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微分積分学 I：第２章１変数関数の微分
担当: 金森敬文 ([email protected])
http://www.math.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~kanamori/biseki1.html
§ 微分係数・導関数
定義 2.1 (微分可能性・片側微分). 区間 I 上で定義された関数 f : I → R が a ∈ I で微分可能とは，極限
lim
x→a
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
h→0
x−a
h
が存在すること．この極限値を f ′ (a) とかき，f の x = a における微分係数という．また片側微分可能とは，極限
lim
x→a+
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
,
h→0+
x−a
h
lim
x→a−
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= lim
h→0−
x−a
h
が存在すること 1 ．この極限値を右 (左) 側微分係数という．
note: 関数が微分可能 ⇐⇒ 右側と左側の微分係数が存在して一致．
(a + h)2 − a2
= lim 2a + h = 2a となる．よって f ′ (a) = 2a．
h→0
h→0
h
例 2.1. f (x) = x2 の x = a での微分係数は lim
f (x) = |x| に対して f ′ (0) は存在しない．
定理 2.1 (可微分関数の連続性). f : I → R が a ∈ I で微分可能なら，f は a で連続．
定義 2.2 (導関数). f : I → R が任意の x ∈ I で微分可能 (片側しか定義されないときは片側微分可能) のとき，f
は I で微分可能という．このとき f ′ は I 上の関数となり，これを f の導関数という．
y = f (x) に対して f ′ (x) を
df
d
dy
df と書くこともある．
(x),
f (x), y ′ ,
などと書く．また，f ′ (x) の x = a での値 f ′ (a) を
dx
dx
dx
dx x=a
例 2.2. f (x) = xn (n ∈ N) ⇒ f ′ (x) = nxn−1 ．f (x) = ex ⇒ f ′ (x) = ex .
定理 2.2 (導関数の公式). f, g が a ∈ I で微分可能とする．このとき以下が成り立つ．
(f (x) + g(x))′ = f ′ (x) + g ′ (x),
(kf (x))′ = kf ′ (x) (k 定数)
(
)′
g(x)
g ′ (x)f (x) − g(x)f ′ (x)
(f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x),
=
f (x)
(f (x))2
演習 2.1. f (x) = ex sin x の導関数を計算せよ．f (x) =
(ただし f (x) ̸= 0)
1
の導関数を計算せよ．
1 + x2
定理 2.3 (合成関数の微分). y = f (x) が x = a で微分可能，z = g(y) が y = f (a) で微分可能とする．このとき
dz
dz dy
z = g(f (x)) は x = a で微分可能で (g(f (x)))′ = g ′ (f (a))f ′ (a) となる．これは
=
とかける．
dx
dy dx
定理 2.4 (逆関数の微分). f : I → R が連続で狭義単調とする．f (x) が x = a で微分可能かつ f ′ (a) ̸= 0 とすると，逆
1
関数 x = f −1 (y) は b = f (a) で微分可能で，微分係数は (f −1 )′ (b) = ′
となる．
f (a)
例 2.3. x ̸= 0 に対して，関数 y = f (x) = loga |x| (a > 0, a ̸= 1) の導関数を求める．x > 0 のとき x = ay > 0 よ
dy
dx
= ay log(a) ̸= 0．したがって，
=
り，x > 0 の範囲での関数 f (x) の逆関数は x = f −1 (y) = ay > 0．よって，
dy
dx
1
1
=
．一方，x < 0 のとき −x = ay > 0 なので，x < 0 の範囲での関数 f (x) の逆関数は x = f −1 (y) = −ay
ay log a
x log a
dy
1
1
1
dx
= −ay log(a) ̸= 0．したがって
=− y
=
．結局，x ̸= 0 に対して (loga |x|)′ =
．
より，
dy
dx
a log a
x log a
x log a
1 lim
x→a+
f (x) は x > a を満たしながら極限 x → a を考えること．limx→a− f (x) は x < a を満たしながら極限 x → a を考えること．
1
例 2.4. a ∈ R に対して (0, ∞) 上の関数 f を f (x) = xa とする．f (x) = ea log x より f ′ (x) = ea log x (a log x)′ = axa−1 .
