2が無理数であることの周辺

平成 26 年度教員免許状更新講習
「数の体系」参考資料
√
2 が無理数であることの周辺
牧野哲
2014 年 6 月 22 日
自然数の平方根は自然数でなければ無理数であ
1
ること
1.1
√
2 が無理数であること
√
2 が無理数であることの証明はよく知られている。それは背理法による
√
証明の典型として，高校課程で必修である。すなわち， 2 = p/q, p, q ∈ N
と仮定する。必要なら約分して，p と q とはどちらかは奇数であるとして
よい。いま，p2 = 2q 2 であり，奇数の平方は奇数であるから，p は偶数で
なければならない。p = 2p′ とすると，2(p′ )2 = q 2 となり，q も偶数でな
ければならない。これは当初の仮定に反する。証明終わり。
1.2
自然数の平方根は自然数でなければ無理数であること
プラトンの対話篇のひとつ『テアイテトス』にはテアイテトスの発言
としてつぎのようにある：
平方根について，すなわち，3 平方尺の正方形や 5 平方尺の正
方形などの辺に当たるものについて，私たちのためにこのテ
オドロスさんは，図形を描きながら，それは長さのままで測
ると 1 平方尺の正方形の辺とは同じ単位では測りきれないも
1
のであることを明らかにされていって，そして 17 平方尺の正
方形の辺までをおのおの一つ一つ取り出してそういうふうに
してくださったのですが，それまで来て，どうということで
はありませんでしたが，それを止められたのでした。
（147D）
√
√ √
したがって，プラトンの時代には， 2 のみならず， 3, 5, ... などが
√
すべて無理数であること，すなわち，N ∈ N について， N は整数でなけ
れば無理数であること，いいかえると，r2 = N をみたす有理数 r が存在
すれば，r は整数でなければならないことは知られていたことがわかる。
ただ，
『テアイテトス』の引用箇所の続きを読んでも，証明はなく，彼ら
がそれをどのように証明したのかはわからない。ここで，デーデキント
『連続性と無理数』（1872）における証明を以下に紹介する。
1.3
デーデキントの証明
正の整数 N にたいして，
n2 < N < (n + 1)2
となる正の自然数 n が存在するとする。すなわち，N は平方数でないと
する。このとき，r2 = N となる有理数が存在するとする，すなわち，
p2 = N q 2
となる正の自然数の組 (p, q) が存在すると仮定して矛盾を導こう。そのよ
うな (p, q) のうち，q が最小のものを考える。このとき，
nq < p < (n + 1)q
がなりたつので，
q ′ = p − nq
は正であり，q ′ < q となる。
p′ = N q − np
とおくと，p′ q = pq ′ がなりたち，p′ > 0 がわかり，しかも (p′ )2 = N (q ′ )2
となる。これは q の決め方に反する。証明終わり。
2
1.4
自然数の m 乗根が自然数でなければ無理数であること
じつは，さらにすすんで，2 や 3 の 3 乗根なども無理数である。すなわ
ち，m は正の整数として，正の有理数 r が rm = N ∈ N をみたすとき，r
は整数である。m ≥ 3 にたいしてこのことを証明するのに，デーデキン
トの議論を拡張しようとしても，なかなか巧くいかない。以下，その証
明をふたとおり紹介しよう。
2
ユークリッドの互除法を活用した証明
この節では，a, b, c, p, q, r などの文字は，とくに断らない限り，整数を
表すものとする。
2.1
わりきる，公約数，最大公約数
a, b, b > 0 にたいして，a = bc となる c が存在するとき，b は a をわり
きるといい，b|a と記す。整数からなる空でない集合 A にたいして，ど
の a ∈ A もわりきるような正の整数の全体を D(A) と記し，その要素を
A の公約数とよぶ。A の公約数のうち最大のものを最大公約数とよび，
GD(A) と記す。GD(a, b) = 1 のとき，a, b は互いに素であるという。（こ
こに，D(a, b) は D({a, b}) の意味である。）
2.2
a = bq + c ⇒ D(a, b) = D(b, c)
証明：p ∈ D(a, b) とすると，a = q1 p, b = q2 p だから，q1 p = qq2 p + c
となり，p|c である。ゆえに p ∈ D(b, c). また，p ∈ D(b, c) とすると，
b = q2 p, c = q3 p だから，a = qq2 p + q3 p となり，p|a である。ゆえに
p ∈ D(a, b). QED
3
2.3
ユークリッドの互除法
0 < a < b とする。r0 , r1 , ... を次のように定める：
r0 = b,
rk = qk+1 rk+1 + rk+2 ,
r1 = a
0 < rk+2 < rk+1
(k ≥ 0).
