振動方程式 減衰振動 ①k2-4ω2<0 の場合 • ω2=λ/amとすると 2 d u dt • • • • • 2 +k 次に,抵抗を含めた方程式 d 2u du +ω2u = F (t ) dt dt 2 まず,抵抗もなく,外力もない場合(k=0,F=0) d 2u +ω2u = 0 dt 2 の一般解は このような振動を単振動, u=c1cosωt+c2sinωt ωを固有振動数,αを振 となる.この解は 幅とよぶ. u=αcos(ωt+β) 減衰振動 ②③ 図3.5 ②k2-4ω2=0 の場合 重根となり,根は-k/2である. 一般解は 図3.6 u=c1e-kt/2+c2te-kt/2 その変位は図3.5のようになる. ③k2-4ω2>0 の場合 2実根となる.根は[-k±(k2+4ω2)l/2]/2であり, 一般解は u=c1exp{[-k+(k2+4ω2)l/2]t/2} +c2exp{[-k-(k2+4ω2)l/2]t/2} となる.この変位は図3.6のようである. +k du +ω2u = 0 dt を考える.補助方程式 D2+kD+ω2=0 の根によって,3つのパターンにわけられる. ①k2-4ω2<0 の場合 虚根である.μ=(4ω2-k2)1/2/2とすれば, 根は-k/2±iμだから,一般解は u=e-kt/2(c1cosμt+c2sinμt) となり,その変位は図のようになる.運動は,k=0の場 合のように振動しているが,振幅は0へと減衰する. 次に,外力を含む問題を調べる. 外力が振動の形をとるとすれば,すなわち d 2u du +k +ω2u = F0 cos γt 2 dt dt とする. 非同次の2階線形微分方程式 まず,k=0の場合 d 2u +ω2u = F0 cosγt 2 dt ならば, (D+ω2)u=F0cosγt 1 u = F0 cos γt D +ω2 だから,特殊解は公式(10)より cosγo u0 = F0 2 2 ω −γ となる. 共鳴(共振) ω=γの場合を考えると d 2u +ω2u = F0 cosωt dt 2 (D + ω2 )u = F0 cos ωt 1 u = F0 cos ωt D + ω2 だから,特殊解は公式(12)より u0 = F0tsinωt 2ω となる. 1 これは図に示すように、運 動自体はやはり振動であ るが,その振幅はF0t/2ω で,もはや際限なしに増加 していく.したがって変位 が永久に増えつづける振 幅で振動することになるが, 実際のバネの変位は無限 にならないので,ω=γの 場合はある時間になれば 崩壊してしまうことになる. これは共鳴(共振)として 知られており,外力の振動 数と固有振動数が一致す るときに起こる現象である. 公式(4) 公式(5) 公式(6) 1 at 1 at e = e , P(a ) ≠ 0 P(D ) P(a ) 1 1 e at f (t ) = e at f (t ), P(D + a) ≠ 0 P(D ) P(D + a) { } ⎧ 1 ⎫′ 1 1 f (t ) + ⎨ {tf (t )} = t ⎬ f (t ) P(D) P(D) ⎩ P(D ) ⎭ 2.3.4定数係数の非同次微分方程式 p16 非同次線形微分方程式 P(D)x=f(t) について,形式的に x= 1 f (t ) P (D ) と表す. 1 P(D ) を微分演算子P(D)の逆演算子という. Q(D ) 1 f (t ) = {Q(D ) f (t )} P (D ) P(D ) と定める. 1 公式(7) n (D - a ) 1 公式(8) (D - a )n ⎧ 1 ⎫′ ここで、 ⎨ ⎬ とは,Dによる形式的な微分 ⎩ P(D ) ⎭ 公式(9) 公式(10) 公式(11) 公式(12) 1 2 sin(bt + c) = 1 sin(bt + c ), a ≠ b a −b 1 cos(bt + c) = 2 cos(bt + c), a ≠ b a − b2 D2 + a 2 1 −t cos(at + c) sin(at + c) = 2a D2 + a 2 1 t sin(at + c) cos(at + c) = 2a D2 + a 2 D +a 1 2 2 2 公式(13) 公式(14) 公式(15) 1 P(D 2 ) 1 P(D 2 ) ebt = e at = sin(at + c) = cos(at + c) = 1 (b − a ) n ebt , a ≠ b t ne at n! 1 P(−a2 ) 1 P(−a2 ) sin( at + c), P(− a 2 ) ≠ 0 cos( at + c), P(− a 2 ) ≠ 0 1 一般に, f (t ) = e at e − at f (t ) dt D-a ∫ 2
© Copyright 2025 ExpyDoc