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二つの代替弾力性定式の数値比較 : 三要素・非CES関数
の場合
室田, 武
一橋論叢, 99(5): 636-649
1988-05-01
Departmental Bulletin Paper
Text Version publisher
URL
http://hdl.handle.net/10086/11172
Right
Hitotsubashi University Repository
二つの代替弾力性定式の数値比較（申）
一三要素・非CES関数の場合一
室 田
武
はじめに
代替の弾カ性の概念を数学的に定式化したものとして，いくつかの公式があ
る一本稿の目的は，それらのうち，アレンニ宇沢による代替の弾カ性と森嶋に
よる代替の弾カ性の二つをとりあげ，生産諸要素の雇用量の変化に伴って，そ
れらの閥にどの程度の差異が生じるかを，数値計算によって示すことにある、
第1節では，生産と分配の理論における代替の弾カ性の基礎概念を，ジ目
一ン・ロビンソンの原義に従って説明する．第2節では，いくつかある代替の
弾力性の定式化のうち，最も代表的であると思われるアレン＝宇沢型の定式と
森嶋型の定式について述ぺる．第3節では，これら二つの代替弾力性定式の下
で，いわゆるCES生産関数が導出される諸条件について，従来の研究のサー
ベイを行う．’そして，第4節においては，非CES関数の下で，アレン≡宇沢
型定式と森嶋型定式の間には，無視しえない犬きさの差異が生じうることを数
値計算によって立証し，アレン＝宇沢型定式の限界を示す．
（＊）本稿で議論する問題への関心は，畏年月にわたり久我清教授（犬阪大挙社会
経済研究所）から与えられた．記して感謝する．数値比較のためのコンピュー
タ計算にあたっては，石川顕子助手（一橋大学経済学部経済統計共同研究室）
に全面的にお世話になった．厚くお礼申し上げる．
636
二つの代替弾カ性定式の数値比較
（35）
§1代替の弾カ性の基礎概念
藷産業の生産構造の分析にあたって，経済学においてはその構造を生産関数
の形で把握することがしぱしぱある．その際によく議論される概念の一つに，
生産要素間の代替の弾カ性（elasticity of substitution一略称ES）がある．
これは，ある生産要素に対する需要が，複数の要素間の相対価椿の変動に対し
てどう変化するか，といった間魑を分析する場合に有効な概念であるために，
分配論の分野が議論されたり，あるいは，未知の生産関数の形を，計量経済学
的に推定したりする作業においても登場することのある概念である．
学説史の観点から言えぱ，代替の弾カ性という言葉を初めて提起したのは，
Joan RObinson［1933コである．そこでは，完全競争の下で「諸要素の割合ぽ，
つねに諸要素の物理的な隈界生産性がそれらの価樒とおなじ比率にあるような
割合になる」という前提から出発して，次のような定義がなされている．
（1） r雇用された諸要素の分量の比率における比例的な変化を，それが依
存するところの諸要素の価格の比率における比例的な変化で割ったもの
を，需要の弾カ性ないし供給の弾カ性の類推によって，代替の弾カ性と
呼ぷ」（邦訳版［1956；p−328］より引用、）
ところで・完全競争を仮定←なけれぱ・諸要素の物理的な隈界生産性の比とそ
れらの相対価格比との一致は必ずしも成立しないから，RObinsOnは，定義
（1）を不完全競争の場合も合む方向へと一般して，次の定義を提示した．
（2） r諸要素の分量の比率における比例的な変化を，諸要素の物理的な限
界生産性の比率における比例的な変化で割ったものを（代替の弾カ性の
一層基本的な定義として）採用する」（邦訳版［1956；p・425コより引
用。ただし括弧内の補足は筆者による．） 克
637
（36） 一橋諭叢 第99巻 第5号
そこで，一定期間内における肌種類（肌は自然数で，肌≧2とする）の生産
要素の投入量を”1，晩，……，伽とするとき，その期間内に単一の生産物が砂だ
け生産される産業を考え，その投入・産出条件が，生産関数∫によって
（3） 砂＝∫（”1，吻，……，的）
