近軸Helmholtz方程式の解法

2014 量子エレクトロニクス (久我)
近軸 Helmholtz 方程式の一般的解法
z 軸方向に進む電磁波とすると、x、y と z とを区別して考える。
⎛ ∂2
∂g(x, y; z)
∂2 ⎞
+
(1)
⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎟⎠ g(x, y; z) = −2ik
∂z
近軸 Helmholtz
方程式
g(x, y; z) の Fourier 変換とその逆変換は、
1
! x , k y ; z) =
g(k
g(x, y; z)exp[−i(k x x + k y y)]dxdy
(2)
2π ∫
1
! x , k y ; z)exp[i(k x x + k y y)]dk x dk y
g(x, y; z) =
g(k
(3)
2π ∫
であり、これを近軸 Helmholtz 方程式に代入すると、
! x , k y ; z)
∂ g(k
! x , k y ; z) = −2ik
(4)
− k x2 + k y2 g(k
∂z
となる。この解は、
⎡ k x2 + k y2 ⎤
! x , k y ;0)exp ⎢ −i
! x , k y ; z) = g(k
z⎥
g(k
(5)
2k
⎣
⎦
なので、
⎡ k x2 + k y2 ⎤
1
!
z ⎥ exp[i(k x x + k y y)]dk x dk y
g(kx , k y ;0)exp ⎢ −i
g(x, y; z) =
(6)
2k
2π ∫
⎣
⎦
となる。
(
)
(i) “点光源”の場合
点光源は、 z = 0 で g(x, y;0) = δ (x, y) とすればよいので、
1
1
g!δ (kx , k y ;0) =
δ (x, y)exp[−i(kx x + k y y)]dxdy =
∫
2π
2π
となり、
⎡ k x2 + k y2 ⎤
1
gδ (x, y; z) =
exp
z ⎥ exp[i(k x x + k y y)]dk x dk y
⎢ −i
(2π )2 ∫
2k
⎣
⎦
⎡ k(x 2 + y 2 ) ⎤
k
=
exp ⎢i
⎥
2z
2π iz
⎣
⎦
が得られ、これは放物面波である。
1
(7)
(8)
Fresnel 積分
2014 量子エレクトロニクス (久我)
(ii) Gauss 型の分布をもつ光源の場合
z = 0 で gG (x, y;0) =
⎡ x 2 + y2 ⎤
1
とすればよく、デルタ関数の場合の gδ (x, y; z) を
exp ⎢ −
π w02
w02 ⎥⎦
⎣
利用すれば、
gG (x, y; z) = ∫ gδ (x − x ', y − y'; z)gG (x ', y';0)dx 'dy'
(9)
と書ける。したがって、
⎡ x 2 + y2 ⎤ k
⎡ k(x − x ')2 + k(y − y')2 ⎤
1
gG (x, y; z) = ∫
exp
−
exp
⎢
⎢i
⎥ dx 'dy'
π w02
w02 ⎥⎦ 2π iz
2z
⎣
⎦
⎣
=
⎡ k(x 2 + y 2 ) ⎤
k
exp ⎢i
⎥
2π iq(z)
⎣ 2q(z) ⎦
q(z) = z − iz0 , z0 = kw02 / 2
( 10 )
と Gaussian beam が得られる。
また、点光源のときと同様なやり方でも同じ結果を得る(・・・はず)。
g!δ (kx , k y ;0) =
⎡ x 2 + y2 ⎤
1
1
exp
⎢ − w 2 ⎥ exp[−i(k x x + k y y)]dx dy
2π ∫ π w02
⎣
⎦
0
( 11 )
⎡ k 2 + k y2 2 ⎤
1
=
exp ⎢ − x
w0 ⎥
2π
4
⎣
⎦
gδ (x, y; z) =
⎡ k x2 + k y2 2 ⎤
⎡ k x2 + k y2
1
exp
−
w
exp
⎢
⎢ −i
0⎥
(2π )2 ∫
4
2k
⎣
⎣
⎦
⎤
z ⎥ exp[i(k x x + k y y)]dk x dk y
⎦
=
⎡ k x2 + k y2 ⎛
1
kw02 ⎞ ⎤
exp
−i
z
−
i
⎢
⎜⎝
⎟⎠ ⎥ exp[i(k x x + k y y)]dk x dk y
(2π )2 ∫
2k
2
⎣
⎦
=
⎡ k(x 2 + y 2 ) ⎤
k
exp ⎢i
⎥
2π iq(z)
⎣ 2q(z) ⎦
( 12 )
近軸 Helmholtz 方程式と Schrodinger 方程式との類似点
⎛ ∂2
∂g(x, y; z)
∂2 ⎞
⎜⎝ ∂x 2 + ∂y 2 ⎟⎠ g(x, y; z) = −2ik
∂z
近軸 Helmholtz 方程式
z → τ = z / c 、 k → m = !k / c 、 x → xA 、 y → xB
! 2 ⎛ ∂2
∂2 ⎞
∂
ψ (xA , xB ,cτ ) = −
+
ψ (xA , xB ,cτ )
Schrodinger 方程式
∂τ
2m ⎜⎝ ∂xA2 ∂xB2 ⎟⎠
ψ (xA , xB ,cτ ) … 自由空間(1 次元)の 2 粒子波動関数とみなせる。
i!
2

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