数学II 第1回微分積分学の基本定理

数学 II 第 1 回微分積分学の基本定理
2014 年 9 月 16 日
担当：佐藤純
問題 1 以下の関数 f (x) の原始関数 F (x) を求めよ。
(1-1) f (x) = 2
F (x) = 2x
(1-2) f (x) = x
1
F (x) = x2
2
(1-3) f (x) =
1
x2
F (x) = −
(1-4) f (x) =
√
x
2 √
F (x) = x x
3
1
x
(1-5) f (x) = sin x
F (x) = − cos x
(1-6) f (x) = cos x
F (x) = sin x
(1-7) f (x) = ex
(1-8) f (x) =
1
x
F (x) = ex
F (x) = log x
問題 2 区間 0 ≤ x ≤ π における f (x) = sin x のグラフと、
x 軸に囲まれた部分の面積 S を区分求積法で計算する。
π
π
区間 0 ≤ x ≤ π を N 分割し、∆x = , xn = n∆x = n (n = 0, 1, 2, · · · , N − 1) とする。
N
N
N
−1
∑
短冊の面積の和を SN =
f (xn )∆x とすれば、S = lim SN となる。
N →∞
n=0
(2-1) オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ を使って、sin θ =
eiθ − e−iθ
を示せ。
2i
eiθ = cos θ + i sin θ
e−iθ = cos θ − i sin θ
より、両辺を引き算して、
eiθ − e−iθ = (cos θ + i sin θ) − (cos θ − i sin θ)
= 2i sin θ.
両辺を 2i で割って、与式を得る。
π sin Nπ
を示せ。
(2-2) 上で示した式と等比級数の和の公式を使って、SN =
N 1 − cos Nπ
SN =
N
−1
∑
n=0
f (xn )∆x
=
=
N
−1
∑
sin
n=0
N
−1
∑
π
N
n=0
N
−1
∑
π
=
N
n=0
π
=
2iN
(n ) π
π
N
N
sin
(n )
π
N
ei N π − e−i N π
2i
n
(N −1
∑
n
n
iN
e
π
−
n=0
N
−1
∑
)
e
n
−i N
π
.
n=0
ここで、この等比級数を T とすると、
1
2
T = 1 + ei N π + ei N π + · · · + ei
π
1
2
T ei N = ei N π + ei N π + · · · + ei
N −1
π
N
N −1
π
N
N
+ ei N π
N
となる。ここで、ei N π = eiπ = −1 である。上の２式を辺々引き算することによって、
π
(1 − ei N )T = 1 − (−1) = 2
を得る。結局、この等比級数は
T =
N
−1
∑
n
ei N π =
n=0
2
π
1 − ei N
となる。全く同様に、
N
−1
∑
e−i N π =
n
n=0
を得る。
以上をまとめて、
SN =
=
=
=
=
=
2
π
1 − e−i N
(
)
π
2
2
π −
π
2iN 1 − ei N
1 − e−i N
(
)
1
π
1
π −
π
iN 1 − ei N
1 − e−i N
π
π
π (1 − e−i N ) − (1 − ei N )
π
π
iN (1 − ei N )(1 − e−i N )
π
π
π
ei N − e−i N
π
π
iN 2 − (ei N + e−i N )
π 2i sin Nπ
iN 2 − 2 cos Nπ
π sin Nπ
N 1 − cos Nπ
を得る。
(2-3) 極限 N → ∞ をとることによって、S の値を求めよ。
π
ϵ=
とおくと、N → ∞ で ϵ → 0 なので、
N
S = lim SN
N →∞
π sin Nπ
N →∞ N 1 − cos π
N
ϵ sin ϵ
= lim
ϵ→0 1 − cos ϵ
= lim
を得る。これは 0/0 の不定形なので、ロピタルの定理を (繰り返し) 使うと、
ϵ sin ϵ
ϵ→0 1 − cos ϵ
(ϵ sin ϵ)′
= lim
ϵ→0 (1 − cos ϵ)′
sin ϵ + ϵ cos ϵ
= lim
ϵ→0
sin ϵ
(sin ϵ + ϵ cos ϵ)′
= lim
ϵ→0
(sin ϵ)′
cos ϵ + cos ϵ − ϵ sin ϵ
= lim
ϵ→0
cos ϵ
1+1−0
=
1
=2
S = lim
を得る。
(2-4) f (x) の原始関数 F (x) を求めよ。
F (x) = − cos x
(2-5) 微分積分学の基本定理 S = F (π) − F (0) が成り立っていることを確認せよ。
F (π) − F (0) = (− cos π) − (− cos 0) = 1 + 1 = 2 より、確かに S = F (π) − F (0) = 2 が成
り立っている。

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