として表現されるものとしよう．そしてこの関数は，各独立変数について二階 、
連続徴分可能であると仮定する、要素づの物理的な隈界生産性は，ノF∂〃∂助
（丑＝1，2，……，冊）と定義される。この（3）に関して，定義（2）を数式で表
現することにすれば，要素づの要素ゴーに対するES一以下σりと書く一は
∂（1・gψi）．
（4） σ。戸 川／；1・2・ ・肌
∂（1・g〃五）
と’なる．ここで，対数10gの底は何でもよい．
§2 アレン＝宇沢ESと森嶋ES
以†の議論の出発点として，先ず生産関数（3）を冊＝2の場含に限定して
みよう．この場合について，（4）式が示す計算を実際に行ってみると，
ノ｛∫3α漱十ノ〃）
（5） σ・＝。也。。（一〃、十・舳、一灼ゴ）
がえられる．ここで，ル＝∂ゲ2伽｛∂”1；づ，ゴ＝1，2である．次に、行列式Fを
0 カ ノ2
F＝ノ1 五1 五2
／2 危 ん
と定義し，F幻を，Fのん要素についての余因子行列式（CO−faCtOr）である
とする．このとき，（5）式を変形すると
カ”1＋五吻 乃’、
（6） σ炉”、”、丁・丑・1≡1・2
がえられる．
なお，（5），（6）共に，暗黙のうちに峠ゴを仮定しての芦算結果である
が，（5）においてo＝プとおいてみると，分母が
・；巧（一肋。十2晩〃rデプ〃）＝O（1＝∫）
となって，（5）式そのものが定義不能となる・他方・（6）式の分母について
63d
二つの代替弾カ性定式の数値比較
（3ア）
は，”1，吻は一般に正数であり，アも一般にはゼロでないから，（6）によっ
て，二要素の場合の，“ある要素のそれ自身に対する（自己）代替の弾カ性”
が形式的には定義可能である．（経済学的にはあまり意味のない概念ではある
としても．）
一 次にもう一点注目しておきたいのは，二階連続微分可能な関数については，
ヤングの定理などにより，ん＝ルが成立するから，二要素の生産関数につい
ては，σ、。＝σ。、が恒等的に成立するという事実である．この関係を代替の弾カ
性の対称性と呼ぶことにしよう．
さて，生産要素の種類が3以上（肌≧3）になるとき，代替の弾力性はどのよ
うに定式化されるであろうか．これについて，従来の理論経済学において最も
広く採用されている定式化は，R・G・D・Allen［1938；p・504コが採用し，後
にH・U・awa［1963コも踏襲したもので，本稿ではそれをアレン＝宇沢ESと
呼ぴ，σ｛！と表記することにする．これは，二要素の場合の（6）式を，一
般の肌要素の場合に形式的に拡張したもので．
Σ伽〃〃
（ク） σ。！＝ト1・一，乱，1＝1，2， ，肌
榊j F
として定義されている．
これに対して，森嶋通夫［1967コは，（6）の形式的な拡張として（ア）を
導くのではなしに，（2）の原義に沿った定義式（4）から出発する場合に，
σ〃がどう定式化されるか，という新しい問題提起を行った．生産関数（3）
について，一次同次性を仮定しての森嶋の計算式をここで繰り返すのは避ける
が，森嶋の主旨を，一次同次性の仮定なしで定式化したのが，Kuga and Mu−
rota［1972コであり，これを森嶋ESと呼ぴ，σ〃”と表記することにしよう．
・ 上記論文は，（3）において砂を固定し，（4）式で示される偏徴分を計算して，
〃＿カ凧5力F〃
（8） σ〃 ＿ ，丑，3＝1，2， ，肌
吻F 巧F
を得た．
定式（7）と（8）が，数量的に異なる値を与えるであろうことは，次の二
639
（38）
一橋論叢 第99巻 第5号
点から容易に想像されるところである、先ず，
σ。！≡σ3。五，σ。戸キσ〆≡峠ゴ
という意味において，アレン・・宇沢ESが常に対称性をもつのに対して，森
嶋ESは一般的には非対称である．次に，先に定義した“ある要素に対する
それ自身の（自己）代替の弾カ性”に関して， ・
σ肋∠キO，σ“”≡O；｛＝1，2，・・・… ，肌
となる．
§3CES関数の導出
本稿の目的そのものからは少しはずれることになるが，以上でみたアレン＝
宇沢ESないし森嶋ESにある条件を課すとき，それが生産関数（3）の型
を特定化することがあるので，本節ではこの問題についての従来の知見を手短
かにサーベイして，次節での分析への準備としよう．
