因子と可逆層

因子と可逆層
@waheyhey
2014 年 5 月 1 日
概要
晴れて学部 3 年生になりましたが気分は全く晴れ晴れしくなく，普段の勉強不足ゆえになかなか多様体
上の因子の理論に慣れないというか，因子に関する話題に鈍いので，今度という今度はよくよく因子を理解
したいと思ってこのノートを書きました．因子の理論は古典的な代数幾何の問題から最先端の高次元代数
幾何学にまで幅広く活躍していて，なんか凄いです（小学生並みの感想）．このノートの内容は主に，普段
代数幾何の基本事項の復習をする際に愛読している，Hartshorne 先生，G¨
ortz 先生や川又先生の本の内容
を，数ヶ月後の自分が読んでよく分かるようにまとめています．下書き無しに適当に考えながら書いている
ので文章はくどいでしょうし，僕は頭が悪いので間違いが沢山あるかもしれませんし，普段から注意力散漫
なので誤植も多いかと思います．悪しからず．
[2014/5/20] ある程度書いたので（お出掛けした先で自分が読むために...）公開しましたが，まだまだ書
き途中です．
目次
スキーム上の因子
2
1.1
Cartier 因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Weil 因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
特に代数多様体上で成り立つ諸結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
豊富因子と線型系
8
2.1
線型系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
様々な豊富性判定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1 点と接ベクトルの分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2 Serre の消滅定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.3 コホモロジー的交叉理論と中井 - Moishezon の判定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1
2
3
代数曲線上の因子
11
1
1 スキーム上の因子
1.1 Cartier 因子
定義 1（全商環の層） X をスキームとする．前層
U 7−→ Frac Γ(U, OX )
に付随する層 KX を OX の全商環の層という．ここで環 A に対し Frac A は，A の非冪零元全体がなす積閉
集合による A の局所化を表す．
定義 2（Cartier 因子） X をスキームとする．
×
×
(1) Div X := Γ(X, KX
/OX
) の元を Cartier 因子という．Cartier 因子の演算は加法的に書く．
×
(2) Cartier 因子 D は D ∈ Im(Γ(X, KX
) → Div X) となるとき，主 Cartier 因子（または単に主因子）で
あるという．
(3) Cartier 因子 D1 , D2 ∈ Div X は，D1 − D2 が主 Cartier 因子になるとき，線型同値であるという．
D1 , D2 が線型同値であることを D1 ∼ D2 で表す．
×
×
(4) Cartier 因子 D ∈ Div X は，D ∈ Div+ X := Γ(X, (KX
∩ OX )/OX
) となるとき，有効 Cartier 因子
（または単に有効因子）という．
X 上の Cartier 因子は局所的には次のように表示できる．すなわち X 上の Cartier 因子は，X の開被覆
∪
×
×
) の組 (Ui , fi )i で，任意の i, j に対し fi fj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Uj , OX
X = i Ui と単元 fi ∈ Γ(Ui , KX
) となるも
のと考えられる．これに対し Cartier 因子の各性質は次のように与えられる：D, E をそれぞれ (Ui , fi )i と
(Vj , gj )j で代表される Cartier 因子とする．
