画像処理とフーリエ変換 練習問題 No.1 桂田 祐史 katurada AT meiji.ac.jp http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/fourier/ 2014 年 10 月 3 日, 訂正 2015 年 1 月 14 日 これまであまり Fourier 級数の計算をしたことがない人は、問 4, 5 を早めに解いてみること。 1. α ∈ R とするとき、関数 cos αx, sin αx, eiαx の周期を求めよ。ただし i は虚数単位とする。 2. f : R → C が周期 T の連続関数とするとき (T > 0 とする)、∀α ∈ R に対して次式が成り立つこ とを確かめよ。 ∫ T ∫ α+T f (x) dx = f (x) dx. 0 3. α 以下の等式を示せ。 1 (cos(a + b) + cos(a − b)) , 2 1 sin a sin b = − (cos(a + b) − cos(a − b)) , 2 1 sin a cos b = (sin(a + b)+ sin(a − b)) . 2 cos a cos b = (右辺から左辺を導くのは簡単だが、必要に応じて左辺から右辺を導けるようにしておくこと。) A+B A−B cos , 2 2 A−B A+B sin A − sin B = 2 sin cos , 2 2 A+B A−B cos A + cos B = 2 cos cos , 2 2 A+B A−B cos A − cos B = −2 sin sin . 2 2 sin A + sin B = 2 sin 4. 次の定積分の値を求めよ。ただし i は虚数単位とする。 ∫ π ∫ π cos kx dx (k = 0, 1, . . . ), sin kx dx (k = 1, 2, . . . ), −π −π ∫ π einx dx −π (n ∈ Z). (注意: 場合分けが必要である。) 5. 以下の関数 f を区間 [−π, π] で Fourier 級数展開せよ (必要ならば [−π, π] の外で適当に拡張して、 周期 2π の関数と考えて Fourier 級数展開せよ)。 (1) f (x) = x (−π ≤ x ≤ π). (2) f (x) = x2 (−π ≤ x ≤ π). (一般に xk はどうか?) (3) f (x) = |x| (−π ≤ x ≤ π). 1 (0 < x < π) 1 (4) f (x) = sign x = 0 (x = 0) −1 (−π < x < 0) (5) f (x) = cos2 x. (6) f (x) = sin3 x. 6. f : R → C が周期 T (T > 0) の周期関数とするとき、an , bn をどのように定めると ) ∞ ( a0 ∑ 2nπx 2nπx f (x) = + + bn sin an cos 2 T T n=1 が期待できるか? 7. f : R → C が周期 2π の周期関数で滑らかとする。 (1) f が偶関数ならば次式が成り立つことを示せ。 ∞ a0 ∑ f (x) = + an cos nx, 2 n=1 2 an := π ∫ π f (x) cos nx dx. 0 (2) f が奇関数ならば次式が成り立つことを示せ。 f (x) = ∞ ∑ bn sin nx, n=1 8. 2 bn := π ∫ π f (x) sin nx dx. 0 関数の偶関数拡張、奇関数拡張を考えることにより、以下の問に答えよ。 (1) f : [0, 1] → C が滑らかな関数とするとき、f (x) を cos nπx (n = 0, 1, · · · ) を用いて表せ。 (2) f : [0, 1] → C が滑らかな関数とするとき、f (x) を sin nπx (n = 1, 2, · · · ) を用いて表せ。その式 が任意の x ∈ [0, 1] について成り立つためには、f に追加の条件が必要になる。それを求めよ。(変 な尋ね方の問題だけど…) 9. f : R → C を周期 2π の連続関数として、 ∫ 1 π an = f (x) cos nx dx (n = 0, 1, . . . ), π −π ∫ π 1 cn = f (x)e−inx dx (n ∈ Z) 2π −π とおくとき、 bn = 1 π ∫ π f (x) sin nx dx −π 1 (an − ibn ) (n > 0) 2 1 cn = a (n = 0) 2 0 1 (a−n + ib−n ) (n < 0) 2 であることを確かめよ。 2 (n = 1, 2, . . . ),
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