演習 2.2. f (x) = sin(x2 ) の導関数を計算せよ．f (x) = sin−1 x (|x| < 1) の導関数を計算せよ．ただし sin−1 は
sin : (−π/2, π/2) → (−1, 1) の逆関数とする．
定義 2.3 (高階導関数). f : I → R の導関数 f ′ : I → R が I 上で微分可能なとき，f は 2 回微分可能といい，f ′ の微分
(f ′ )′ を f ′′ (または f (2) ) とかく．f ′′ を f の 2 階導関数という．同様に f が I 上 n 回微分可能なとき f の n 階導関数
dn
を f (n) または
f (x) とかく．f (0) , f (1) はそれぞれ f, f ′ を意味する．
dxn
例 2.5. f (x) = x2 とすると f (0) (x) = x2 , f ′ (x) = f (1) (x) = 2x, f ′′ (x) = f (2) (x) = 2, f (n) (x) = 0 (n ≥ 3).
定理 2.5 (ライプニッツの公式). f, g が n 回微分可能のとき (f (x)g(x))(n) =
n
∑
n Ck f
(k)
(x)g (n−k) (x)．ここで n Ck =
k=0
n!
.
k!(n − k)!
例 2.6. (f g)′ = 1 C0 f (0) g (1) + 1 C1 f (1) g (0) = f g ′ + f ′ g. (f g)(2) = f ′′ g + 2f ′ g ′ + f g ′′ .
演習 2.3. n ≥ 3 に対して
dn 2 x
(x e ) を計算せよ．
dxn
定義 2.4 (連続微分可能性). f : I → R が n 回微分可能で，さらに f (n) が I 上連続関数のとき，f は n 回連続微分可能
という．このとき f を C n 級関数という．
note: f は C 0 級 ⇔ f は連続．f は C 1 級 ⇔ f は 1 回微分可能で f ′ は連続．f は C 2 級 ⇔ f は 2 回微分可能で f ′′
は連続．f は C ∞ 級 ⇔ f は ∞ 回微分可能．
note: 微分可能なら連続なので C m+1 級なら C m 級．

0
x<0
例 2.7. 関数 f : R → R を f (x) = (max{0, x})2 と定める．f ′ (x) =
．また f ′′ (0) は存在せず，x ̸= 0 に対
2x x ≥ 0

0 x < 0
して f ′′ (x) =
．したがって f は C 1 級．
2 x > 0
§ 平均値の定理・関数のグラフ・不定形の極限
定義 2.5 (接線・法線). 関数 f (x) が x = a で微分可能なとき，直線 y = f ′ (a)(x − a) + f (a) を f (x) の x = a での接線
1
という．また f ′ (a) ̸= 0 のとき，直線 y = − ′
(x − a) + f (a) を f (x) の x = a での法線という．
f (a)
定義 2.6 (極値). Uε (a) = {x ∈ R | |x − a| < ε} を a の ε 近傍という．f : I −→ R, a ∈ I に対して
• f (x) が x = a で (広義の) 極大：∃ε > 0, ∀x ∈ Uε (a), f (x) ≤ f (a)．
• f (x) が x = a で (広義の) 極小：∃ε > 0, ∀x ∈ Uε (a), f (x) ≥ f (a)．
定理 2.6. f : I → R が a ∈ I で極値をとり，f (x) が x = a で微分可能なら f ′ (a) = 0．
note:上の定理は関数 f が極値をとる必要条件．極値かどうかは，増減表を書くなどして詳しく調べる必要がある．
定理 2.7 (ロール (Rolle) の定理). f : [a, b] → R は [a, b] 上連続で，(a, b) 上微分可能とする．また f (a) = f (b) とする．
このとき f ′ (c) = 0 となる c ∈ (a, b) が存在する．