×
(1) D = E となるための必要十分条件は，任意の i, j に対して fi gj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Vj , OX
) となることである．
(2) D + E は (Ui ∩ Vj , fi gj )i,j で定義される．
(3) D が主因子であるための必要十分条件は，D が (X, f ) で代表されることである．
(4) D が有効因子であるための必要十分条件は任意の i で fi ∈ Γ(Ui , OX ) となることである．
(5) −D は (Ui , fi−1 )i で定義される．
主因子全体からなる部分群を Divprinc X で表し，剰余群
DivCl X := Div X/Divprinc X
を因子類群という．このとき完全列
×
×
1 −→ Γ(X, OX
) −→ Γ(X, KX
) −→ Div X −→ DivCl X −→ 0
を得る．
定義 3（可逆商イデアル） KX の OX 部分加群で可逆 OX 加群であるものを，OX の可逆商イデアルという．
可逆商イデアルの積を I1 I2 ⊂ KX で定める．
×
D を Cartier 因子，(Ui , fi )i を D の代表元とすると，fi fj−1 ∈ Γ(Ui ∩ Uj , OX
) より，IX (D)|Ui := fi OUi
なる可逆商イデアル IX (D) が定まる．
2
命題 4
スキーム X に対し，群の同型
}
∼ {
Div X −
→ OX の可逆商イデアル
D 7−→ IX (D)
が存在する．
証明
逆対応を作る．I ⊂ KX を可逆商イデアルとすると，可逆層であることから開被覆 X =
∪
∼
i
Ui が存在
して任意の i に対し同型 ηi : OX |Ui −
→ I|Ui が定まる．この同型に対し
ηi (Ui ) : OUi (Ui ) −→ I(Ui )
1 7−→ fi
×
とすると，fi ∈ Γ(Ui , KX
) となる．実際，fi が単元でないとすると，層化の構成からある開集合 W ⊂ Ui
が存在して f|W = g/h ∈ Frac Γ(W, OX )（g は零因子，h は非零因子）の形で書ける．このとき，ηi (W ) :
OUi (W ) → I(W ) は同型ではないので矛盾する．I に対しこれにより得られる (Ui , fi )i を対応させればよい．
注意 5
D を Cartier 因子，(Ui , fi )i を代表元とすると，D が有効 Cartier 因子となるための必要十分条件は
対応する可逆商イデアル IX (D) が OX のイデアルとなることである．このイデアル層 I(D) ⊂ OX に対応
する X の閉部分スキームを再び D で表し元の有効 Cartier 因子と同一視する．このとき，開部分スキーム
U := X \ D は X でスキーム的稠密となる．逆に，Y を X の閉部分スキームで，ある X のアフィン開被覆
{Ui }i と各開集合上での切断 fi ∈ Γ(Ui , OX ) が存在して，Ui ∩ Y = V (fi ) と書けるようなものに対し，この
(Ui , fi ) は Cartier 因子となる．
定義 6（Cartier 因子に伴う可逆層） Cartier 因子 D に伴う可逆層 OX (D) を，
OX (D) := I(D)−1
で定める．すなわち，開集合 U ⊂ X に対し切断を
Γ(U, OX (D)) := {f ∈ K(U ) | f I(D)(U ) ⊂ O(U )}
で定める．これが層になることは容易に確かめられる．
命題 7
次が成り立つ．
(i) D1 , D2 を Cartier 因子としたとき，D1 ≤ D2 となるための必要十分条件は OX (D1 ) ⊂ OX (D2 ) とな
ることである．
(ii) D を Cartier 因子とする．f ∈ Γ(X, KX ) に対し，f ∈ Γ(X, OX (D) となるための必要十分条件は
−D ≤ div(f ) となることである．
(iii) 対応 D 7→ OX (D) は群準同型を与える．すなわち，
OX (0) = OX , OX (D1 + D2 ) = OX (D1 )OX (D2 ) ≃ OX (D1 ) ⊗OX OX (D2 )
が成り立つ．
3