二つの生産要素（資本x，労働z）をもつ一次商次の生産関数から出発する
経済成長モデルの構築と分析にあたって，R．M．SO10w［1956］は，既によく
知られていたCObb・DOuglas関数などの他に
ム
（9） 砂＝（Kp＋zp）P
という関数を新たにとりあげた．その後，世界19力国の諸産業における資本
を労働の代替関係を実証的に分析した論文の中で，ArrOw，Chenery，Minhas
and Solow［1961］は，
σK戸σエK＝σ（ある定数）
を仮定すると，その下で生産関数が（9），ないしはその極限ケース（ρ→0）
としてのCobb…DOuglas型に特定化されることを証明し，そうした関数を
constante1asticityofsubstitutionproductionf㎜ction（以下，CES関数と略）
と呼んだ．
それにひき続いてH．Uzawa［1962コは，この命題を二要素に隈定されな
い一般的なn要素の場合へと拡張した定理を証明した、その定理の舎意の一部
を本稿の表記法で述べるならぱ，一次同次の生産関数を前提として，代替の弾
640
＝つの代替弾カ性定式の数値比較 （39）
カ性の定式としては（ア）を用いるとき，もし
σ12■＝σ2！＝……＝σ冊．エ冊五＝σ（ある定数）
を仮定するならば，生産関数（3）は，
＿1
ω1−／：1：：1㌫1ニニ；∵㍗∵1二δ）拍
ωO，α1，……等々は正の定数
と特定化され，またその逆も真であるということになる．（10）は，（9）をn
個の独立変数の場含へと一般化したCES関数である．
さらに，（8）で示される森嶋ESの概念を提出したKugaand Murota［1972コ
は，
σ｛戸＝σ（ある定数）；乞，／＝1，2，……，肌
を仮定するとき，生産関数（3）がやはりCES関数（10）に特定化されるだ
けでなく．
〃 λ
σ幻 ＝σ｛ゴ ；丑，フ＝1，2，・・・… ，冊， 4キプ
が成立し，逆もまた真であることを証明した．
その後丁．MurOta［1977コは，冊＝3の隈定の下で，森嶋ESの対称性，す
なわち
〃 〃 π 〃 〃 〃
σ1里 ＝σ21 ，σ里3 ＝σ舶 ，σ31 ＝σ1呂
を仮定するなら，（3）が（10）に特定化され，その逆命題を真であることを
証明した．この定理の拡張を試たK・Kuga［1979コは，肌が3以上であって
も，一般的にこの命魑が成立することを証明した．その後も，ロビンソンや
森嶋の代替の弾カ性の概念とその性質をめぐって，B1ackOrby and Russe11
［1981コやMurota［1980コにょる探究が引き続いている．
§4 三要素，非CESの場合の数値分析
以上からわかるように，生産関数（3）が，あらかじめ（10）で示される
CES関数であることがわかっている場合には，ロビンソンの原義（2）一に沿
う代替の弾カ性の定式としては，（7），（8）いずれを用いてもよい．しかし，
641
（40）
一橋論叢 第99巻 第5号
（3）がCES関数であるかどうか未知である場合には，アレン＝宇沢ESと
森嶋ESとは，一般的には同義とは言えない．
そして，従来の諸研究で明らかでないのは，非CESの場合に一般にはσ〃■
キσ〃”であるとしても，両者間の差異は，実際的には無視してよいほど小さ
いものなのか，それとも無視できない性質のものなのか，という点である、
この問魑全般への解を示すことは本稿の範囲を超えるので，とりあえずの中
間的な検討として，以下では肌＝3の場合を考えたい．初めに，三変数”エ，吻，
鈎の間に対称性があり，また一次同次であるが，CESではない関数
1
（11） リ昌（”1吻＝吻”3＋耽”1）万
をとりあげてみる。”1，”2，吻に様々な数値を与えることにより，各（”1，吻，”3）
に対応して，（7）式，（8）式で与えられるσ幻ムとσ〃”と一がどのような値
をとるかをコンビュータ計算により求め，アレン＝宇沢ESと森嶋ESの間
に生じる乖離の大きさ，森嶋ESの非対称性の程度を観察してみよう．以下
では，
λ 』 ∠ 〃 〃 〃
σH σ12 σ13 σ11 σI2 σ工拮
AES行列≡σ21■ σ呈2λ σ舶五，MES行列＝σ21” σ22” σ。3”
ム 』 』 〃 皿 〃
σ3工 σ舵 σ舶 σ31 σ呂2 σ船
