2014/12/5 ⾬の不確実性と流量の不確実性 uncertainty of rainfall and discharge 河川情報シンポジウム t 2014.12.05 ベルサール半蔵門不確実な情報に基づくリスクの評価手法の提案 ‐決定論から確率評価に向けて‐ 降⾬の不確実性 input(t) output(t) 流出量の不確実性中央大学教授山田正 t Chuo University Prof. Tadashi Yamada 降⾬の不確実性がもたらす流出量の不確実性を求めたい！降雨の不確実性（時間分布，空間分布）降雨の不確実性（空間分布） uncertainty of rainfall uncertainty of rainfall 100 60 40 20 20 40 60 80 100 1.0倍 0.8倍 1.1倍 80 60 40 0.005 0 0 0.5倍 0.004 20 20 地上雨量 mm 60min 40 60 地上雨量 mm 60min 80 100 Density 80 0 0 S22-降雨入替計算結果 60分雨量レーダ：東京（関東），半径0〜60kmの精度 XRAIN雨量:関東 mm 60min XRAIN雨量:新横浜 mm 60min 60分雨量レーダ：新横浜，半径0〜60kmの精度 100 S22の降雨イベント(0.5, 0.8, 1.0, 1.1, 1.2倍)の流量ヒストグラム・Gauss分布の比較 0.003 0.8倍 0.002 1.0倍 1.1倍 1.2倍 0.001 0.000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 Discharge m3 s 降雨の不確実性（時間分布）降雨の不確実性（時間分布） uncertainty of rainfall uncertainty of rainfall ・降雨の空間分布，時間分布に起因する不確実性・観測誤差に起因する不確実性 PDF 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 標準偏差 = 4.8 mm/60min 1時間雨量図レーザー雨滴計による雨滴及び雪粒子の観測例山田ら(1996.5)：新しいタイプのレーザー雨滴計の開発とこれを用いた降雨の雨滴粒径分布の観測, 土木学会論文集No.539 降雨の偏差に関する確率密度関数は正規分布に近似できる 1 2014/12/5 確率微分方程式(SDE) 降雨流出計算の基礎式連続式：運動則： h q   re (t) t x v   h m , q  vh   h m  1  ksi D w    1  m m 1 1  a0       1   L  v:断面平均流速[mm/h], h:湛水深[mm] q:単位幅流量[mm2/h], q* ：流出高[mm/h] ,m:流出パラメータ集中化「直接流出は河道近傍のみから発生する」とすると，流出量は斜面長に比例すると考えることができる． Brown運動を記述したEinsteinの論文が始まり．同時期に SmoluchowskiもBrown運動に関する論文を発表． LangevinがBrown運動を確率微分方程式の形で示した． q( x, t )  xq* (t ) dx(t)   (x(t))  R(t) → Fokker-Planck方程式 dt 斜面長Lの末端で考えx=Lとすると dq* (t)  a0 q* (t) {re (t)  q* (t)} dt dq  aq b {r  q} dt 降雨流出の基礎式は貯留関数法と本質的に同じである．伊藤清によって数学的基礎付けが行われた(1942) 伊藤の確率微分方程式 dx(t)  y(x(t), t)dt  z(x(t), t)dw(t) dw(t)はWiener過程N(0,1)に従う確率微分⽅程式とFokker-Planck⽅程式の関係伊藤の確率微分⽅程式 dx(t)  y(x(t), t)dt  z(x(t), t)dw(t) p(x(t),t) Fokker-Planck⽅程式 p(x(t), t) y(x(t), t)p(x(t), t) 1 2 z 2 (x(t), t)p(x(t), t)   t x 2 x 2 伊藤の確率微分⽅程式とFokker-Planck⽅程式が数学的に等価であることは確率微分⽅程式論で明らかにされている． Deterministic & Stochastic Calculation Deterministic Calculation Stochastic Calculation 2 2014/12/5 流出⾼の分布がわかったとき，流量・⽔位の分布はどうなるのか？流出⾼の確率密度関数流量の分布がわかったとき，⽔位の分布はどうなるのか？⽔位の確率密度関数  2r q1b 2 2 q 2b  p(q)  p0 exp  2  2  (aq b )2  a 1 b a 2  b  ph (h)  pQ (g1 (h)) f y (y)  f x (g1 (y)) ？  