(i) D1 , D2 の局所方程式をそれぞれ (Ui , fi )i , (Ui , gi )i としたときに，D1 ≤ D2 となるための必要
証明
十分条件は fi gi−1 ∈ Γ(Ui , OX ) であること，および OX (Di ) の定義より従う．
(ii) 定義より直ちに従う．
(iii) これも定義から明らかである．
D を有効 Cartier 因子に対応する X の閉部分スキームとする．I(D) ≃ OX (−D) および OD ≃
注意 8
OX /I(D) より，単完全列
0 −→ OX (−D) −→ OX −→ OD −→ 0
が存在する．
命題 9
Cartier 因子 D1 , D2 が線型同値となるための必要十分条件は，伴う可逆層が同型になることである．
証明
主因子 D = (X, f ) に対し，O(D) = f −1 OX である．局所的に fi = gi /hi (g, h ∈ Γ(Ui , OX )，g, h は
零因子ではない．) と書けば，各開集合上で gi 倍する写像は局所的に O(D) と stshX の同型を定め，この写
像は貼り合って全体の同型を定める．
逆に，Cartier 因子 D に対し同型 O(D) ≃ OX が存在したとする．この同型が誘導する大域切断の同型に
おいて，1 ∈ Γ(X, OX ) に対応する元を f ∈ Γ(X, O(D)) ⊂ Γ(X, K) とすると，O(D) = f OX である．f 倍
写像は局所的な切断の同型も定めることから，局所的に f = g/h と書いたときに g は零因子ではない，すな
わち f ∈ Γ(X, K)× であることがわかる．これより D = div(−f ) である．
以上より次の完全列の存在が分かった．
0 −→ Γ(X, OX )× −→ Γ(X, K)× −→ Div X −→ Pic X
最後の射は一般には全射ではないが，次の事実がある．
命題 10
X をスキームとする．ここで，
(i) X は整スキームである，または
(ii) X は局所 Noether スキームで，スキーム的稠密なアフィン開集合 U ⊂ X を含む
とする．このとき，準同型 Div X → Pic X, D 7→ O(D) は全射である．すなわち，同型
DivCl X ≃ Pic X
が存在する．
証明
系 11 スキーム X が次の条件の一方を満たすとする．
(i) X は Noether かつ被約なスキームである．
(ii) X が Noether 環 R 上の相対次元 n の射影空間 PnR の閉部分スキームとなっている．
∼
このとき，対応 D 7→ O(D) は群の同型 DivCl (X) −
→ Pic X を与える．
4
定義 12（Cartier 因子の台）スキーム X 上の Cartier 因子 D の台を
Supp(D) := {x ∈ X | Dx ̸= 1}
で定める．
■因子の引き戻し
補題 13
φ : A → B を平坦な環準同型（すなわち B は φ による作用によって平坦 A 代数になる）とする．
このとき，φ は A の非零因子を B の非零因子にうつす．
証明
a ∈ A を非零因子とすれば，a 倍によって与えられる A 加群の準同型 a : A → A は単射である．
A ⊗A B ≃ B に注意すれば B は A 上平坦なので，φ(a) : B → B も単射である．従って φ(a) は B の非零因
子である．
命題 14
f : X → Y を平坦射とする．このとき，層の準同型 OY → f∗ OX は，全商環の層の準同型
f : KY → f∗ KX に延長できる．
♯
証明
KX は前層 U 7→ Frac Γ(U, OX ) に付随する層であること，およびアフィン開集合たちがスキームの開
基をなすことより，アフィン開集合 V = Spec A ⊂ Y に対し環準同型
φ : Γ(V, OY ) −→ Γ(f −1 (V ), OX )
が非零因子を非零因子にうつすことを確かめればよい（そうすれば局所化の普遍性より求めている準同型を
得る）
．
f −1 (V ) =
∪
i
Ui （各 i に対し Ui = Spec Bi ）をアフィン開被覆とする．これにより各 i に定まる環準同型
φi : A → Bi
は仮定より平坦であるから，直前の補題により非零因子を非零因子にうつす．