proof: [a, b] 上で f は最大値または最小値をとる (最大値・最小値定理)．境界でない点 x = c で最大値をとるとき極値
条件から f ′ (c) = 0 となる．もし境界の点で最大値 f (a)(= f (b)) をとるとき，a < c < b で最小値をとるので f ′ (c) = 0
となる．
2
定理 2.8 (平均値の定理). f : [a, b] → R は [a, b] 上連続で，(a, b) 上微分可能とする．このとき
なる c ∈ (a, b) が存在する．
f (b) − f (a)
= f ′ (c) と
b−a
定理 2.9 (コーシーの平均値の定理). f, g は [a, b] 上連続，(a, b) 上微分可能とする．g(a) ̸= g(b) かつ x ∈ (a, b) に対し
f ′ (c)
f (b) − f (a)
= ′
となる c ∈ (a, b) が存在する．
て g ′ (x) ̸= 0 が成り立つとき，
g(b) − g(a)
g (c)
定理 2.10. 関数 f がある区間 I 上で微分可能とする．
• ∀x ∈ I に対して f ′ (x) > 0 なら，f は I 上で単調増加，
• ∀x ∈ I に対して f ′ (x) < 0 なら，f は I 上で単調減少．
証明には平均値の定理を使う．上の定理を使うと f ′ (z) の符号を調べれば関数 f の増減表が書ける．これより関数 f の
概形が分かる．
極限が不定形 (0/0, ∞/∞) となる関数の極限値を考える．
定理 2.11 (ロピタルの定理). f (x), g(x) は x = a の近くで連続で微分可能，g ′ (a) ̸= 0 かつ f (a) = g(a) = 0 とする．ま
た lim f ′ (x)/g ′ (x) が存在するなら lim f (x)/g(x) = lim f ′ (x)/g ′ (x) が成り立つ．
x→a
x→a
x→a
note: コーシーの平均値の定理を用いて証明する．
• 1 回微分しても 0/0 となる場合には，さらに分子分母を微分して計算をすすめる．
• a = ±∞ でも定理が成り立つ．また f (x) → ∞ かつ g(x) → ∞ のとき (∞/∞ となるとき) でも定理が成り立つ．
sin x
(sin x)′
の分子，分母はともに x → 0 で 0 に収束する．また分母について (x)′ = 1 ̸= 0 で lim
=
x→0 x
x→0 (x′ )
cos x
sin x
lim
= 1 となるので lim
= 1．
x→0
x→0 x
1
例 2.8. lim
例 2.9. lim xx を計算するために log xx を考える． lim x log x = − lim log t/t = − lim (log t)′ /(t)′ = − lim 1/t = 0
x→0+
t→∞
x→0+
t→∞
t→∞
(t → ∞ で log t → ∞, t → ∞ を使った)．よって lim log xx = 0 と関数 ex の連続性より lim xx = 1．
x→0+
ex − 1
演習 2.4. 次の極限値を求めよ． lim
,
x→0
x
x→0+
1 − cos x
lim
．
x→0 x sin x
§ テイラーの定理・テイラー展開・マクローリン展開
定理 2.12 (テイラーの定理). f : [a, b] → R は [a, b] で n 回微分可能とする．このとき c ∈ (a, b) が存在して，Rn =
f (n) (c)
(b − a)n とおくと以下の等式が成り立つ．
n!
f (b) = f (a) +
=
n−1
∑
k=0
f ′ (a)
f (2) (a)
f (n−1) (a)
(b − a) +
(b − a)2 + · · · +
(b − a)n−1 + Rn
1!
2!
(n − 1)!
f (k) (a)
(b − a)k + Rn .
k!
c は c = θa + (1 − θ)b, 0 < θ < 1 とかける．
f (n) (c)
(b − c)n−1 (b − a), c ∈ (a, b)
(n − 1)!
