1 経済学のための数学（後半梶井担当分）第 2 回宿題京都大学経済学

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経済学のための数学 2014 年度梶井
経済学のための数学（後半梶井担当分）第 2 回宿題
京都大学経済学研究科 2014 年度前期
〆切: 6 月 17 日 (火)
Due Date: Tuesday, June 17
• 日本語または英語で解答のこと。判読不能な提出物は評価しない。
• The answers must be written in English or in Japanese. If you choose to answer in English,
print carefully; illegible answers will not be graded.
• 解答は締切日の授業終了時に回収する。
1. 次の最適化問題を考える．
∞
∑
max
{ct ,kt :t=0,1,...}
δ t ln (ct )
t=0
α
subject to: ct = (kt ) − kt+1 ,
ct ≥ 0, kt ≥ 0，
t = 0, 1, ...
k0 = k¯0
¯0 > 0，δ ∈ (0, 1)，α ∈ (0, 1] は与えられた定数とする．
ただし，k
(a) ある定数 M が存在して，経路 {(ct , kt ) : t = 0, 1, 2, ...} がすべての制約を満たすならば，ど
の t についても ln (ct ) ≤ M となることを示せ．
(b) 経路 {(ct , kt ) : t = 0, 1, 2, ...} がすべての制約を満たすならば，部分和
のときに，無限大に発散することはないことを示せ．
∑T
t=0
δ t ln (ct ) が T → ∞
α
(c) オイラー方程式と横断性条件から，φ (k) = αδ (k) が最適な政策関数（Policy function）で
あることを示せ．
(d) 価値関数（Value Function）を計算し、それがベルマン方程式 (Bellman equation) を満たす
ことを確認せよ
2. 次の最適化問題（線形効用の一般的ケーキ食べ問題）を考える．
∞
∑
max
{ct ,kt :t=0,1,...}
δ t ct
t=0
α
subject to: ct = (kt ) − kt+1 ,
ct ≥ 0，
kt ≥ 0，
t = 0, 1, ...
k0 = k¯0
¯0 > 0，δ ∈ (0, 1)，α > 0 は与えられた定数とする．
ただし，k
(a) αδ < 1 のとき，最適政策関数を求めよ．
（あわてて微分せず，問題の意味を良く考えよ．見当
がつかない者は，まず α = 1 の場合を考えてみよ．
）
(b) αδ > 1 のとき，この問題には解がないことを示せ
3. 次の最適化問題を考える．
max
{xt ∈X:t=0,1,...}
∞
∑
δ t u (xt )
t=0
subject to: Γ (xt , xt+1 ) ≥ 0，
t = 0, 1, ...; x0 = x
¯0
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ただし，X = [0, 1]，δ ∈ (0, 1) で，関数 u : [0, 1] → ℜ, と
Γ : [0, 1] × [0, 1] → ℜ は次のように与
えられている
u (x) = 1
if x = 1
= 0 otherwise.
Γ (x, y) = 0 if |x − y| ≤
1
and x ̸= 1, or (x, y) = (1, 0)
2
= −1 otherwise.
(a) この問題は、次のように解釈出来る：x を作物の大きさと考えると，1 期間あたり最大
1
2
成長
させることができ，x = 1 でないかぎり市場価値がない．また，x = 1 となると、次の期には
長さ 0 になってしまう．したがって，x < 1 のときは最大限成長させて，なるべく早く x = 1
に到達させるのがよいはずだと予想できる．そこで，
「x < 1 のときは最大限成長させて，な
るべく早く x = 1 に到達させるように次期の y を決定する」ような，関数 φ (x) を書き表せ．
(b) 上の φ (x) に基づいた，価値関数を計算せよ．それがベルマン方程式を満たすことを確認せ
よ．そのうえで，φ (x) は最適な政策であるかどうか調べよ．

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