sin 2 cos ⎡ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −⎡ ⎤ ∫ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ t nt n t nt n

建築基礎数学演習問題
６月 13 日
学籍番号
氏名
鉛筆の濃さは H 以下を使用しないでください
問
つぎの関数について，フーリエ係数を求めよ（空白を埋めよ）．また，部分和S1，S2，S3，S4，…を求めてグラフを描け
（(1)についてのグラフは来週までの宿題：エクセルでA4用紙１枚に作成[テキスト参照]）．
（1） f (t ) = t
（－π≦t≦π）
f (t ) = t は奇関数であるから
y＝sin nt←→ y'＝n cos nt
an = 0
bn =
部分積分
2
∫
π
π
⎧
−
t
cos
nt
⎤ − π − cos nt
2 ⎪⎡
t sin ntdt = ⎨
⎥⎦ ∫0 n
π ⎪⎢
n
⎣
0
⎩
π
0
2 ⎧⎛ −π cos nπ
⎞ 1
− 0⎟ + 2
⎨⎜
π ⎩⎝
n
⎠ n
2
= − cos nπ
n
2
=( − 1) n −1
n
S１＝ 2sin t
=
[　⎫
⎪
dt ⎬
⎪
⎭
sin nt ] ⎬
S２＝ 2{sin t −
1
sin 2t}
2
S３＝ 2{sin t −
1
1
sin 2t + sin 3t}
2
3
S４＝ 2{sin t −
1
1
1
sin 2t + sin 3t − sin 4t}
2
3
4
π
⎫
0
⎭
y＝cos nt←→y'＝－n sin nt
∫f (t)g' (t)d t＝f(t)g(t)－∫f' (t)g (t)d t
f (t)＝t , g ' (t)＝sin nt→g (t)＝ −
cos nt
n
=0
Sm =
a0
+a1cos t +b1sin t +a2cos 2t +b2sin 2t +" + amcos mt +bmsin mt
2
a
= 0+
2
m
∑ (a cos nt + b sin nt )
n
n
n=1
：
（2） f (t ) = t 2
（－π≦t≦π）
f (t ) = t は偶関数であるから
2
bn = 0
=0
π
⎧ 2
⎫
⎪
2 π 2
2 ⎪ ⎡ t sin nt ⎤ 1 π
an = ∫ t cos ntdt = ⎨ ⎢
−
2
t
sin
ntdt
⎬
⎥ n ∫0
π 0
π⎪
⎪
n ⎦0
⎩⎣
⎭
π
⎧
⎫
2 ⎛ 1 ⎞ ⎪ ⎡ −2t cos nt ⎤ 1 π
⎪
+ ∫ 2 cos ntdt ⎬
= × ⎜ − ⎟ ⎨
0
⎥⎦ n
π ⎝ n ⎠ ⎪⎢
⎪
n
0
⎩⎣
⎭
4
4
= 2 ( cos nπ − 0 ) =( − 1) n 2
=0
n
n
π
2 π
2
2 2
3
a0 = ∫ t 2 dt = ⎡ t ⎤ =
⎦0 3 π
π 0
π⎣
∴ Sm =
π2
4
4
4
4
− 4 cos t + cos 2t − cos 3t + cos 4t − cos 5t "
3
4
9
16
25
部分積分を2回適用する
f (t)＝t2 , g ' (t)＝cos nt→g (t)＝
sin nt
n
f (t)＝2t , g ' (t)＝sin nt→g (t)＝ −
cos nt
n
cosθ
←m=5 を記入し
・・・を加える
建築基礎数学演習問題
（1） f (t ) = t
６月 13 日
（－π≦t≦π）
部分積分：∫f (t)g' (t)d t＝f(t)g(t)－∫f' (t)g (t)d t
f (t ) = t は奇関数であるから
(n = 0,1, 2")
an = 0 bn =
2
π
∫
π
0
π
⎧
⎫
π ⎛ cos nt ⎞
2 ⎪ ⎡ −t cos nt ⎤
⎪
− ∫ ⎜−
t sin ntdt = ⎨
⎟ dt ⎬
0
π ⎪⎢
⎥⎦
n ⎠ ⎪
⎝
n
0
⎩⎣
⎭
2 ⎧⎛ −π cos nπ
⎞ 1
− 0⎟ + 2
⎨⎜
π ⎩⎝
n
⎠ n
2
= − cos nπ
n
2
=( − 1) n −1
n
S１＝ 2sin t
=
[sin nt ] ⎬
S２＝ 2{sin t −
1
sin 2t}
2
S３＝ 2{sin t −
1
1
sin 2t + sin 3t}
2
3
S４＝ 2{sin t −
1
1
1
sin 2t + sin 3t − sin 4t}
2
3
4
π
⎫
0
⎭
：
（2） f (t ) = t 2
（－π≦t≦π）
f (t ) = t は偶関数であるから
2
bn = 0
π
⎧
⎫
2 ⎪ ⎡ 2 sin nt ⎤ 1 π
⎪
an = ∫ t cos ntdt = ⎨ t
− ∫ 2t sin ntdt ⎬
0
0
π
π ⎪⎢
⎪
n ⎥⎦ 0 n
⎩⎣
⎭
π
⎧
⎫
cos nt ⎤ 1 π
2 ⎛ 1 ⎞ ⎪⎡
⎪
= × ⎜ − ⎟ ⎨ −2t
− ∫ 2 cos ntdt ⎬
0
π ⎝ n ⎠ ⎪⎢
⎪
n ⎥⎦ 0 n
⎩⎣
⎭
4
4
= 2 ( cos nπ − 0 ) =( − 1) n 2
n
n
2
a0
π 2
3
2 π
2 ⎡t ⎤
= ∫ t dt = ⎢ ⎥
π
π 3
⎣ ⎦
∴ Sm =
π
2
= π2
3
2
0
π
0
1
1
1
1
⎧
⎫
+ 4 ⎨− cos t + cos 2t − cos 3t + cos 4t − cos 5t "⎬
16
25
3
4
9
⎩
⎭
2
部分積分を２回適用する
建築基礎数学演習問題
（1）
f(t)＝t
６月 13 日
（－π≦t≦π）
建築基礎数学演習問題
（2）
t
