予習プリント（10/3用）

東北大学工学部材料科学総合学科（亀川）
平成２６年度
初回講義（１０月３日）予習プリント
（解答例）
f (x)
（１）
この予習プリントはあくまでも各自の予習用で、提出の必要はありませんが、初回講義のための最低限の予習
として、この予習プリントを理解し課題をやってきていることを前提に、講義は進められます。
-!
フーリエ級数展開：関数! ! を周期!!の周期関数とすると、!
! ! !! !
!!
!
!
!
!!!
!
!
区間 !!! ! !
"#!$!%&!'&!(&! ・・・・)!
!! !"# !" ! !! !"# !" !
! ! !!
!
!
!
!! !
!
!
!! !
!
!
!!
!
!!!! !"!
!!
!
!!
奇関数： ! !! ! !! ! を満たす関数
!
!!!! !"
!!
!
!!
!
!!!! !"
!!
偶関数のフーリエ級数：!"# !"の項 !! ! !! !が残り!! ! !
!
!
!
!!
! !"
奇関数のフーリエ級数：!"# !"の項 !! のみが残り!! ! !! ! !
高校数学の復習
部分積分の公式
! ! !! !" ! ! ! ! !
!
!
!!!! ! !!!!! !" !
!! ! ! !"
!!!! ! !!!!!
（１）周期関数! ! のグラフを描け。
x
または矩形波などと呼ばれる。
（２）この関数は奇関数なので!! ! !! ! !となり、!! の項のみを計算する。
!! !
!
!
!
!
!
!!
!!!! !"# !" !" !
!
!"# !"
!
!
!!
!
!
!
!
!!
!!
!"# !"
!
!! ! !"# !" !" !
!
!
!
!
!
! ! !"# !" !"
!
!! ! !"# !"!
!!
従って、周期関数! ! のフーリエ級数は!
!
! ! !
!
!
!!!
!"#!!! ! !!!
!!!!!!!! ! !! !! !! ! !
!! ! !
「計算のポイント」
① 最初に、!! ! !! ! !! を計算する。ただし、周期関数! ! が奇関数または偶関数ならば、それ
ぞれ!! ! !! ! !または!! ! !となり計算が楽になる。
どちらでない場合は、!! ! !! ! !! !すべてを計算する。
② 得られた式の中に、!"# !"がある場合、!"# !" ! !!!!! の関係を利用する。
③ ! が奇数、偶数で場合分けをすることで更に式がシンプルになる場合は、それぞれ
!
!
!
!
!
! ! !! ! !、! ! !!を用いてフーリエ級数を表す。
（最終的に!ではなく!が式の中に残
っても、いずれも自然数であり本質的に問題はない。
）
!!!!! ! !!!! !"
周期!!の関数! ! が次のように定義されるとき、以下の問題に答えよ。
!!!! ! ! ! !!
! ! !
!!!!!! ! ! ! !!
0
-1
となる。
このように周期関数! ! を三角関数で表すことをフーリエ級数展開という。!
!
ｂ）偶関数と奇関数
!
学や信号処理などの分野では、方形波
!
!"# !" ! !!!!! なので、!が奇数 ! ! !! ! ! では!! ! ! !!であり、!が偶数では!! ! !
!!!! !"# !" !"!
偶関数： ! !! ! ! ! を満たす関数
!
!
!!!! !"# !" !"!
左図のような波形のグラフは、電気工
1
ａ）フーリエ級数展開
工業数学 II（１４組）予習プリント
（２）周期関数! ! のフーリエ級数展開を行え。
【課題】周期!!の関数! ! が次のように定義されるとき、以下の問題に答えよ。
! ! !!
（１）左図に周期関数! ! のグラフを描け。
（２）周期関数! ! のフーリエ級数展開を
行え。
f (x)
!!! ! ! ! !!
!
-3!
-2!
0
-!
-!
!
2!
3!
x

Download Report