これを可能な限り続けることを「ユークリッドの互除法」という。する
と，rk は無限に減少し続けることはできないから，ある番号 n で
rn = qn+1 rn+1
となってこの過程は終了する。このとき，2.2 より，
D(a, b) = D(r1 , r2 ) = ... = D(rn , rn+1 ) = D(rn+1 )
となり，
GD(a, b) = GD(rn , rn+1 ) = rn+1
である。
2.4
c ∈ D(a, b) ⇒ c|GD(a, b), すなわち，a, b の公約数は最大公約数をわり
きる。
証明：2.3 の算法において，D(a, b) = D(rn+1 ) = D(GD(a, b)) であるの
で，主張がでる。QED
2.5
c > 0 ⇒ GD(ac, bc) = cGD(a, b)
(c)
証明：2.3 の算法を ac, bc にたいして実行したばあいの列を (rk )k と記
(c)
(c)
すと，rk = crk がなりたつことがわかる。ゆえに，GD(ac, bc) = rn+1 =
crn+1 = cGD(a, b). QED
4
2.6
c > 0, GD(a, b) = 1 ⇒ GD(ac, b) = GD(c, b)
証明：GD(ac, b)|ac, GD(ac, b)|bc だから，2.4 より GD(ac, b)|GD(ac, bc)
である。ところが，2.5 より，GD(ac, bc) = cGD(a, b) = c となる。ゆえに
GD(ac, b)|c. また，GD(ac, b)|b だから，2.4 よりけっきょく GD(ac, b)|GD(b, c)
がでる。一方，GD(b, c)|ac, GD(b, c)|b だから，2.4 より GD(b, c)|GD(ac, b)
である。つまり，GD(ac, b) と GD(b, c) とは互いに他をわりきるから，等
しい。QED
2.7
a1 , .., an , b1 , ..., bm が ∀i∀j : GD(ai , bj ) = 1 をみたすならば，
GD(a1 · · · an , b1 · · · bm ) = 1.
証明：∀i : GD(ai , bj ) = 1 より 2.7 をくりかえし用いると，
GD(a1 a2 · ·, bj ) = GD(a2 · ·, bj ) = ... = GD(an , bj ) = 1
となる。すなわち a = a1 · · · an について，∀j : GD(a, bj ) = 1 である。す
ると，おなじ理由で，GD(a, b1 · · · bm ) = 1 が出る。 QED
このことから，系として，GD(a, b) = 1 ならば，任意の正の整数 m に
たいして GD(am , bm ) = 1 である。
2.8
m は正の整数として，正の有理数 r が rm = N ∈ N を
みたすとき，r は整数である。
証明：p, q は互いに素な正の整数として，r = p/q とする。すると，pm =
N q m であり，2.8 より pm と q m とは互いに素であるから q m = 1 でなけれ
ばならず，p = r である。QED
3
素数を活用した証明
この節では，前節と同じ結果の別証明を与えるが，a, b, c, p などはやは
り整数を表すとする。
5
3.1
素数
整数 p は，p > 1 でかつ 1 と p じしん以外に約数をもたないとき，素数
であるという。整数 a は，a > 1 のとき，素数の積である。じっさい，整
数 a > 1 が素数でなければ，a の約数のうち 1 でない最小のものを p1 と
すると，あきらかに p1 は素数であり，a = p1 a1 となって，a1 < a である。
これをくりかえせばよい。a を素数の積として
mL
1
a = pm
1 · · · pL
(ただし，p1 , ..., pL は素数で，m1 , ..., mL は正の整数，p1 < p2 < ... < pL )
と表現したとき，これを標準型素因数分解とよぶ。