がある．コーシーの剰余項もルジャンドルの剰余項と同じ値になるが，c の選び方が一般に異なる．
note: Rn をルジャンドルの剰余項という．他の表現としてコーシーの剰余項 Rn =
例 2.10. f (x) = x3 に a = 1, b = x でテイラーの定理を適用する．f (1) = 1, f ′ (1) = 3, f ′′ (1) = 6, f (3) (1) = 6, f (n) (1) =
3
6
6
0 (n ≥ 4) より f (x) = 1 + (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 + R4 . ここで R4 = 0．f (x) = 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1)2 + R3
1
2
3!
ここで R3 = (x − 1)3 ．f (x) = 1 + 3(x − 1) + R2 ここで R2 = 3c(x − 1)2 (c は 1 と x の間の値)．c = (2 + x)/3 とすれ
ばよい (実際 c は 1 と x の間)．
3
例 2.11. f (x) = ex に対して a = 0, b = x とすると f (n) (0) = 1 より f (x) = 1 + x +
1 2
2! x
+ ··· +
1
n−1
(n−1)! x
+ Rn .
c n
Rn = e x /n!，c は 0 と x の間の数
演習 2.5. f (x) = log(1 − x) に対して a = 0, b = x, n = 3 としてテイラーの定理を適用せよ．
f : I → R を C ∞ 級とする．テイラーの定理において Rn → 0(n → ∞) なら，以下の式が成り立つ．
∞
f (b) = f (a) +
∑ f (k) (a)
f ′ (a)
f (2) (a)
(b − a) +
(b − a)2 + · · · =
(b − a)k
1!
2!
k!
(1)
k=0
式 (1) を f (x) の x = a におけるテイラー展開(または展開式) という．とくに a = 0 のときの展開式
∞
∑ f (k) (0)
f (2) (0) 2
f ′ (0)
b+
b + ··· =
bk
f (b) = f (0) +
1!
2!
k!
k=0
をマクローリン展開という．
(k − 1)!
より f (k) (0) =
(1 + x)k
(−1)k−1 (k − 1)! (k ≥ 1)．コーシーの剰余項を計算すると |x| < 1 のとき Rn → 0 が確認できる．よって log(1 + x) =
∞
∑
(−1)k−1 k
x2
x3
x4
f (0) +
x =x−
+
−
+ ···.
k
2
3
4
例 2.12. |x| < 1 として f (x) = log(1 + x) のマクローリン展開を計算する．f (k) (x) = (−1)k−1
k=1
演習 2.6. f (x) = ex のマクローリン展開を計算せよ．
例 2.13. i を虚数単位 (i2 = −1) とする．マクローリン展開を使うと (形式的に) eix = cos x + i sin x が分かる．厳密に
は複素関数の議論が必要．x = π として eiπ + 1 = 0．
f (x)
= 0 のとき f (x) =
x→a g(x)
定義 2.7 (ランダウの記号). 点 x = a の近くで定義された関数 f (x), g(x) に対して lim
o(g(x)) (x → a) とかく．o(·) をランダウの記号といい「スモールオー」と読む．
f (x) = o(g(x)) (x → a) のとき x = a の近くで |f (x)| は |g(x)| よりも小さい．
例 2.14. f (x) = o(1) (x → a) は lim f (x) = 0 を意味する．x → 0 のとき xn = o(1), log(1 + x) = o(1), x3 = o(x2 )．
x→a
一般に n > m のとき xn = o(xm ) (x → 0).
定理 2.13. f (x) が 0 を含む区間で C n 級なら f (x) = f (0) + f ′ (0)x +
f ′′ (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x + o(xn ) (x → 0).
2!
n!
note: 上の式では n は有限．0 に近い x における f (x) の近似値を与える．
例 2.15. f (x) = sin x とする．a = 0, b = x としてテイラーの定理を使うと sin x = sin 0 +
よって x ̸= 0 に対して
演習 2.7. lim
x→0
sin x
sin x
o(x)
=1+
より lim
= 1．
x→0
x
x
x
log(1 + x)
を求めよ．
x
4
cos 0
x + o(x) = x + o(x)．
1!

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