プリント

線形代数１
1
1.1
担当：那須, 2014.4.10
複素数
複素数の四則演算と複素平面
√
整数 (. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .) と有理数 (1/2, −3/4 など) と無理数 ( 2, π など) を合わせて
実数と呼び, 実数全体の集合を R で表す. 2 つの実数 a, b を用いて
a + bi,
ただし i =
√
−1
の形に表される数を複素数という. 複素数全体の集合を
{
}
C := a + bi a, b ∈ R
で表す. 複素数 α = a + bi に対し, a, b をそれぞれ α の実部, 虚部という (記号はそれぞれ
Re(α), Im(α) で表す. )
例 1.1. Re(3 − 5i) = 3, Im(3 − 5i) = −5
定義 1.2 (複素数の演算). 2 つの複素数 α = a + bi, β = c + di (a, b, c, d ∈ R) に対し,
(1) α = β ⇐⇒ a = c かつ b = d
(2) 和：α + β = (a + c) + (b + d)i
積：α − β = (a − c) + (b − d)i
(3) 積：αβ = (ac − bd) + (ad + bc)i
(4) 商：
α
ac + bd bc − ad
= 2
+ 2
i
β
c + d2
c + d2
和・差は実部と虚部をそれぞれ足し・引きする. 積・商は式を展開して, i2 = −1 で読み替
える.
例題 1.3. 次の計算をせよ：(1)
(1 − 4i)(3 + i) + 2i(2 + 3i)
(2)
1 + 3i
2 − 3i
(1)
(1 − 4i)(3 + i) + 2i(2 + 3i) = 3 + i − 12i − 4i2 + 4i + 6i2
= 3 + i − 12i + 4 + 4i − 6
= (3 + 4 − 6) + (1 − 12 + 4)i
= 1 − 7i
(2)
1 + 3i
(1 + 3i)(2 + 3i)
−7 + 9i
−7 + 9i
=
=
=
2
2 − 3i
(2 − 3i)(2 + 3i)
4 − 9i
13
問題 1.4. 次の計算をせよ：(1)
(2 + 3i)(5 − 3i) + 2i(3 + 5i)
(2)
−7 + 22i
4 + 5i
定義 1.5. 複素数 α = a + bi (a, b ∈ R) に対し, 複素数 α = a − bi を α の共役複素数という.
1
線形代数１
担当：那須, 2014.4.10
Im
α= a+bi
b
|α|
複素数 α = a + bi ←→
θ
Re
a
図 1: 複素平面
複素数 α = a + bi (a, b ∈ R) に対し, 平面上の点 (a, b) を対応させる. この対応により, 複
素数全体の集合 C と平面を同一視する. この平面を複素平面という.
複素数 α = a + bi (a, b ∈ R) に対し,
|α| =
√
a 2 + b2 ,
arg(α) = θ
をそれぞれ α の絶対値と偏角という.
定理 1.6. 複素数 α に対し, 次が成り立つ.
(1) |α| = |α|
(2) |α|2 = αα
(3) |α| = 1 ⇐⇒ α =
1
α
(4) | Re(α)| ≤ |α| かつ | Im(α)| ≤ |α|
問題 1.7.
(1) 上の定理を証明せよ.
(2) |α| = 1 かつ α ̸= −1 のとき,
1
1
+
1+α 1+α
を求めよ.
(3) |α| = 1 かつ |α − i| = 1 を満たす複素数 α を全て求めよ.
1
2 つの複素数 α と β に対し, 絶対値 |α − β| は複素平面において α と β に対応する 2 点間の距離を表すこ
とに注意せよ.
1
2
線形代数１
1.2
担当：那須, 2014.4.14
複素数の極形式
複素平面上の点 z = x + iy を考える. z と原点 O との距離は z の絶対値 r = |z| (> 0) に等
しく, 実軸の正の向きと z と O を結ぶ線分のなす角は z の偏角 θ = arg(z) (0 ≤ θ < 2π) に等
しい (前回のプリントの図 1 参照). 従って, z の実部 x と虚部 y はそれぞれ
x = r cos θ,
y = r sin θ
と表せ, これを元の z = x + iy に代入すれば
z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ)
(1.1)
を得る. 複素数 z を, 絶対値 r と偏角 θ を用いて表すこの表し方を z の極形式と呼ぶ.
例題 1.8.
(1)
√
3 + i を極形式で表せ.
2
(2) |z| = 2, arg(z) = π である複素数 z を直交形式 x + iy (x, y ∈ R) で表せ.
3 √
√
√
√
π
解答）
(1) | 3 + i| = ( 3)2 + 1 = 2. 複素平面に図示すると, arg( 3 + i) = . よっ
6
(
√
π
π)
.
て求める極形式は, 3 + i = 2 cos + i sin
6
( 6 √ )
(
)
√
2
3
2
1
(2) 2 cos π + i sin π = 2 − +
i = −1 + 3i.
3
3
2
2
問題 1.9. (1) 次の複素数を極形式で表せ：
√
√
√
√
3 − i (b) −1 − 3i (c)
2 + 2i
(a)
(d) −2i
(2) 次の複素数を直交形式
x+
(
) iy の形に表せ：
(
)
5
5
3
3
(e) 8 cos π + i sin π
(f) 2 cos π + i sin π
6
6
4
4
(g) 8 (cos 7π + i sin 7π)
複素数の偏角 θ = arg(z) の定義において, θ の範囲を 0 ≤ θ < 2π に取った. これは z に対
し arg(z) を一意的に定義するためである. しかし, 偏角の定義で 2π の整数倍を無視して考え
る2 と都合が良い.
定理 1.10. 複素数 α, β に対し次が成り立つ：
(1) |αβ| = |α||β| かつ arg(αβ) = arg(α) + arg(β)
( )
α |α|
α
(2) β ̸= 0 のとき, =
かつ arg
= arg(α) − arg(β)
β
|β|
β
複素数の積 αβ の絶対値は, それぞれの絶対値の積に等しく, αβ の偏角は, それぞれの偏角
の和に等しい. この定理の系 (定理からすぐに出てくる別の定理) として次を得る.
2
つまり z の偏角が θ のとき θ + 2nπ も z の偏角と考える
3
線形代数１
担当：那須, 2014.4.14
定理 1.11. z を複素数とし, 絶対値を r, 偏角を θ とする. z = r(cos θ + i sin θ) のベキ乗 z n は
z n = rn (cos nθ + i sin nθ)
と表される.
特に, z = cos θ + i sin θ のとき (|z| = 1 のとき)
z n = cos nθ + i sin nθ
(n は整数)
を得る. この式はド・モアブル (de Moivre) の公式として良く知られている.
√
例題 1.12. (− 3 + i)8 を計算せよ.
√
解答)
z = − 3 + i を極形式で表せば,
(
)
5
5
z = 2 cos π + i sin π .
6
6
定理より,
(
)
5n
5n
z = 2 cos π + i sin π .
6
6
n
n
n = 8 のとき,
(
)
40
40
z = 2 cos π + i sin π
6
6
(
)
20
20
= 256 cos π + i sin π
3
3
( (
)
(
) )
2
2
= 256 cos 6 +
π + i sin 6 +
π
3
3
(
)
2
2
= 256 cos π + i sin π
3
3
(
√ )
3
1
= 256 − +
i
2
2
√
= −128 + 128 3i.
8
8
問題 1.13. 次の計算をせよ.
√
(1) (1 + 3i)10
(2) (1 − i)4
√
(3) (1 + 3i)−8
√
(4) (−2 3 + 6i)−4
2
※お知らせ：講義に関する情報は次のページを参照：http://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/2014/la1.html
4

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