数学演習：微分の計算

数学演習：微分の計算
平井慎一
立命館大学ロボティクス学科
平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
数学演習：微分の計算
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講義の流れ
1
複素数
2
指数関数と三角関数の微分
3
まとめ
4
付録
平井慎一 (立命館大学ロボティクス学科)
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複素平面
-3 -2
-1
0
1
2
3
数直線
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複素平面
x (-1)
-3 -2
-1
0
1
2
3
x (-1)
×(−1) ： 180◦ 回転
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複素平面
xi
-3 -2
xi
-1
0
1
2
xi
3
xi
×i ： 90◦ 回転
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複素平面
Im
3i
xi
xi
2i
i
-3 -2
-1
0
1
2
3
Re
-i
xi
-2i
xi
-3i
×i × i = ×(−1) (90◦ 回転 90◦ 回転 = 180◦ 回転)
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複素平面
Im
3i
xi
xi
2i
i
-3 -2
-1
0
1
2
3
Re
-i
xi
-2i
xi
-3i
i 2 = (−1)
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複素平面
Im
3i
2i
i
-3 -2
-1
0
1
2
3
Re
-i
-2i
-3i
複素平面
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複素平面
Im
3i
2+3i
2i
i
-3 -2
-1
0
1
2
3
Re
-i
-2i
-3i
複素数 2 + 3i
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複素数の計算
(2 + 3i) + (5 + 2i) = (2 + 5) + (3 + 2)i = 7 + 5i
(2 + 3i) (5 + 2i) =
=
=
=
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2 · 5 + 2 · 2i + 3i · 5 + 3i · 2i
10 + 4i + 15i + 6 i 2
10 + 4i + 15i + 6 · (−1)
4 + 19i
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指数関数 e it
Im
i
eit
Re
-1
t
1
-i
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指数関数 e it
指数関数 e it
e it = cos t + i sin t
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
0
t= π
6
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
1
t= π
6
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
2
t= π
6
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
3
t= π
6
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
4
t= π
6
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
5
t= π
6
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指数関数 e it ：等速円運動
Im
i
Re
-1
1
-i
6
t= π
6
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三角関数の加法定理
cos(α + β) + i sin(α + β) =
=
=
=
=
e i (α+β)
e i α+i β
e i αe i β
(cos α + i sin α)(cos β + i sin β)
(cos α cos β − sin α sin β) +
i (sin α cos β + cos α sin β)
⇓
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
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複素数の極表示
Im
3i
2i
i
-3 -2
-1
0
2eit
3eit
eit
t 1
2
3
Re
-i
-2i
-3i
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複素数の極表示
(絶対値) e i 偏角
3 + 3i の極表示
√
√
32 + 32 = 3 2
{
}
√
3
3
√ + √ i
3 + 3i = 3 2
3 2 3 2
√ {
π
π}
= 3 2 cos + i sin
4
√ i (π/4)4
= 3 2e
|3 + 3i| =
注意：(絶対値) ≥ 0
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問題
1. 以下の複素数を直交形式 (x + iy の形) で表せ
(1)
(3)
(5)
e i(−π)
e i(π/6) e i(π/3)
√
e i(π/3) (2 + 2 3i)
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(2)
(4)
4e i(π/6)
(−2 + 3i) (−2 − 3i)
(6)
e i(π/2) (3 + 4i)
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指数関数の微分
指数関数 e at の微分
·
e at ⇒ a e at
特に
·
et ⇒ et
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三角関数の微分
e it
·⇓
i e it
= i (cos t + i sin t)
= − sin t + i cos t
cos t + i sin t =
三角関数 cos t, sin t の微分
·
cos t ⇒ − sin t
·
sin t ⇒ cos t
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三角関数の微分
e i ωt
·⇓
iω e i ωt
= iω (cos ωt + i sin ωt)
= −ω sin ωt + iω cos ωt
cos ωt + i sin ωt =
三角関数 cos ωt, sin ωt の微分
·
cos ωt ⇒ −ω sin ωt
·
sin ωt ⇒ ω cos ωt
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指数関数と三角関数の積の微分
e −2t (cos 5t + i sin 5t) = e −2t e i 5t = e (−2+5 i)t
·⇓
(−2 + 5 i) e (−2+5 i)t
= (−2 + 5 i) e −2t (cos 5t + i sin 5t)
= e −2t {(−2 cos 5t − 5 sin 5t) +
i (5 cos 5t − 2 sin 5t)}
·
e −2t cos 5t ⇒ e −2t (−2 cos 5t − 5 sin 5t)
·
e −2t sin 5t ⇒ e −2t (5 cos 5t − 2 sin 5t)
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三角関数と三角関数の積の微分
cos 5t cos 3t + sin 5t sin 3t = cos(5t + 3t) = cos 8t
cos 5t cos 3t − sin 5t sin 3t = cos(5t − 3t) = cos 2t
⇓
1
(cos 8t + cos 2t)
2
1
(cos 8t − cos 2t)
sin 5t sin 3t =
2
cos 5t cos 3t =
1
{−8 sin 8t + (−2 sin 2t)}
2
= −4 sin 8t − sin 2t
1
·
sin 5t sin 3t ⇒
{−8 sin 8t − (−2 sin 2t)}
2
= −4 sin 8t + sin 2t
·
cos 5t cos 3t ⇒
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問題
2. 以下の関数の微分を求めよ
(1)
(3)
(5)
e −2t
e −3t sin 4t
sin 2t sin 4t
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(2)
(4)
(6)
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cos 8t
e 2t cos 8t
sin 3t cos 5t
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まとめ
複素数
i は 90◦ の回転を表す
e it = cos t + i sin t
指数関数と三角関数の微分
指数関数 e at の微分
三角関数 cos ωt, sin ωt の微分
指数関数と三角関数の積の微分
三角関数と三角関数の積の微分
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なぜ e it が等速円運動を表すのか
z(t) = e it とおくと
z˙ = i e it = i z
⇓
z˙ ⊥ z
⇓
z(t) は円運動
z(0) = e 0 = 1 なので，円の半径は 1 に等しい．すなわち |z| = 1
|z|
˙ = |i z| = |z| = 1
⇓
速さ 1 の等速運動
以上より，z(t) は速さ 1 の等速円運動．
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指数関数 e t
x˙ = x を満たす関数 x(t) を e t とする．
t2 t3 t4
+ + + ···
2! 3! 4!
2t 3t 2 4t 3
x˙ = 0 + 1 +
+
+
+ ···
2!
3!
4!
t2 t3
= 1 + t + + + ···
2! 3!
= x
x = 1+t +
⇓
et = 1 + t +
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t2 t3 t4
+ + + ···
2! 3! 4!
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指数関数 e it
(it)2 (it)3 (it)4 (it)5
+
+
+
− ···
2!
3!
4!
5!
t2
t3 t4
t5
= 1 + it − − i + + i + · · ·
2!
3! 4! )5! (
(
)
2
4
t
t
t6
t3 t5 t7
=
1 − + − + ··· + i t − + − + ···
2! 4! 6!
3! 5! 7!
e it = 1 + (it) +
⇓
t2 t4 t6
+ − + ···
2! 4! 6!
t3 t5 t7
sin t = t − + − + · · ·
3! 5! 7!
cos t = 1 −
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