-3.14159
-2.87979
-2.61799
-2.35619
-2.0944
-1.8326
-1.5708
-1.309
-1.0472
-0.7854
-0.5236
-0.2618
0
0.261799
0.523599
0.785398
1.047198
1.308997
1.570796
1.832596
2.094395
2.356194
2.617994
2.879793
3.141593
S1
7.289868134
7.153571439
6.753969749
6.118295258
5.289868134
4.325144314
3.289868134
2.254591953
1.289868134
0.461441009
-0.174233481
-0.573835171
-0.710131866
-0.573835171
-0.174233481
0.461441009
1.289868134
2.254591953
3.289868134
4.325144314
5.289868134
6.118295258
6.753969749
7.153571439
7.289868134
６月 13 日
f(t)＝t2
S2
8.289868134
8.019596843
7.253969749
6.118295258
4.789868134
3.45911891
2.289868134
1.38856655
0.789868134
0.461441009
0.325766519
0.292190232
0.289868134
0.292190232
0.325766519
0.461441009
0.789868134
1.38856655
2.289868134
3.45911891
4.789868134
6.118295258
7.253969749
8.019596843
8.289868134
（－π≦t≦π）
S3
8.734312578
8.333866523
7.253969749
5.804025578
4.345423689
3.14484923
2.289868134
1.70283623
1.234312578
0.775710689
0.325766519
-0.022079448
-0.154576311
-0.022079448
0.325766519
0.775710689
1.234312578
1.70283623
2.289868134
3.14484923
4.345423689
5.804025578
7.253969749
8.333866523
8.734312578
S4
8.984312578
8.458866523
7.128969749
5.554025578
4.220423689
3.26984923
2.539868134
1.82783623
1.109312578
0.525710689
0.200766519
0.102920552
0.095423689
0.102920552
0.200766519
0.525710689
1.109312578
1.82783623
2.539868134
3.26984923
4.220423689
5.554025578
7.128969749
8.458866523
8.984312578
S5
9.144312578
8.50027757
6.990405684
5.440888493
4.300423689
3.424397362
2.539868134
1.673288098
1.029312578
0.638847774
0.339330583
0.061509505
-0.064576311
0.061509505
0.339330583
0.638847774
1.029312578
1.673288098
2.539868134
3.424397362
4.300423689
5.440888493
6.990405684
8.50027757
9.144312578
11109200875
S6
9.255423689
8.50027757
6.879294573
5.440888493
4.4115348
3.424397362
2.428757023
1.673288098
1.140423689
0.638847774
0.228219472
0.061509505
0.0465348
0.061509505
0.228219472
0.638847774
1.140423689
1.673288098
2.428757023
3.424397362
4.4115348
5.440888493
6.879294573
8.50027757
9.255423689
近大花子
2
t
9.869604401
8.293209254
6.853891945
5.551652476
4.386490845
3.358407053
2.4674011
1.713472986
1.096622711
0.616850275
0.274155678
0.068538919
0
0.068538919
0.274155678
0.616850275
1.096622711
1.713472986
2.4674011
3.358407053
4.386490845
5.551652476
6.853891945
8.293209254
9.869604401
12
10
8
S1
S2
6
S3
S4
4
S5
S6
t2
t2
2
0
-4
-3
-2
-1
0
-2
1
2
3
4

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