3.2
算術の基本定理
正の整数の標準型素因数分解は一意的である。
証明はあとまわしにする。
3.3
ユークリッドの定理
p が素数で，p|ab なら，p|a か p|b かどちらかがなりたつ。
証明はあとまわしにする。
3.4
ユークリッドの定理から算術の基本定理を導く
3.3 から 3.2 を導こう。いま
mL
nK
n1
1
a = pm
1 · · · p L = q1 · · · qK
nK
がいずれも標準型素因数分解であるとする。∀i : pi |q1n1 · · · qK
より，3.3
から，∀i∃j : pi |qj であり，qj は素数だから，∀i∃j; pi = qj である。これか
ら，L = K, pi = qi であり，
mL
nL
n1
1
a = pm
1 · · · pL = p1 · · · pL
となっている。もし mi > ni ならば，
nL
mi −ni
m1
i−1
i+1
L
· ·pm
pm1
1 · ·pi
L = p1 · ·pi−1 pi+1 · ·pL
n
n
となり，pi は左辺をわりきるが，3.3 より右辺をわりきらない。これは矛
盾である。こうして mi = ni である。QED
6
3.5
modulus
整数の集合 S は
a, b ∈ S, x, y ∈ Z ⇒ ax + by ∈ S
をみたすとき，modulus であるという。S が modulus で，S ̸= {0} のと
き，S = {zd|z ∈ Z} となる正の整数 d が存在する。
証明：あきらかに S は正の整数をすくなくともひとつ含む。その最小
を d とする。a ∈ S が正とすると，∀z ∈ Z : a − zd ∈ S である。a を d で
わって
a = zd + r,
0≤r<d
とすると，r ∈ S であるから，d の定義により r = 0, すなわち，a = zd.
QED
3.6
a, b にたいして，S = {ax + by|x, y ∈ Z} は modulus であり，d =
GD(a, b) とすると，S = {zd|z ∈ Z} となる。
証明：3.5 より，S = {zc|z ∈ Z} である。むろん，∀u ∈ S : c|u である。
ゆえに，とくに c|a, c|b である。だから，c ≤ d である。一方，d|a, d|b か
ら d|ax + by であるから，∀u ∈ S : d|u であり，とくに d|c である。ゆえに
d ≤ c であり，けっきょく d = c となる。QED
この系として，不定方程式の可解性の結果が得られる：方程式 ax+by = c
が解をもつためには，GD(a, b)|c が必要充分である。
3.7
ユークリッドの定理の証明
p は素数で，p|ab とする。p|a でなければ，GD(a, p) = 1 であり，した
がって，3.6 より ax + py = 1 は解をもち，abx + pby = b も解をもつ。す
ると，p|ab, p|pb であるから，p|b が出る。QED
3.8
(=2.4)
c ∈ D(a, b) ⇒ c|GD(a, b)
7
証明：c|a, c|b ならば，a = cp, b = cq より，ax + by = (px + qy)c となり，
∀u ∈ S = {ax + by} : c|u である。GD(a, b) ∈ S であるから，c|GD(a, b)
である。QED
3.9
(=2.5)
c > 0 ⇒ GD(ac, bc) = cGD(a, b)
証明：d = GD(a, b) とおく。3.6 よりある x, y について ax + by = d
であるから，acx + bcy = dc である。ゆえに 3.6 より GD(ac, bc)|dc であ
る。一方，d|a より，dc|ac が出て，d|b より dc|bc が出る。ゆえに 3.8 より
dc|GD(ac, bc) である。したがって，GD(ac, bc) と dc とは互いに他をわり
きるから，等しい。QED.