非零因子 a ∈ A に対して，Γ(f −1 (V ), OX ) において φ(a) · b = 0 とする．これを開集合 Ui に制限すると，
0 = (φ(a) · b)|Ui = φi (a) · b|Ui となり，φi (a) は非零因子であるから b|Ui = 0 である．i は任意なので層の性
質から b = 0．すなわち φ(a) は非零因子である．
以上によりスキームの平坦射 f : X → Y に対し，次のように Cartier 因子の引き戻しを定めるこ
とができる．まず，この命題により f ♯ : KY → f∗ KX が定まる．環準同型は単元を単元にうつすの
で，f ♯ : KY× → (f∗ KX )× を得る．ここで開集合 V ⊂ Y に対して Γ(V, (f∗ KX )× ) = Γ(V, f∗ KX )× =
×
×
×
Γ(f −1 (V ), OX )× = Γ(f −1 (V ), OX
) = Γ(V, f∗ (KX
)) となるので，結局この準同型は f ♯ : KY× → f∗ (KX
)で
×
×
×
ある．この部分層間の準同型 OY× → f∗ (OX
) も定まるから，KY× /OY× → f∗ (KX
)/f∗ (OX
) を得る．ここで，
完全列
×
×
×
×
0 −→ OX
−→ KX
−→ KX
/OX
−→ 0
に対して，f∗ は左完全関手より
( × ×)
×
×
0 −→ f∗ (OX
) −→ f∗ (KX
) −→ f∗ KX
/OX
×
×
×
×
は完全列．よって f∗ (OX
) −→ f∗ (KX
) の余核 f∗ (KX
)/f∗ (OX
) の普遍性より
( × ×)
×
×
f∗ (KX
)/f∗ (OX
) −→ f∗ KX
/OX
5
が定まる．以上の写像を合成することで，
( × ×)
/OX
KY× /OY× −→ f∗ KX
が定まり，これによって
( × × ))
(
( ( × × ))
f ∗ : Div Y = Γ(Y, KY× /OY× ) −→ Γ Y, f∗ KX
/OX = Γ X, KX
/OX = Div X
を得る．
定義 15（引き戻し）この f ∗ : Div Y → Div X を Cartier 因子の引き戻し写像という．
系 16 f : X → Y をスキームの平坦射とする．Y の有効 Cartier 因子 Z ⊂ Y に対して，f −1 (Z) は X の有
効 Cartier 因子であり，因子として Z の引き戻し f ∗ (Z) と一致する．
証明
局所的に確かめられるので X = Spec B ，Y = Spec A，非零因子 t ∈ A に対し Z = V (t) とし
てよい．対応する環準同型を φ : A → B とするとこれは平坦射であるから φ(t) は非零因子であり，
f −1 (Z) = V (φ(t)) = f ∗ (Z) となる．
1.2 Weil 因子
定義 17（Weil 因子） X を Noether スキームとする．V ⊂ X を既約な閉部分集合とし，その生成点を ξ と
する．このとき，C の余次元は，
codimX C := dimOX,ξ
で定義される．一般の閉部分集合に関しては，各既約成分の余次元の下限にて余次元を定義する．このとき，
閉部分集合 Z の余次元が 0 になるのは，Z が X の既約成分を含んでいるとき，かつそのときに限る．
非負整数 k ≥ 0 に対して X k で，X の余次元 k の整な閉部分スキームの集合を表すことにする．自由 Abel
群 Z(X
k
)
を Z k (X) で表し，余次元 k のサイクルという．閉部分スキーム C をサイクルの元として表示する
ときは [C] と書くことにする．つまり，一般の余次元 r のサイクルの元は
∑
C
nC [C] (nC ∈ Z) の形の有限
和で表される．
余次元 1 のサイクル，Z 1 (X) の元を X 上の Weil 因子という．特に X 1 の元のことを X 上の素 Weil 因子
という．
∑
C
nC [C] で任意の C について nC ≥ 0 であるものを有効 Weil 因子という．
Noether スキーム X 上で，Cartier 因子と Weil 因子の間の関係を考える．一般に，Cartier 因子から Weil
因子を構成する方法があり，これにより準同型
