4STEP 280を極める(指数対数関数編)

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP 280 を極める (指数対数関数編)
それでは，2 年生で学習したことの復習として 4STEP 280 に取り組もう．ポイントとなるのは合成関数
の微分を自由自在に操れるかどうか，です．合成関数の微分をもう一度確認しておこう．
Y 絶対値のないタイプも同様です．
.Point/(合成関数の微分)
y = f(u)，u = g(x) がそれぞれ u，x の微
分可能な関数であるとき，
合成関数 y = f(g(x)) も微分可能で，
N 合成関数の微分法を用います．
y = log jf(x)j において，f(x) = u とおくと，
dy
1 du
y = log juj であり，
= ，
= f0 (x) な
u dx
du
dy
dy du
=
¢
dx
du dx
という関係式が成立する．
ので，
f0 (x)
dy
dy du
1
=
¢
=
¢ f0 (x) =
u
dx
du dx
f(x)
実際は，この公式を使うことはマレで，次のよう
にザックリと考えることがほとんどです．
.Point/
合成関数の微分の基本姿勢
まずは式全体を大きく見て大ざっぱにザックリ
y = ef(x) において，f(x) = u とおくと，y = eu
dy
du
であり，
= eu ，
= f0 (x) なので，
du
dx
微分．その後で中身の微分をくっつける．
dy
dy du
=
¢
= eu ¢ f0 (x) = ef(x) ¢ f0 (x)
dx
du dx
ザックリ微分の代表格は次の公式です．この 2 つ
の微分は頻出かつ重要です．
.Point/(ザックリ微分の公式)
(log jf(x)j)0 =
f0 (x)
f(x)
(log f(x))0 =
f0 (x)
f(x)
Q (ef(x) )0 = ef(x) ¢ f0 (x) は対数微分法を
用いても証明できます．
y = ef(x) において，両辺の自然対数をとると，
log y = f(x)．
(ef(x) )0 = ef(x) ¢ f0 (x)
y0
= f0 (x)．
y
したがって，y0 = y ¢ f0 (x) = ef(x) ¢ f0 (x)．
両辺を x で微分して，
280 次の関数を微分せよ．ただし，a は定数で，
a >¯ 0，a Ë 1 とする．
¯
¯
2x
¡
1 ¯¯
(1) y = log (x2 + 2) (2) y = log ¯
(3) y = log jx2 ¡ 4j
2x + 1
(4) y = log (sin x)
(5) y = (log x)3
(6) y = (x log x ¡ x)2
(7) y = e4x
(8) y = (x + 3)e¡x
(9) y = x2 ex
(10) y = ex cos x
(11) y = ex tan x
(12) y = ex
(13) y = log4 2x
(14) y = loga (x2 ¡ 1)
(15) y = a¡3x
2
+2x
N 合成関数の微分法は，置き換えして丁寧にやる「慎重派」と大ざっぱにやる「ザックリ派」とい
う 2 つの流派に分かれます．基本的に「ザックリ派」でやりますが，せっかくなので (1) と (5)，(14) の
み，2 つの流派どちらもやってみます．
(1) A (慎重派)
2
x + 2 = u とおくと，y = log u であり，
dy
1 du
= ，
= 2x なので，
u dx
du
dy
dy du
2x
1
¢ 2x = 2
=
¢
=
u
dx
du dx
x +2
A (ザックリ派)
dy
(x2 + 2)0
1
2x
= 2
¢(x2 +2)0 =
= 2
2
dx
x +2
x +2
x +2
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
¯
¯
j2x ¡ 1j
¯ 2x ¡ 1 ¯
¯ = log
(2) y = log ¯
2x + 1
j2x + 1j
= log j2x ¡ 1j ¡ log j2x + 1j
dy
(2x ¡ 1)0
(2x + 1)0
¡
=
2x ¡ 1
2x + 1
dx
2
2
=
¡
2x ¡ 1
2x + 1
2f(2x + 1) ¡ (2x ¡ 1)g
=
(2x ¡ 1)(2x + 1)
4
=
(2x ¡ 1)(2x + 1)
(7)
dy
= e4x ¢ (4x)0 = 4e4x
dx
(8)
dy
= (x + 3)0 e¡x + (x + 3)(e¡x )0
dx
= e¡x + (x + 3)(¡e¡x )
= (1 ¡ x ¡ 3)e¡x = ¡(x + 2)e¡x
Y 言うまでもなく，(e¡x )0 については
(e¡x )0 = e¡x (¡x)0 = ¡e¡x
Y log を分解せずに，まともに微分しても構
となります．
いません．
0
2x ¡ 1
#
;
dy
2x ¡ 1 0 2x + 1
2x + 1
; ¢
=
=#
2x ¡ 1
2x + 1
2x ¡ 1
dx
2x + 1
2(2x + 1) ¡ 2(2x ¡ 1) 2x + 1
=
¢
2x ¡ 1
(2x + 1)2
4
2x + 1
=
¢
(2x + 1)2 2x ¡ 1
4
=
(2x ¡ 1)(2x + 1)
(3)
dy
(x2 ¡ 4)0
2x
=
= 2
dx
x2 ¡ 4
x ¡4
(4)
dy
(sin x)0
cos x
1
=
=
=
sin x
sin x
tan x
dx
(5) A (慎重派)
(9)
(10)
(11)
log x = u とおくと，y = u3 であり，
dy
du
1
= 3u2 ，
=
なので，
x
du
dx
dy
dy du
3(log x)
1
=
¢
= 3u2 ¢
=
x
x
dx
du dx
A (ザックリ派)
dy
3(log x)2
= 3(log x)2 ¢ (log x)0 =
x
dx
(6)
dy
= 2(x log x ¡ x) ¢ (x log x ¡ x)0
dx
1
= 2(x log x ¡ x)(1 ¢ log x + x ¢
¡ 1)
x
= 2(x log x ¡ x) log x
Y (x log x ¡ x)0 の部分は，積の微分公式を用
いています．つまり
(x log x ¡ x)0
=x0 log x + x(log x)0 ¡ x0
1
¡1
=1 ¢ log x + x ¢
x
= log x
dy
= (ex )0 cos x + ex (cos x)0
dx
= ex cos x + ex (¡ sin x)
= ex (cos x ¡ sin x)
(12)
2
dy
= (x2 )0 ex + x2 (ex )0
dx
= 2xex + x2 (ex ) = (x2 + 2x)ex
(13)
dy
= (ex )0 tan x + ex (tan x)0
dx
1
= ex tan x + ex ¢
cos2 x
1
;
= ex #tan x +
cos2 x
dy
2
= ex +2x ¢ (x2 + 2x)0
dx
2
= (2x + 2)ex +2x
dy
(2x)0
2
=
=
2x log 4
2x log 4
dx
1
1
=
=
x log 4
2x log 2
(14) A (慎重派)
x2 ¡ 1 = u とおくと，y = loga u であり，
dy
1
du
=
= 2x なので，
，
u log a dx
du
dy
dy du
2x
1
¢2x =
=
¢
=
2
u log a
dx
du dx
(x ¡ 1) log a
A (ザックリ派)
dy
(x2 ¡ 1)0
2x
=
=
dx
(x2 ¡ 1) log a
(x2 ¡ 1) log a
(15)
dy
= a¡3x log a ¢ (¡3x)0
dx
= ¡3a¡3x log a

Download Report