3.10
(=2.8) m は正の整数として，正の有理数 r が rm =
N ∈ N をみたすとき，r は整数である。
証明：am = N bm , GD(a, b) = 1 とすると，b|am であり，b > 1 ならば，
b の任意の素因数 p について，p|am である。ゆえに算術の基本定理により
p|a であり，GD(a, b) = 1 より，これは矛盾。ゆえに b = 1 である。QED
3.11
注意
3.8，3.9 は，うえの 3.10 の証明には使っていないが，使う別証がある
のと，前節との比較のためもあって，念のため証明しておいた。
4
古代ギリシアの証明の復元
√
1.2 で述べたように， 2 などが無理数であることの証明として，プラ
トンがどのようなものを知っていたかはわからない。
『テアイテトス』の
文面によると，よく知られた偶数と奇数についての省察にもとづく背理
法による証明のほかに，図形を描きながら示す証明があったはずである
が，いまは残っていない。しかし，H. ラーデマッヘルと O. テープリッツ
は『数と図形』
（1930）の第 4 章で有力な推定を与えているので，ここに
8
紹介しておく。
まず，もちろん古代ギリシアに「実数」の概念が確立していたわけで
はないが，正の実数にあたるものをいっぱんに「量」とよんで把握して
いたと考えられる。すると，エウクレイデスの『原論』第 X 巻の定義と
命題をつぎのように言い換えてよいであろう：
定義：ふたつの量 a, b について，ある量 e と自然数 p, q があってと a =
pe, b = qe なるとき，a, b は通約可能であるという。
（すなわち，a, b が通約可能である（通約可能でない）というのは，b/a
が有理数である（無理数である）ということである。）
定理：ふたつの量 a, b について，a < b として，ユークリッドの互除法
を実行する。すなわち，r0 = b, r1 = a として，順に可能な限り，
rk = qk+1 rk+1 + rk+2 ,
qk+1 ∈ N,
0 < rk+2 < rk+1
とする。すると，a, b が通約可能であるためには，ある番号 n において
rn = qn+1 rn+1 ,
qn+1 ∈ N
となってわりきれ，この過程が終了することが必要充分である。
証明：もしある番号 n でわりきれてこの過程が終了したならば，rn+1 = e
とおくと，すべての rk , 0 ≤ k ≤ n が e でわりきれることが容易に出て，a, b
はこの e で通約可能である。ぎゃくに，a, b が通約可能で，a = pe, b = qe
ならば，この過程で
rk = Rk e,
Rk ∈ N;
0 < Rk+2 < Rk+1
となり，2.3 と同じ理由で，この過程は有限回で終了しなければならない。
QED
そこで，ラーデマッヘルとテプリッツは，古代ピュタゴラス学派のひ
とたちは，正方形の一辺の長さとその対角線の長さとが通約可能でない
ことを示すのに，うえの判定条件を次のような図形に適用したのではな
いか，と推定したのである：
9
D
A2
C
C2
B2
A
B
図で ABCD は正方形である。対角線 BD 上に点 C2 をとり，BC2 は
AB と等しくする。C2 において BD に垂線を立て，AD との交点を B2 と
する。B2 C2 と C2 D とは等しい。なんとなれば，三角形 B2 AB と三角形
B2 C2 B は辺 B2 B を共有し，AB と BC2 とは等しく，角 A，角 C2 は直角
であるから。それで，正方形 A2 B2 C2 D ができる。正方形 A2 B2 C2 D にお
いて，先と同じように対角線 B2 D 上に C3 をとって，B2 C3 と A2 B2 とを
等しくする。以下，同様に作図を続ける。
これは，図上で r0 = BD, r1 = AB から出るユークリッドの互除法を
やっていることになる。じっさい，r0 = BD, r1 = AB とすると，
r0 = r1 + r2
において，r2 は正方形 A2 B2 C2 D の一辺の長さに等しく，また，AB2 に
等しい。ゆえに，r1 = AB を
r1 = 2r2 + r3
と割ると，r3 は C3 D の長さ，すなわち正方形 A3 B3 C3 D の一辺の長さに
等しい。以下同様に，rk は正方形 Ak Bk Ck D の一辺の長さに等しくなる。
これは，どんどん小さくなるが，有限回で 0 となるわけではない。
したがって，AB と BD とは通約不可能である。
10

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