cyc : Div X −→ Z 1 (X)
が定まることを以下で示す．
素な Weil 因子 C に対し，有理型関数 f ∈ Γ(U, KX ) の C に沿った位数を定義したい．ここで，U は C の
生成点を含むものとする．
例えば，X が正規スキームのときのように，C の生成点 ξ ∈ C における茎，OX,ξ が離散付置環になってい
るとしたときは，芽 fC := fξ は K := Frac(OX,ξ ) において非零元であり，位数を
ordC (f ) := vC (fC )
6
と定めることができる．
一般の場合には，OX,C := OX,ξ は次元が 1 の Noether 局所環でしかない．このときは，次の補題を用い
て f ∈ Frac(OX,C )× に対し位数を定義することができる．
補題 18
A を次元が 1 の Noether 局所環とする．f ∈ Frac(A)× を非零因子 a, b ∈ A に対し f = ab−1 と表
したとき，
ordA (f ) := lengthA (A/(a)) − lengthA (A/(b))
で定める．これは well-defined な準同型
ord : Frac(A)× −→ Z
を定め，A× ⊂ Ker(ord) となる．
証明
a ∈ A を非零因子とする．このとき，dim(A/(a)) = 0 であり，よって A/(a) は Artin 環であり長さが
有限である．b ∈ A を非零因子とすると，b 倍する加群の準同型 A/(a) → bA/(ab) は同型を与える．短完全列
0 −→ bA/(ab) −→ A/(ab) −→ A/(b) −→ 0
より lengthA A/(ab) = lengthA (A/(a)) + lengthA (A/(b)) となる．以上より ord は well-defined な群の準同
型になる．A× ⊂ Ker(ord) はここまでの議論から明らかである．
D ∈ Div (X) を局所表示 (Ui , fi ) をもつ Cartier 因子とする．素 Weil 因子 C ∈ X 1 に対して，C の生成点
を含むような i を選び，f ∈ KX,C = Frac(OX,C ) を fi の C の生成点における茎とする．この f の定義は局
所表示 (Ui , fi ) の選び方によらない．つまり，
ordC (D) := ordOX,C (f ) ∈ Z
は D と C のみによって決まる．整数 ordC (D) を D の C における消滅位数という．
C が D の台に含まれていない場合は，定義より ordC (D) = 0 である．前にみたように codimX (D) ≥ 1 で
あるから，C ∈ X 1 で C ⊂ supp(D) なる C は必然的に D の既約成分になる．X と D は Noether 空間で，
従って高々有限個の既約成分をもつから，ordC (D) ̸= 0 なる C ∈ X 1 も高々有限個である．よって，次の群
準同型，
cyc : Div X −→ Z 1 (X)
∑
ordC (D)[C]
D 7−→
C∈X 1
が定まる．
7
1.3 特に代数多様体上で成り立つ諸結果
2 豊富因子と線型系
2.1 線型系
2.2 様々な豊富性判定法
2.2.1 点と接ベクトルの分離
2.2.2 Serre の消滅定理
命題 19
A をネーター環，S = A[x0 , . . . , xr ]，X = PrA = Proj S とする．このとき，H0 (X, O(−r − 1)) ≃ A
であり，かつ自然な双 1 次形式，
H0 (X, O(n)) × Hr (X, O(−n − r − 1)) → H0 (X, O(−r − 1)) ≃ A
は非退化である．
証明
F=
⊕
n∈Z
ˇ
O(n) と置く．X = PrA は分離的かつネーターなので，Cech
Cohomology を用いて計算で
きる．U = {Ui = D(xi )}i=0,...r 上のコホモロジーを用いて計算する．
O(n)(Ui0 ...ip ) = S(n)(xi0 ...xip )
だから，
F(Ui0 ...ip ) = Sxi0 ...xip
ˇ
となる．ゆえにCech
複体は，
∏
S xi →
i
である．まず，
∏
Sxi xj → · · · →
i<j

S = Ker 
∏