h 3 Q   C  x=g-1(y) dg1 (y) dy µh = 7.33 m σh = 0.30 m µQ = 1384 m3/s 抵抗則 m = 4 降雨の偏差　σ = 4 σQ = 93.5 m3/s 流域面積A=100 km2 平均降雨 r = 50 mm/h 抵抗則 m = 4 河道幅 B = 50 m 粗度係数 n = 0.025 河道勾配 i = 1/1600 dg1 (y) dy3 h  CQ 55 y=g(x) 流域面積A=100 km2 平均降雨 r = 50 mm/h dg1 (h) dh 3 流量の不確実性 pQ (Q)  pq* ( 2 dQ 5  5 3  C h dh 3 3.6Q 3.6 ) A A 流量の確率密度関数 pQ (Q)  pq* (g1 (Q)) これが⽔位の不確実性 dg1 (Q) dQ 5  h 3 5 3 2 ph (h)  pQ (  ) C 5 h 3 C  3 堤防の余裕⾼の理論的解釈堤防の余裕⾼の理論的解釈 r r 2 mmmm/h, 50 mm h, Σr=50 h, m σ4 = 4 mm/h, m=4 9.0 余裕高 H.W.L. 8.0 h m 余裕⾼：堤防に必要とされる⾼さの余裕吹き寄せ，波(⾵浪,うねり)，跳⽔，流⽊の漂着，⽔防，右左岸の⽔位差等… Risk = ◯◯する恐れこの面積が越水するリスクになる 8.5 ph 堤防高 0.6 m 7.5 7.3 m 堤防高 7.0 この他に，⾬による不確実性が⼊るのではないか！堤防 6.5 6.0 0.0 水位の分布 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.02 1.2 越水するリスク PDF(h) 余裕⾼：吹き寄せ，波(⾵浪,うねり)，跳⽔，流⽊の漂着，右左岸の⽔位差等… + ⽔位の分布(不確実性) 出典：河川砂防技術基準 p(q) aq {r  q}p(q) 1  (aq  ) p(q)   t q q 2 2 2 b [参考] 交通事故で死亡：1/1万⾶⾏機死亡事故：1/50万薬剤死亡リスク：1/200万避難の意思決定の考え⽅1 流出高の確率密度関数(非定常) b 1 1.4 2 堤防⾼ H.W.L. Time[h] 40% 10% 1% 堤防⾼ H.W.L. はん濫危険⽔位 q*[mm/h] はん濫危険⽔位 PDF(q*) 堤防 q*[mm/h] PDF(q*) Time[h] Fokker-Planck方程式： g(x, t)p(x, t) 1 2 2 (x, t)p(x, t) p(x, t)   x 2 t x 2 dq  aq b {r  q}dt  aq b dw g(q)  aq b {r  q} , f (q)  aq b h 例えばある求められた⽔位hの時点で，避難判断の基準となる⽔位（例えば，はん濫危険⽔位など）を越える確率を求めることができる． [参考] 交通事故で死亡：1/1万⾶⾏機死亡事故：1/50万薬剤死亡リスク：1/200万 3 2014/12/5 堤防の余裕⾼の理論的解釈避難の意思決定の考え⽅2 , r = 50 mm/h, σ = 4 mm/h, m=4 8.5 堤防⾼ H.W.L. 余裕高 H.W.L. はん濫危険⽔位はん濫危険⽔位空振る確率 Risk = ◯◯する恐れ ph 堤防高 0.6 m 7.5 7.3 m 堤防高 7.0 はん濫危険⽔位の予測が堤防 8.0 h m 堤防⾼ H.W.L. 堤防 6.5 6.0 0.0 例えばある求められた⽔位hの時点で，その値が避難判断の基準となる⽔位を越えていた場合，基準となる⽔位を越えない確率（空振る確率）を求めることができる． , 9.0 水位の分布 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.02 1.2 1 1.4 越⽔するリスク PDF(h) H.W.Lが100年確率で定められている場合， [参考] 交通事故で死亡：1/1万⾶⾏機死亡事故：1/50万薬剤死亡リスク：1/200万まとめ降雨流出の基礎式と伊藤の確率微分方程式の関係から雨の不確実性(標準偏差)σに対する流量の不確実性p(Q)，及び水位の不確実性p(h)を数学的に厳密に示した． 0.01×0.02=0.0002となる．これが1年間に越水するリスクである！このリスクが許容できるか？！ Tunnel Effect in Quantum Mechanics Incident and reflected wave Transmitted wave 降雨流出過程の非線形性が強くなるのに従って，流量,水位の分散は大きくなる．流量，水位の分散は降雨の平均値 rも影響し，降雨の平均値が大きくなるに従って，流量，水位の分散は大きくなる．河川堤防を越水する確率を理論的に説明した．その解釈には，降雨の不確実性によって生じる水位の分布が含まれる可能性を示した．同時に，他のリスクと比較できるようになる事を示した． [参考] 交通事故で死亡：1/1万⾶⾏機死亡事故：1/50万薬剤死亡リスク：1/200万 Probability of Transmission Schrödinger Eq. ≒ Fokker-Plank Eq. Potential Barrier Analogous or similar Probability of Overflow Designed water level Levee 4