テンソルの計算でSO(3)の共役性を視る

テンソルの計算で SO(3) の共役性を視る
a = (a1 , a2 , a3 ) を 3 次元単位ベクトルとします. 3 × 3 行列 Xa をレヴィ・チビタの記号 εijk
を用いて, 次のように定義します.
(Xa )ij ≡ εijk ak .
問 1 Xa を行列で書き表してください.
a を軸として単位行列 I を ϕ 回転する SO(3) の元は
eϕXa = I + sin ϕXa + (1 − cos ϕ)Xa2
となります.
テンソルの公式
εiαβ εiγδ = δαγ δβδ − δαδ δβγ
(∀α, β, γ, δ = 1, 2, 3)
を用いて, 次の問いに答えてください.
問 2 eϕXa をテンソルを用いて表してください.
(答え)
¡
eϕXa
¢
ij
= cos ϕ δij + sin ϕ εijk ak + (1 − cos ϕ)ai aj .
以下では, SO(3) の元の共役性を見ていきましょう. a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) を異な
る 3 次元単位ベクトルとします. このとき, eϕXa と eϕXb は共役になります. つまり, SO(3)
の共役な元は, 軸が異なるが, 回転角が同じもの同士であるといえます. 以下, このことを
示していきましょう.
3 次元単位ベクトル p を, 単位球面上での a と b の終点の中点とします.
a + b = 2 cos θ p,
(ai pi = bi pi = cos θ).
実は, eπXp で, eϕXa と eϕXb が共役であることが示せます (他の元でも共役になることが示
せますが, eπXp が最も簡単なようです).
問 3 eπXp をテンソルを用いて表してください.
(答え)
¡
eπXp
¢
ij
= −δij + 2pi pj .
共役性を示すために必要なテンソルの式は, 次の公式です.
+εijk pl − εjkl pi + εkli pj − εlij pk = 0
εiαβ aα aβ = 0
(∀p),
(∀i = 1, 2, 3).
問 4 上の式を確かめてください.
問 5 eπXp eϕXa = eϕXb eπXp を示してください.
（答え）
¡ πXp ϕXa
¢
¢ ¡
¢
¢ ¡
¢
¡
¡
e e
− eϕXb eπXp ij = eπXp iβ eϕXa βj − eϕXb iα eπXp αj
= (−δiβ + 2pi pβ ) (cos ϕ δβj + sin ϕ εβjα aα + (1 − cos ϕ)aβ aj )
− (cos ϕ δiα + sin ϕ εiαβ bβ + (1 − cos ϕ)bi bα ) (−δαj + 2pα pj )
= − cos ϕ δij − sin ϕ εijα aα − (1 − cos ϕ)ai aj + 2 cos ϕ pi pj + 2 sin ϕ εβjα aα pi pβ + 2(1 − cos ϕ) cos θ pi aj
− {− cos ϕ δij − sin ϕ εijβ bβ − (1 − cos ϕ)bi bj + 2 cos ϕ pi pj + 2 sin ϕ εiαβ bβ pα pj + 2(1 − cos ϕ) cos θ bi pj }
= − sin ϕ εijα aα − (1 − cos ϕ)(2 cos θ pi − bi )aj + 2 sin ϕ εβjα aα pi pβ + 2(1 − cos ϕ) cos θ pi aj
− {− sin ϕ εijβ bβ − (1 − cos ϕ)bi (2 cos θ pj − aj ) + 2 sin ϕ εiαβ bβ pα pj + 2(1 − cos ϕ) cos θ bi pj }
= − sin ϕ εijα aα + 2 sin ϕ εβjα aα pi
aβ + bβ
aα + bα
+ sin ϕ εijβ bβ − 2 sin ϕ εiαβ bβ
pj
2 cos θ
2 cos θ
=
sin ϕ
(−εijα aα bβ pβ + εβjα aα pi bβ + εijβ bβ aα pα − εiαβ bβ aα pj )
cos θ
=
sin ϕ
(−εijα pβ + εjαβ pi − εαβi pj + εβij pα ) aα bβ = 0.
cos θ

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