5 関数のいろいろな表し方と導関数 20140227

4STEP 数学Ⅲ（新課程）を解いてみた関数
微分法 5
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関数のいろいろな表し方と導関数
296
(1)
左辺を x について微分すると，
(
)
dy 2
d 2
dx 2
d
x + 3xy - y 2 =
+ 3 xy dx
dx
dx
dx
dy ö dy 2 dy
æ dx
= 2 x + 3ç y
+ x ÷dx ø dy dx
è dx
dy
dy
= 2 x + 3 y + 3x
- 2y
dx
dx
dy
= 2 x + 3 y + (3x - 2 y )
dx
これと，右辺を x について微分すると 0 になることから，
2 x + 3 y + (3 x - 2 y )
dy
=0
dx
よって， 3x - 2 y ¹ 0 ならば
dy
2x + 3y
=dx
3x - 2 y
(2)
左辺を x について微分すると，1
右辺を x について微分すると，
d cos y d cos y dy
=
dx
dy dx
dy
= - sin y
dx
これより， - sin y
dy
=1
dx
よって， sin y ¹ 0 ならば
dy
1
=dx
sin y
(3)
ポイント
Dx dx
=
D t ® 0 Dt
dt
t の変化に対する x の変化の極限は lim
Dy dy
=
Dt ® 0 D t
dt
t の変化に対する y の変化の極限は lim
dy
Dy dy
よって， x の変化に対する y の変化の極限 lim
は t を介して dt と表せる。
=
Dx ® 0 Dx
dx
dx
dt
1
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解
x=
1+ t2
1- t2
を t について微分すると，
dx d æ 1 + t 2
= ç
dt dt èç 1 - t 2
=
=
y=
(
ö
÷
÷
ø
) ( )
(1 - t )
2t 1 - t 2 - 1 + t 2 × (- 2t )
2 2
4t
(1 - t )
2 2
2t
1- t2
を t について微分すると，
dy d æ 2t ö
= ç
÷
dt dt è 1 - t 2 ø
=
(
)
2 1 - t 2 - 2t × (- 2t )
(1 - t )
2(t + 1)
=
(1 - t )
2 2
2
2 2
よって，
dy
dy dt
=
dx dx
dt
2 t2 +1
(
=
(1 - t )
)
2 2
4t
(1 - t )
2 2
=
t2 +1
2t
(4)
x = a cos 3 t を t について微分すると，
dx
= - a sin t cos 2 t
dt
y = b sin 3 t を t について微分すると，
dy
= b cos t sin 2 t
dt
よって，
dy
b cos t sin 2 t
b
== - tan t
2
dx
a
a sin t cos t
2
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297
x を t について微分すると，
dx
= - sin t + sin t + t cos t = t cos t
dt
y を t について微分すると，
dy
= cos t - cos t + t sin t = t sin t
dt
dy
dy dt t sin t
\ =
=
= tan t
dx dx t cos t
dt
æ dy ö
dç ÷
2
d y
è dx ø
=
ゆえに， 2 =
dx
dx
æ dy ö
dç ÷
1
è dx ø d tan t
dt = dt = cos 2 t = 1
dx
t cos t
t cos t t cos 3 t
dt
3
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解説
陰関数の微分
y が x の関数であるとき，
y = f (x ) の形で表現した関数を陽関数， f (x, y ) = 0 の形で表現した関数を陰関数とよぶ。
y が x の関数であり且つ x で微分可能な陰関数を f (x, y ) = 0 （ただし f (x, y ) = g (x ) + h( y ) ）
とすると，
y は x で微分可能だから，
df (x, y ) d (g (x ) + h( y ))
=
dx
dx
dg (x ) dh( y )
=
+
dx
dx
dg (x ) dy dh( y )
=
+
×
dx
dx dy
よって，
df (x, y ) dg (x ) dy dh( y )
=
+
×
=0
dx
dx
dx dy
例題
ax 2 + by 2 + c = 0 （ a, b は 0 でない実数）の
解
(
) ( ) ( )
d ax 2 + by 2 + c d ax 2
d by 2
=
+
+0
dx
dx
dx
dy d by 2
= 2ax +
×
dx
dy
dy
= 2ax +
× 2by
dx
dy ö
æ
= 2ç ax + by × ÷
dx ø
è
( )
これと
(
)
d ax 2 + by 2 + c
= 0 より，
dx
ax + by ×
dy
=0
dx
\
dy
ax
=dx
by
4
dy
を求めよ。
dx
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媒介変数で表された関数の微分
1．第 1 次導関数
dy
dx
(x, y ) = ( f (t ), g (t )) とすると，
x の t に対する瞬間変化率＝
dx df (t )
=
= f ¢(t )
dt
dt
y の t に対する瞬間変化率＝
dy dg (t )
=
= g ¢(t ) より，
dt
dt
y の x に対する瞬間変化率
dy dg (t )
g ¢(t )
dy dt
=
= dt =
dx dx df (t ) f ¢(t )
dt
dt
2．第 2 次導関数
dy
は，媒介変数 t を介することにより，
dx
となる。
d2y
dx 2
æ dy ö
dç ÷
d y
dy
è dx ø
のことである。
第 2 次導関数 2 とは，の x に対する瞬間変化率
dx
dx
dx
2
æ dy ö
dç ÷
¢
dy g ¢(t )
dy
è dx ø æç g ¢(t ) ö÷
=
=ç
ここで，
より，の t に対する瞬間変化率＝
÷
dx f ¢(t )
dx
dt
è f ¢(t ) ø
これと x の t に対する瞬間変化率＝
dx df (t )
=
= f ¢(t ) より，
dt
dt
æ dy ö
dç ÷
d y
dy
è dx ø
は
第 2 次導関数 2 ，すなわちの x に対する瞬間変化率
dx
dx
dx
2
æ dy ö
dç ÷
2
d y
è dx ø
=
媒介変数 t を介することにより， 2 =
dx
dx
補足：
d2y
dx 2
の分母が x 2 ，分子が d 2 の理由
æ dy ö
dç ÷
2
d y
è dx ø d dy d y
=
=
=
dx
dx dx dx 2
dx 2
2
5
æ dy ö
d ç ÷ æ g ¢(t ) ö¢
è dx ø ç
÷÷
ç
dt = è f ¢(t ) ø
dx
f ¢(t )
dt
となる。

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