i
∏
Sx0 ...xck ...xr → Sxo ...xr
k
S xi →
∏

Sxi xj  = H0 (X, F) =
i<j
である．また，Hr (X, F) は，
dr−1 :
∏
⊕
H0 (X, O(n))
n∈Z
Sx0 ...xck ...xr −→ Sxo ...xr
k
mr
mr
0
0
の余核で，Sx0 ...xr を xm
たちを基底とする自由 A 加群，Imdr−1 を xm
で少なくとも
o · · · xr
0 · · · xr
一つ mi ≥ 0 なる i が存在するようなものたちを基底とする自由 A 加群と見なせば，Hr (X, F) =
⊕
n∈Z
Hr (X, O(n)) は {xl00 · · · xlrr | li < 0, ∀i} たちを基底とする自由 A 加群で，その次数づけは自然な
−1
次数づけに対応する．よって，特に Hr (X, O(−r − 1)) は x−1
0 · · · xr を基底とする階数 1 の自由 A 加群より，
Hr (X, O(−r − 1)) ≃ A
が成り立つ．これで主張の前半が示された．
8
次に主張の後半を示す．n < 0 のときはこれまでの計算から双方 0 であるから明らか．n ≥ 0 とのきは双一
次形式
H0 (X, O(n)) × Hr (X, O(−n − r − 1)) → H0 (X, O(−r − 1)) ≃ A
を，
m0 +l0
l0
lr
mr
0
· · · xrmr +lr
(xm
0 · · · xr , x0 · · · xr ) 7→ x0
（ただし，
∑
∑
mi = n，mi ≥ 0， li = −n − r − 1，li < 0 で，ある i について mi + li ≥ 0 のときは 0 にし
0 −1
r −1
ておく．
）とすれば，(−, x−m
· · · x−m
) たちを双対基底にもつので，非退化である．
r
0
命題 20
A をネーター環，S = A[x0 , . . . , xr ]，X = PrA = Proj S とする．このとき，任意の整数 n ∈ Z と
0 < i < r に対し，Hi (X, OX (n)) = 0 となる．
証明
命題 21（Serre） X をネーター環 A 上の射影スキームで，OX (1) が A 上非常に豊富であるとする．F を X
上の連接層とする．このとき，
(i) 各 i ≤ 0 に対して Hi (X, F) は有限生成 A 加群である．
(ii) ある整数 n0 が存在して，任意の n ≤ n0 と i > 0 に対して，Hi (X, F(n)) = 0 である．
注意 22
これにより，特に X が k 上の射影代数多様体のとき，任意の連接層 F に対して Hi (X, F) は k ベ
クトル空間として有限次元である．
証明
X = PN
A の場合に帰着できる．命題 19 の証明における計算より任意の i ≥ 0 と q ∈ Z に対して
Hi (X, OX (q)) は有限生成 A 加群である．よって，OX (q) たちの有限直和に対しても成り立つ．一般の連接
層 F に対しては全射 OX (−q)⊕n F の核を K として短完全列
0 −→ K −→ OX (−q)⊕n −→ F −→ 0
のコホモロジー長完全列をとれば，i ≫ 0 に対しては Hi (X, F) = 0 であることから，コホモロジーの次数に
関する降下帰納法により主張の (i) を得る．
また，前命題の途中計算から OX (n) たち，よって OX (q) たちの有限直和に関しても (b) が成立することが
分かる．上の完全列
0 −→ K −→ OX (−q)⊕n −→ F −→ 0
に O(n) をテンソルしてコホモロジーの次数についての降下帰納法を用いることで，任意の i > 0 に対してあ
る ni > 0 が存在して n ≥ ni に対し
Hi (X, F(n)) = 0
となることが分かる．n1 , . . . , nN の最大値を，主張の n0 とすればよい．
定理 23（Serre の消滅定理 / Serre の豊富性判定法） A を Noether 環とし，X を A 上固有なスキームとす
る．このとき，X の可逆層 L に対し次が同値である．
(i) L が豊富．
(ii) 任意の X 上の連接層 F に対し，ある整数 n0 が存在して，任意の i > 0 と任意の n ≥ n0 に対し，
