振動方程式
減衰振動 ①k２－4ω２＜0 の場合
• ω２＝λ/amとすると
2
d u
dt
•
•
•
•
•
2
+k
次に，抵抗を含めた方程式
d 2u
du
+ω2u = F (t )
dt
dt 2
まず，抵抗もなく，外力もない場合(k＝0，F＝0)
d 2u
+ω2u = 0
dt 2
の一般解は
このような振動を単振動，
u＝c１cosωt＋c２sinωt
ωを固有振動数，αを振
となる．この解は
幅とよぶ．
u＝αcos(ωt＋β)
減衰振動 ②③
図3.5
②k２－4ω２＝0 の場合
重根となり，根は－k/2である．
一般解は
図3.6
u＝c１e－kｔ／２＋c２te－kｔ／２
その変位は図3.5のようになる．
③k２－4ω２＞0 の場合
2実根となる．根は［－k±(k２＋4ω２)ｌ／２］/2であり，
一般解は
u＝c１exp{［－k＋(k２＋4ω２)ｌ／２］t/2}
＋c２exp{［－k－(k２＋4ω２)ｌ／２］t/2}
となる．この変位は図3.6のようである．
+k
du
+ω2u = 0
dt
を考える．補助方程式
D２＋kD＋ω２＝0
の根によって，3つのパターンにわけられる．
①k２－4ω２＜0 の場合
虚根である．μ＝(4ω２－k２)１／２/2とすれば，
根は－k/2±iμだから，一般解は
u＝e－kｔ／２(c１cosμt＋c２sinμt）
となり，その変位は図のようになる．運動は，k＝0の場
合のように振動しているが，振幅は0へと減衰する．
次に，外力を含む問題を調べる．
外力が振動の形をとるとすれば，すなわち
d 2u
du
+k
+ω2u = F0 cos γt
2
dt
dt
とする．
非同次の２階線形微分方程式
まず，k＝0の場合
d 2u
+ω2u = F0 cosγt
2
dt
ならば，
(D＋ω２)u＝F０cosγt
1
u = F0
cos γt
D +ω2
だから，特殊解は公式(10)より
cosγo
u0 = F0 2 2
ω −γ
となる．
共鳴（共振）
ω＝γの場合を考えると
d 2u
+ω2u = F0 cosωt
dt 2
(D + ω2 )u = F0 cos ωt
1
u = F0
cos ωt
D + ω2
だから，特殊解は公式(12)より
u0 =
F0tsinωt
2ω
となる．
1
これは図に示すように、運
動自体はやはり振動であ
るが，その振幅はF０t/2ω
で，もはや際限なしに増加
していく．したがって変位
が永久に増えつづける振
幅で振動することになるが，
実際のバネの変位は無限
にならないので，ω＝γの
場合はある時間になれば
崩壊してしまうことになる．
これは共鳴（共振）として
知られており，外力の振動
数と固有振動数が一致す
るときに起こる現象である．
公式(4)
公式(5)
公式(6)
1 at
1 at
e =
e , P(a ) ≠ 0
P(D )
P(a )
1
1
e at f (t ) = e at
f (t ), P(D + a) ≠ 0
P(D )
P(D + a)
{
}
⎧ 1 ⎫′
1
1
f (t ) + ⎨
{tf (t )} = t
⎬ f (t )
P(D)
P(D)
⎩ P(D ) ⎭
2.3.4定数係数の非同次微分方程式 p16
非同次線形微分方程式
P(D)x＝f(t)
について，形式的に
x=
1
f (t )
P (D )
と表す．
1
P(D )
を微分演算子P(D)の逆演算子という．
Q(D )
1
f (t ) =
{Q(D ) f (t )}
P (D )
P(D )
と定める．
1
公式(7)
n
(D - a )
1
公式(8)
(D - a )n
⎧ 1 ⎫′
ここで、
⎨
⎬ とは，Dによる形式的な微分
⎩ P(D ) ⎭
公式(9)
公式(10)
公式(11)
公式(12)
1
2
sin(bt + c) =
1
sin(bt + c ), a ≠ b
a −b
1
cos(bt + c) = 2
cos(bt + c), a ≠ b
a − b2
D2 + a 2
1
−t cos(at + c)
sin(at + c) =
2a
D2 + a 2
1
t sin(at + c)
cos(at + c) =
2a
D2 + a 2
D +a
1
2
2
2
公式(13)
公式(14)
公式(15)
1
P(D 2 )
1
P(D 2 )
ebt =
e at =
sin(at + c) =
cos(at + c) =
1
(b − a ) n
ebt , a ≠ b
t ne at
n!
1
P(−a2 )
1
P(−a2 )
sin( at + c), P(− a 2 ) ≠ 0
cos( at + c), P(− a 2 ) ≠ 0
1
一般に，
f (t ) = e at e − at f (t ) dt
D－a
∫
2
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