という表記法を用いる．詳しい計算結果は付表で示すとして，例えぱいくつか
の（”1，吻，”3）の組に対して，次のような値が得られる、（小数点3位以下すべ
て切り捨て、）
（”1，吻，吻）
AES行列
MES行列
一一一／三11三11二11〕・／lllllllll〕
！−／−／三11三11三11〕・／lllllllll〕
642
二つの代替弾カ性定式の数値比較
（41）
∴l1三11二11〕・／lllllllll〕
（1．5，1．0，1．O）→
一2，25 1，50 1，50 0，00 2，25 2．25
（2．O，1．0，1．0）→ 1．50−6．O0 4．00， 1，500，003．O0
1，50 4．00 −6．O0 1，50 3，00 0．OO
以上のわずかの数値例からも，アレン＝宇沢ESと森嶋ESの間の乖離，
森嶋ESの非対称性は，一般的には無視しえないものであることがわかる、他
方，この設例においては，π、，吻，”畠の間に対称性があり，しかも吻＝晩とし
ているため，そのことを反映して，
（ユ2） の。”＝σ1。”，σ。1㌧σ肌”；σ珊”＝σ。。皿
が”・の変動にかかわらず成立していること，吻＝吻＝”3の場合に
』 〃
σ幻 ＝σ〃 ≡｛，1＝1，2，3， 4キ3
が成立することなど，興味深い事実がいくつか観察される．
次に吻＝晩と設定するのをやめると，より詳しい計算結果は付表で示すと
して，例えば
一・帖／＝lllllllll〕
が得られ，ここではもはや（12）のような性質は消失している．
関数（11）の場合と対比する意味で，付表においては，一次同次・非CES
で，勿，吻，吻の間に対称性のない関数
⊥
（13） 砂＝（吻吻十2吻鞠十3榊、）至
についても，（”1，吻，鈎）の変化に応じてのAES，MESの値の変化を表示して
おく．
むすぴ
ロビンソンによる代替の弾カ性の定義（2）は，一般的かつ基本的なもので
碗3
（42）
一橘論叢 第99巻 第5号
あるが，計量経済学的な方法によって生産関数の型を推定するといった実際的
な問魑を考える場合には，代替の弾カ性のデータを得ることそのものが困難で
ある・このため，普通は，生産要素市場における完全競争を仮定しても犬きな
誤りはないと考えられる場合に限り，ロビンソンによるもう一つの定義（1）
を念頭において，市場のデータから算出される代替の弾カ性の値を知ることに ．
より，生産関数（3）の型を推定する．
この際，生産要素が二種類しかない場合，あるいは三種類以上あづても生産
関数（3）がCES関数（10）の型をしていることを前提としてよい場合につ
いては，アレン＝宇沢ESは有効な概念であるということができる．しかし，
一般に非CES関数が予想され，しかも要素数が三以上である場合には，本稿
で明らかになったように，アレン＝宇沢ESは，定義（ユ）ないし（2）に
沿う代替の弾カ性の概念からかけ離れたものであるから，実証分析においても，
それのみに頼って濫用することには十分な注意が必要であろう．
他方，σ｛戸キσゴ。”（峠3）という意味での非対称性を帯びた森嶋ESについ
て言えぱ，代替の弾カ性本来の意味をよく表わしてはいるが，たとえその数量
的なデータが，市場行動の観察により完金に得られたとしても，そのことが直
ちに非CES生産関数の特定の型の推定に役立つかどうか，本稿の範囲では依
然として不明である・とはいえ，生産要素の種類がそれほど多くなく，例えぱ
本稿で考察したように三つであるというような比較的単純な場合についていえ
ぱ，あり得そうな非CES関数の代表的なものいくつかについて，あらかじめ
森嶋ESの値の変化のバターンを計算で求めておき，その一方で市場から得
られる定義（1）の意味での森嶋ESの値をそれに対比させてみることによ
って，未知の非CES関数の型に一歩一歩近づいていくということは，全く不
可能とはいえまい。そうした手法の開発は，今後の研究課題として残されてい
る．
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(a) y=(xlx2+x2x3+x3xl)
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