画像処理とフーリエ変換練習問題

画像処理とフーリエ変換練習問題 No.1
桂田祐史
katurada AT meiji.ac.jp
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/fourier/
2014 年 10 月 3 日, 訂正 2015 年 1 月 14 日
これまであまり Fourier 級数の計算をしたことがない人は、問 4, 5 を早めに解いてみること。
1.
α ∈ R とするとき、関数 cos αx, sin αx, eiαx の周期を求めよ。ただし i は虚数単位とする。
2. f : R → C が周期 T の連続関数とするとき (T > 0 とする)、∀α ∈ R に対して次式が成り立つこ
とを確かめよ。
∫ T
∫ α+T
f (x) dx =
f (x) dx.
0
3.
α
以下の等式を示せ。
1
(cos(a + b) + cos(a − b)) ,
2
1
sin a sin b = − (cos(a + b) − cos(a − b)) ,
2
1
sin a cos b = (sin(a + b)+ sin(a − b)) .
2
cos a cos b =
(右辺から左辺を導くのは簡単だが、必要に応じて左辺から右辺を導けるようにしておくこと。)
A+B
A−B
cos
,
2
2
A−B
A+B
sin A − sin B = 2 sin
cos
,
2
2
A+B
A−B
cos A + cos B = 2 cos
cos
,
2
2
A+B
A−B
cos A − cos B = −2 sin
sin
.
2
2
sin A + sin B = 2 sin
4.
次の定積分の値を求めよ。ただし i は虚数単位とする。
∫ π
∫ π
cos kx dx (k = 0, 1, . . . ),
sin kx dx (k = 1, 2, . . . ),
−π
−π
∫
π
einx dx
−π
(n ∈ Z).
(注意: 場合分けが必要である。)
5. 以下の関数 f を区間 [−π, π] で Fourier 級数展開せよ (必要ならば [−π, π] の外で適当に拡張して、
周期 2π の関数と考えて Fourier 級数展開せよ)。
(1) f (x) = x (−π ≤ x ≤ π).
(2) f (x) = x2 (−π ≤ x ≤ π). (一般に xk はどうか？)
(3) f (x) = |x| (−π ≤ x ≤ π).
1


(0 < x < π)
 1
(4) f (x) = sign x =
0
(x = 0)

 −1 (−π < x < 0)
(5) f (x) = cos2 x.
(6) f (x) = sin3 x.
6.
f : R → C が周期 T (T > 0) の周期関数とするとき、an , bn をどのように定めると
)
∞ (
a0 ∑
2nπx
2nπx
f (x) =
+
+ bn sin
an cos
2
T
T
n=1
が期待できるか？
7.
f : R → C が周期 2π の周期関数で滑らかとする。
(1) f が偶関数ならば次式が成り立つことを示せ。
∞
a0 ∑
f (x) =
+
an cos nx,
2
n=1
2
an :=
π
∫
π
f (x) cos nx dx.
0
(2) f が奇関数ならば次式が成り立つことを示せ。
f (x) =
∞
∑
bn sin nx,
n=1
8.
2
bn :=
π
∫
π
f (x) sin nx dx.
0
関数の偶関数拡張、奇関数拡張を考えることにより、以下の問に答えよ。
(1) f : [0, 1] → C が滑らかな関数とするとき、f (x) を cos nπx (n = 0, 1, · · · ) を用いて表せ。
(2) f : [0, 1] → C が滑らかな関数とするとき、f (x) を sin nπx (n = 1, 2, · · · ) を用いて表せ。その式
が任意の x ∈ [0, 1] について成り立つためには、f に追加の条件が必要になる。それを求めよ。(変
な尋ね方の問題だけど…)
9.
f : R → C を周期 2π の連続関数として、
∫
1 π
an =
f (x) cos nx dx (n = 0, 1, . . . ),
π −π
∫ π
1
cn =
f (x)e−inx dx (n ∈ Z)
2π −π
とおくとき、
bn =
1
π
∫
π
f (x) sin nx dx
−π

1


(an − ibn )
(n > 0)


2



1
cn =
a
(n = 0)
 2 0




1

 (a−n + ib−n ) (n < 0)
2
であることを確かめよ。
2
(n = 1, 2, . . . ),

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