Hi (X, F ⊗ L) = 0 となる．
9
証明
(i) ⇒ (ii) を示す．L が豊富であるとする．このとき，ある正整数 m > 0 が存在して Lm は非常に豊
富になり，X は A 上射影的になる．前命題より，各 r = 0, . . . , m − 1 に対し，ある正整数 nr > 0 が存在し
て任意の n ≥ nr と i > 0 に対し，
Hi (X, F × Lr (n)) = 0
が成り立つ．
Hi (X, F × Lr (n)) = Hi (X, F ⊗ Lr ⊗ OX (1)n )
= Hi ((X, F ⊗ Lr ⊗ (Lm )n )
= Hi (X, F ⊗ Lr+nm ) = 0
となるから，n0 , . . . , nm−1 の中で最大のものをとれば良い．
(ii) ⇒ (i) を示す．F を連接層，p ∈ X を閉点，Ip を {p} ⊂ Y のイデアル層とする．このとき，短完全列
0 −→ Ip F −→ F −→ F ⊗ k(p) −→ 0
に対し Ln をテンソルして，
0 −→ Ip F ⊗ Ln −→ F ⊗ Ln −→ F ⊗ Ln ⊗ k(p) −→ 0
を得る．仮定より，ある n0 が存在して，任意の n ≥ n0 に対して
H1 (X, Ip F ⊗ Ln ) = 0
となる．すなわち，n ≥ n0 に対し，
0 −→ Γ(X, Ip F ⊗ Ln ) −→ Γ(X, F ⊗ Ln ) −→ Γ(X, F ⊗ Ln ⊗ k(p)) −→ 0
は完全列になる．可換図式
0
/ Γ(X, Ip F ⊗ Ln )
0
/ mp (F ⊗ Ln )p
f
/ Γ(X, F ⊗ Ln )
g
/ Γ(X, F ⊗ Ln ⊗ k(p))
ρ′
ρ
fp
/0
/ (F ⊗ Ln )p
gp
/ (F ⊗ Ln )p ⊗ OX,p /mp
/0
において，F ⊗ Ln ⊗ k(p) は p 上の摩天楼層であるから，ρ′ は同型になる．簡単な計算により，
(F ⊗ Ln )p = mp (F ⊗ Ln )p + Im(ρ)
を得る．中山の補題より，
Im(ρ) = (F ⊗ Ln )p
となる．よって，ρ は全射となり，F ⊗ Ln は p 上で大域切断で生成される．F は連接層ゆえ，n に依存した
ある p の開近傍 U が存在し，F ⊗ Ln は U 上大域切断で生成される．
F = OX とすると，ある n1 > 0 と p の開近傍 V が存在して Ln1 は大域切断で生成される．また，各
r = 0, . . . , n1 −1 に対し，F ⊗Ln0 +r は Ur 上大域切断で生成されているとする．Up = V ∩U0 ∩U1 ∩. . . Un1 −1
とおくと，任意の n ≥ n0 は n = n0 + r + mn1 と表せて，
F ⊗ Ln = (F ⊗ Ln0 +r ) ⊗ (Ln1 )m
より F ⊗ Ln は Up 上大域切断で生成される．X は準コンパクトなので有限個の閉点に対しての Up で X を
被覆できるから，ここで各 p に対する np の中で最大のものをとればよい．
10
2.2.3 コホモロジー的交叉理論と中井 - Moishezon の判定法
3 代数曲線上の因子
11
参考文献
[1] L.B˘adescu, Algebraic Surfaces, Universitext, Springer.
[2] U.G¨ortz, T.Wedhorn, Algebraic Geometry I, Vieweg+Teubner, 2010.
[3] R.Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer.
[4] 飯高茂, 代数幾何学 I,II,III, 岩波基礎数学講座, 岩波書店.
[5] 石井志保子, 特異点論, シュプリンガー現代数学シリーズ 8, 丸善出版.
[6] 川又雄二郎, 代数多様体論, 共立講座 21 世紀の数学 19, 共立出版.
[7] 川又雄二郎, 高次元代数多様体論.
[8] 斎藤秀司, 佐藤周友, 代数的サイクルとエタールコホモロジー, シュプリンガー現代数学シリーズ 17, 丸
善出版.
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