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テーマ B33：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
回転移動と座標軸の回転－1/4
回転移動と座標軸の回転
１．回転移動の式
下図で，点 P(x, y) が原点 O を中心として角度 だけ回転して，点 P’ (x’, y’) に移動する
と，P’の座標 x’, y’は，
x'  x cos   y sin 
y'  x sin   y cos 
(1)
で計算することができます．
y
P’(x’, y’)
r

r
P(x, y)

O
x
２．回転移動の式の導出
回転移動の式を導いてみましょう．図から，線分 OP の長さを r とすると，P の座標は，
x  r cos 
(2)
y  r sin 
式を変形すると，
x
r
y
sin  
r
cos  
次に，P’の座標は，線分 OP’の長さが r に等しいので
x'  r cos   
y '  r sin    
となりますが，加法定理より次のように変換することができます．
x'  r cos     r cos  cos   sin  sin  
y'  r sin      r sin  cos   cos  sin  
そこで，(2)式を代入すると
y
x

x'  r  cos   sin    x cos   y sin 
r
r

x
y

y '  r  cos   sin    x sin   y cos 
r
r

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機械工学学習支援セミナー（小西克享）
回転移動と座標軸の回転－2/4
となって，(1)式と一致することが分かります．
３．回転行列
回転移動の式
x'  x cos   y sin 
y '  x sin   y cos 
を行列式で表すと，
 x' cos   sin    x 
 y '   sin  cos    y 
  
 
(3)
 x
となります．行列   に対して演算をおこなう行列
 y
cos   sin  
 sin  cos  


は回転行列といいます．
参考：行列式の計算のルール
a b   x  ax  by 
 c d   y   cx  dy 

  

に従って(3)式の計算を行うと，(1)式が導出されることが分かります．
４．座標軸の回転
点 P が移動しないで，座標軸が原点 O を中心に角度 だけ回転するとき，回転後の座標
軸における点 P の座標 X, Y は次式で計算できます．
X  x cos   y sin 
(4)
Y   x sin   y cos 
y
P (x, y)
P (X, Y)
Y
r

X

O
座標変換の式を導いてみましょう．
図から，線分 OP の長さを r とすると，P の座標は，
x  r cos 
(5)
y  r sin 
式を変形すると，
x
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回転移動と座標軸の回転－3/4
x
r
y
sin  
r
cos  
次に，座標軸が回転後の点 P の座標は，
X  r cos   
Y  r sin    
となりますが，加法定理より次のように変換することができます．
X  r cos     r cos  cos   sin  sin  
Y  r sin      r sin  cos   cos  sin  
そこで，(5)式を代入すると
y
x

X  r  cos   sin    x cos   y sin 
r
r

x
y

Y  r  cos   sin     x sin   y cos 
r
r

となって，(4)式と一致することが分かります．
(4)式を行列式で表すと，
 X   cos  sin    x 
 Y    sin  cos    y 
  
 
(5)
となります．
５．回転座標系から固定座標系への変換
回転座標系で観測された座標 X, Y を固定座標系の座標 x, y に変換するには，次式を用い
ます．
x  X cos   Y sin 
y  X sin   Y cos 
行列では
 x  cos 
 y    sin 
  
 sin    X 
cos    Y 
となり，回転行列は点の回転移動の場合と同じであることがわかります．
式の導出
(4)式を X に関して解くと，
X cos   x cos 2   y sin  cos 
Y sin    x sin 2   y sin  cos 


 X cos   Y sin   x cos 2   x sin 2   x cos 2   sin 2   x
同様に，(4)式を Y に関して解くと，
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回転移動と座標軸の回転－4/4
X sin   x sin  cos   y sin 2 
Y cos    x sin  cos   y cos 2 


 X sin   Y cos   y sin 2   y cos 2   y sin 2   cos 2   y
となります．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/RotationalTransfer.pdf
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