4STEP 279を極める(三角関数編)

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP 279 を極める (三角関数編)
それでは，2 年生で学習したことの復習として 4STEP 279 に取り組もう．ポイントとなるのは合成関数
の微分を自由自在に操れるかどうか，です．合成関数の微分をもう一度確認しておこう．
.Point/(合成関数の微分)
す．これらは頻出かつ重要です．
.Point/(ザックリ微分の公式)
y = f(u)，u = g(x) がそれぞれ u，x の微
分可能な関数であるとき，
(sin f(x))0 = cos f(x) ¢ f0 (x)
合成関数 y = f(g(x)) も微分可能で，
(cos f(x))0 = ¡ sin f(x) ¢ f0 (x)
dy
dy du
=
¢
dx
du dx
(tan f(x))0 =
という関係式が成立する．
f0 (x)
cos2 f(x)
N 合成関数の微分法を用います．sin の場
実際は，この公式を使うことはマレで，次のよう
にザックリと考えることがほとんどです．
.Point/
合のみ証明しときます．
y = sin f(x) において，f(x) = u とおくと，
dy
du
y = sin u であり，
= cos u，
= f0 (x)
du
dx
なので，
合成関数の微分の基本姿勢
まずは式全体を大きく見て大ざっぱにザックリ
微分．その後で中身の微分をくっつける．
dy
dy du
=
¢
dx
du dx
= cos u ¢ f0 (x) = cos f(x) ¢ f0 (x)
次の 2 つの【例】は基本的かつ重要です．
4
【例】 y = (2x + 3) の微分は？
dy
= 4(2x + 3)3 ¢ (2x + 3)0
dx
= 8(2x + 3)3
【例】 y = sin 2x の微分は？
dy
= cos 2x ¢ (2x)0 = 2 cos 2x.
dx
A
A
三角関数のザックリ微分の代表格は次の公式で
【例】 y = sin x の微分は？
2
A
dy
= 2 sin x ¢ (sin x)0 = 2 sin x cos x.
dx
279 次の関数を微分せよ．
(1) y = 2x ¡ cos x
(2) y = sin x ¡ tan x
(5) y = cos (sin x)
(6) y = sin x2
(7) y = tan x2
1
(10) y =
cos x
(13) y = sin x cos x
(8) y = cos3 x
1
(11) y =
sin2 x
(14) y = sin 3x cos 5x
(9) y = tan3 x
(4) y = tan 3x
(3) y = cos (2x ¡ 1)
(12) y = x sin 2x
N 合成関数の微分法は，置き換えして丁寧にやる「慎重派」と大ざっぱにやる「ザックリ派」とい
う 2 つの流派に分かれます．個人的には「ザックリ派」でやってほしいですが，せっかくなので (3)∼(11)
を 2 つの流派どちらもやってみます．なお，(1)(2) は公式で一発終了．(12)∼(14) は積の微分公式です．
A
dy
= 2 + sin x.
(1)
dx
dy
1
(2)
= cos x ¡
.
dx
cos2 x
(3)
慎重派の解答
2x ¡ 1 = u とおくと，y = cos u であり，
dy
du
= ¡ sin u，
= 2 なので，
du
dx
dy
dy du
=
¢
= ¡ sin u ¢ 2 = ¡2 sin (2x ¡ 1).
dx
du dx
ザックリ派の解答
dy
= ¡ sin (2x ¡ 1)¢(2x¡1)0 = ¡2 sin (2x ¡ 1)
dx
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
(4)
慎重派の解答
3x = u とおくと，y = tan u であり，
dy
1
du
=
，
= 3 なので，
du
cos2 u dx
dy
dy du
1
3
=
¢
=
¢3=
.
dx
du dx
cos2 u
cos2 3x
ザックリ派の解答
dy
1
3
=
¢ (3x)0 =
.
dx
cos2 3x
cos2 3x
(5)
慎重派の解答
sin x = u とおくと，y = cos u であり，
dy
du
= ¡ sin u，
= cos x なので，
du
dx
dy
dy du
=
¢
= ¡ sin u ¢ cos x
dx
du dx
= ¡ sin (sin x) cos x.
ザックリ派の解答
dy
= ¡ sin (sin x) ¢ (sin x)0
dx
= ¡ sin (sin x) cos x.
(6)
慎重派の解答
x2 = u とおくと，y = sin u であり，
dy
du
= cos u，
= 2x なので，
du
dx
dy
dy du
=
¢
= cos u ¢ 2x = 2x cos x2 .
dx
du dx
(8)
慎重派の解答
cos x = u とおくと，y = u3 であり，
dy
du
= 3u2 ，
= ¡ sin x なので，
du
dx
dy
dy du
=
¢
dx
du dx
2
= 3u ¢ (¡ sin x) = ¡3 cos2 x sin x.
ザックリ派の解答
dy
= 3 cos2 x ¢ (cos x)0 = ¡3 cos2 x sin x.
dx
(9)
慎重派の解答
tan x = u とおくと，y = u3 であり，
dy
du
1
= 3u2 ，
=
なので，
du
dx
cos2 x
dy
dy du
1
3 tan2 x
=
¢
= 3u2 ¢
=
.
dx
du dx
cos2 x
cos2 x)
ザックリ派の解答
dy
3 tan2 x
= 3 tan2 x ¢ (tan x)0 =
.
dx
cos2 x
(10)
慎重派の解答
cos x = u とおくと，y = u¡1 であり，
dy
du
= ¡u¡2 ，
= ¡ sin x なので，
du
dx
ザックリ派の解答
dy du
dy
sin x
=
¢
= ¡u¡2 ¢ (¡ sin x) =
.
dx
du dx
cos2 x
ザックリ派の解答
dy
= cos x2 ¢ (x2 )0 = 2x cos x2 .
dx
dy
sin x
= ¡(cos x)¡2 ¢ (cos x)0 =
.
dx
cos2 x
(7)
(11)
慎重派の解答
x2 = u とおくと，y = tan u であり，
dy
1
du
=
，
= 2x なので，
du
cos2 u dx
dy
dy du
2x
1
=
¢
=
¢ 2x =
.
dx
du dx
cos2 u
cos2 x2
慎重派の解答
sin x = u とおくと，y = u¡2 であり，
dy
du
= ¡2u¡3 ，
= cos x なので，
du
dx
dy
dy du
¡2 cos x
=
¢
= ¡2u¡3 ¢ cos x =
.
3
dx
du dx
sin x
ザックリ派の解答
ザックリ派の解答
dy
2x
1
¢ (x2 )0 =
.
=
dx
cos2 x2
cos2 x2
dy
¡2 cos x
= ¡2(sin x)¡3 ¢ (sin x)0 =
.
dx
sin3 x
dy
= x0 sin 2x + x(sin 2x)0 = sin 2x + x(2 cos 2x) = sin 2x + 2x cos 2x.
dx
dy
(13)
= (sin x)0 cos x + sin x(cos x)0 = cos2 x ¡ sin2 x = cos 2x.
dx
dy
(14)
= (sin 3x)0 cos 5x + sin 3x(cos 5x)0 = 3 cos 3x cos 5x + sin 3x(¡5 sin 5x)
dx
= 3 cos 3x cos 5x ¡ 5 sin 3x sin 5x.
(12)
Y 何度も何度も練習して，全問完璧にマスターしておくこと．できれば『ザックリ派』でいこう．

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