演習場の量子論:訂正柏太郎平成 26 年 6 月 9 日 2 例題 2.3 p.10 p.11 を以下のように訂正。（1）図 1.1 は消去。（２）解を以下のように訂正。（式番号は本文中のものと、この中の物とがある） ========= 解）f (x) = 0 にいくつかののゼロ点, x = αi ; i = 1, 2, . . . , がある時のデルタ関数の性質、 ∑ 1 δ(f (x)) = δ(x − αi ) ; (1) 0 i |f (αi )| （証明には、ガウス型関数によるデルタ関数の表示、 √ δ(x) = lim 7→0 1 − x2 e 2 ; 2π (2) に着目しよう。ひとつのゼロ点 x = xi のまわりで f (x) = (x − xi )f 0 (xi ) + O ((x − xi )2 ) と展開して、 √ δ(f (x)) = lim 7→0 /|f 0 (xi )|2 7→0 = [ 1 (x − xi )2 |f 0 (xi )|2 exp − {1 + O (x − xi )} 2π 2 √ [ ] 1 1 (x − xi )2 lim exp − {1 + O (x − xi )} |f 0 (xi )| 0 7→0 2π0 20 1 δ(x − xi ) ; = 0 |f (xi )| ] となる。それぞれのゼロ点の周りで同じことを繰り返しを行えば (1) が求まる。）を用いると、 ( E 2 (p) δ(p − m c ) = δ (p ) − c2 2 2 2 0 2 ) ( ( ) ( E(p) E(p) c δ p0 − + p0 + = 2E(p) c c ここで、階段関数 θ(x) ≡   1; x>0,  x<0, 0; )) . (3) (4) を考えると、 cd3 p = θ(p0 )δ(p2 − m2 c2 )d4 p ; 2E(p) である（右辺で p0 積分を行った）。ローレンツ変換 p0µ = Λµ ν pν で d4 p は、 (1.46) d4 p0 = det Λµ ν d4 p = d4 p . また、 δ(p02 − m2 c2 ) = δ(p2 − m2 c2 ) . 基本ローレンツ変換 (1.47) に注意すれば、 p0 + βp3 p00 = √ , 1 − β2 (5) 3 なので、 ( ) p0 + βp3 θ(p )δ(p − m c )d p = θ √ δ(p2 − m2 c2 )d4 p 1 − β2 ( ( ) ( )) ( ) c E(p) E(p) 0 3 0 0 = θ p + βp δ p − +δ p + d4 p . 2E(p) c c √ （階段関数で正の量 1/ 1 − β 2 は外した。）デルタ関数の性質 f (x)δ(x−x0 ) = f (x0 )δ(x−x0 ) を用いて、 00 02 θ(p00 )δ(p02 − m2 c2 )d4 p0 = [ ( 2 2 c 2E(p) ) ( 4 0 ) ( ) ( E(p) E(p) E(p) E(p) × θ +θ − + βp3 δ p0 − + βp3 δ p0 + c c c c (1.43) より、 )] d4 p . (6) E(p) √ 2 = p + m2 c2 > |p3 | , c であるから、 E(p) + βp3 > |p3 |(1 ± β) > 0 , c E(p) − + βp3 < −|p3 |(1 ∓ β) < 0 . c に注意すれば、階段関数の性質 (4) のため、(6) 右辺第 2 項は落ちて、p0 積分の結果、 θ(p00 )δ(p02 − m2 c2 )d4 p0 = c d3 p . 2E(p) これは、(5) であり、 θ(p00 )δ(p02 − m2 c2 )d4 p0 = θ(p0 )δ(p2 − m2 c2 )d4 p = が言えた。以下余白 c d3 p , 2E(p)