第 2章複素数平面

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP の考え方 (数学 c)
第 2 章複素数平面
原点対称
2 2 次曲線の平行移動
¡! x の代わりに ¡x，y の代わりに ¡y
y = x 対称 ¡! x と y の入れ換え
2 次曲線に限らず，与えられたグラフの平行移動
さて，今回の問題の残りの対称移動に関して
は基本中の基本です．
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は，軌跡の発想で考えるべきですね．
一般に，あるグラフを x 軸方向に a，y 軸方
例えば (x; y) を直線 x = ¡1 に関して対
向に b だけ平行移動したグラフは，
称移動した点を (X; Y) とすると，
x の代わりに x ¡ a
x+X
= ¡1
V 2
y=Y
y の代わりに y ¡ b
を代入します．
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となります．ここから X と Y の関係式を求
めればよいのです．つまり x と y を X と Y
おそらくわかってると思いますが，(1)(2)
を用いて表し，y2 = ¡4x に代入すれば，X
は放物線，(3)(4) は楕円，(5)(6) は双曲線
と Y の関係式が得られます．
です．いずれも平方完成っぽい変形をして標
準形に直します．まあ，大丈夫でしょう．
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1
x に関して
2
対称移動した点を Q(X; Y) とすると，PQ
1
の中点が y = ¡ x 上にあり，かつ PQ と
2
1
y = ¡ x が直交するので，
2
り，P(x; y) を直線 y = ¡
重要な問題．まずは問題文をみてどんな曲線
になるのか考えてください．
(1) は 2 定点からの和が一定なので・・・
(2) は 2 定点からの差が一定なので・・・
(3) は 1 点と直線へ距離が一定なので・・・
y+Y
1 x+X
=¡
2
2
2
Wy¡Y
=2
x¡X
曲線のイメージが出来たら，式に当てはめる
だけです．
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前問と同様に軌跡の発想で求めます．つま
なお，機械的に軌跡の手法を用いても求める
となります．ここから X と Y の関係式を求
ことができますが，ちょっとメンドウです．
めればよいのです．つまり x と y を X と Y
やはりここは図形の性質を利用すべきです．
を用いて表し，7x2 +48xy¡7y2 +25 = 0 に
代入すれば，X と Y の関係式が得られます．
まずは 2 本の漸近線を図示してみてくださ
い．交点が (¡2; 1) になるはず．さらに点
86 2 つの対称移動を順番に行うだけです．くれ
(¡1; 1) を通ることから求める双曲線は
y2
x2
¡ 2 = 1 を x ¡! ¡2，y ¡! 1
2
a
b
(x + 2)2
に平行移動したものなので，
¡
a2
2
(y ¡ 1)
= 1 とおけます．
b2
あとは，漸近線の傾きが §2 であること，点
ぐれも順番を間違えないように，対称移動し
てから平行移動するので，平行移動してから
対称移動するのとでは最終的な式が全く違っ
てきます．
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回転移動は旧課程では「行列」の定番問題で
(¡1; 1) を通ることなどから，a，b を求め
したが，新課程ではこのテーマは「複素数平
ることができますね．
面」に置き換わります．
つまり，点 (x; y) を原点中心に µ 回転した
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平行移動と共に対称移動も基本中の基本．下
点を (X; Y) とします．これらの点を複数
の 4 つの対称移動は即答できるようにしてお
平面で考えると，
こう．
(x; y) () x + iy
x 軸対称 ¡! y の代わりに ¡y
y 軸対称 ¡! x の代わりに ¡x
(X; Y) () X + iY
µ 回転する () cos µ + i sin µ 倍する
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP の考え方 (数学 c)
と対応するので，
となります．これをもとの x と y の式に代
入して X と Y だけの式を作ります．これが
X + iY = (x + iy)(cos µ + i sin µ)
求める曲線の式です．
なお，この関係は暗記するのではなく，その
(X+iY)(cos (¡µ)+i sin (¡µ)) = x+iy
都度，自分で作るのがよいでしょう．
x = X cos µ + Y sin µ
U
y = ¡X sin µ + Y cos µ
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前問と同様です．

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