J_ムや
ち■2
この点での連続性を考えること自体が無意味
7貫
t■ も
θ
フリフ｀
ノ
'｀

Download Report