Steady-State Analysis of Class-E2 DC

第27回回路とシステムワークショップ
The 27th Workshop on Circuits and Systems
in Awaji, August 4-5, 2014
最適状態外における E2 級 DC-DC コンバータの定常状態解析
Steady-State Analysis of Class-E2 DC-DC Converter
Outside Nominal Condition
永島和治 †
魏秀欽 ††
関屋大雄 †
†
千葉大学大学院融合科学研究科〒 263-8522 千葉県千葉市稲毛区弥生町 1-33
††
福岡大学工学部〒 814-0180 福岡県福岡市城南区七隈八丁目 19-1
Tomoharu NAGASHIMA†
Xiuqin Wei††
Hiroo SEKIYA†
†
Graduate School of Advanced Integration Science, Chiba University,
1-33, Yayoi-cho, Inage-ku, Chiba, 263-8522 Japan
††
Faculty of Engineering, Fukuoka University,
8-19-1, Nanakuma, Jonan-ku, Fukuoka 814-0180, Japan
1
まえがき
E2 級 DC-DC コンバータ [1], [2] は共振型 DC-DC
コンバータの一つであり，高電力変換効率を達成する
DC-DC コンバータとして，多くの電子機器への応用
が期待されている．E2 級 DC-DC コンバータは E 級
インバータと E 級整流器から構成される．インバー
タのスイッチオン時および整流器のスイッチオフ時
において，スイッチにかかる電圧が零 (Zero Voltage
Switching: ZVS) かつその傾きも零 (Zero Derivative
Switching: ZDS) とする E 級動作条件を達成するこ
とで，高周波数化において高電力変換効率を達成す
る．本論文では，E 級動作条件を達成する状態を “最
適状態” と呼ぶ．
E2
[1], [2] では，最適状態下での
級 DC-DC コン
バータの定常状態解析が行われた．[1] はそれ以降，
多くの解析の基本となっているが，最適状態を仮定
した上での解析であるため，最適状態外の動作，す
なわち回路パラメータが変化した時の動作を表現す
ることができない．実際のアプリケーションでは回
路パラメータの変動，特に負荷変動があり，最適状
態外で動作することがほとんどである．したがって，
最適状態外における E2 級 DC-DC コンバータの動作
把握が重要である．また，解析により得られた解析式
を用いることで回路の重要な特徴，例えばスイッチの
状態をパラメータ領域上で分布図とすることで ZVS
領域など，を低計算で導出することが可能となる．
本論文では，最適状態外における E2 級 DC-DC コ
ンバータの定常状態解析を行い，波形式，出力電力
および電力変換効率を導出する．さらに，得られた
解析式を用いてスイッチ状態の分布図を示す．回路
実験を行うことで，解析式の妥当性を示す．
2
E2 級 DC-DC コンバータ
図 1 に E2 級 DC-DC コンバータ [1], [2] の回路構成
と動作波形を示す．E2 級 DC-DC コンバータは，E
級インバータ [3] と E 級整流器 [4] から構成され，イ
ンバータと整流器の両方で E 級動作条件を達成する
ことで，高周波数化において高電力変換効率を達成
できる．
2.1
E 級インバータ
E 級インバータは，直流供給電圧 VDD , チョークコ
イル LC , スイッチ素子として動作する MOSFET S,
シャントキャパシタ CS , および直列共振回路 Lr − Cr
から構成される．インバータのスイッチ動作を行う
MOSFET は駆動信号 Dr により周波数 f および時比
率 D1 でオン・オフの切り替えを行う．スイッチオフ
の期間では，チョークコイルに流れる電流と共振回
路に流れる電流の差がシャントキャパシタに流れ込
み，その電流がスイッチ電圧 vS を発生させる．共振
回路を通ることにより，スイッチ電圧の基本周波数
成分，すなわち周波数 f の正弦波が整流器の入力電
流 i として流れる．通常，E 級インバータは高 Q 値の
共振回路を持つため，整流器の入力電流 i は図 1(b)
に示すように，正弦波とみなすことができる．E 級
−7−
CS
Dr
vS
D CD
vD
0
if
Cf
Vo
RL
2πD
0
2π
θ
2πD
2π
(a)
(a)
Dr
OFF
0
2πD1
2πD1
2πθ
0
2πD1
θ
2π
2πD1
θ
2π
Vo
2πD1
θ
2π
0
0
θ1
2πD
0
θ
2π
θ
2πD
(b)
2π
vS (V)
θ2=2πD
0
0
θ2
θ
θ1
2πD
2π
θ2
θ
2πD
2π
(c)
図 2: 最適状態外におけるスイッチ電圧とスイッチ電
流. (a) Case 1. (b) Case 2. (b) Case 3.
2π
θ
vD
vs
0
2πD1
θ
2π
IDD
0
0
i
ON
vS (V)
θ
Body diode-on duration
iS (A)
S
iD
i
θ1=θ2=2πD
iS (A)
VDD IDD
IO
vS (V)
iS
Switch-on duration
Switch-off duration
Class-E rectifier
Lf
iS (A)
Class-E inverter
L r Cr
LC
(b)
図 1: E2 級 DC-DC コンバータ. (a) 回路構成. (b)
動作波形.
ことと等価である．図 2(c) に示す Case 3 は，θ = θ1
でボディダイオードがオンになった後，θ = θ2 で再
び正電圧に戻るケースである．このケースも Case 1
と同様にスイッチング損失が発生する．[3] では，こ
の 3 つのケースを考慮し解析したことで，最適状態
外における E 級インバータの広範囲パラメータ領域
における動作表現が可能となった．本論文では，[3]
を基本とした解析を行う．
2.2
E 級整流器
E 級整流器は，スイッチング素子としてダイオード
D，並列キャパシタ CD ，ローパスフィルタ Lf − Cf ,
インバータにおいて最も重要な動作は，スイッチオおよび負荷抵抗 R から構成される. ダイオードが半
L
ン時に E 級動作条件を満足することである．E 級動波整流動作をし，整流された電圧がローパスフィル
作条件は以下の式で表現される．
タにより直流電圧に変換される．図 1(b) のダイオー
dvS vS (2πD1 ) = 0 and
= 0,
(1) ド電圧 vD に示すように，ダイオードオフ時のダイ
dθ θ=2πD1
オード電圧が零かつその傾き（dvD /dθ）も零となる
ここで，θ = ωt = 2πf t は角時間である. この E 級
E 級動作条件を達成することで，高電力変換効率を
動作条件を満足することで，E 級インバータは高動
達成できる．E 級インバータと E 級整流器の回路構
作周波数下において高電力変換効率を達成できる．
成からわかるように，E 級整流器の波形は E 級イン
図 2 に最適状態外における E 級インバータのスイッバータの波形を反転させたものと等価である．
チ電圧を示す．E 級インバータが最適状態外で動作す
E 級整流器は E 級インバータと異なり，ダイオー
るということは，スイッチ電圧が E 級動作条件を満たドが常に E 級動作条件を満たすスイッチングを行う
さない波形となることである．図 2(a) の Case 1 は，ため，ダイオード電圧 v は図 1(b) に示した一つの
D
スイッチオンの瞬間のスイッチ電圧が零でないケーケースのみとなる．
スである．このケースではスイッチオン時にシャン
トキャパシタに充電された電圧が瞬時に放電される 3 最適状態外における波形式
ため，1/2 · f CS vS2 の電力が浪費される．この損失を本章では，最適状態外における E2 級 DC-DC コン
スイッチング損失と呼ぶ．図 2(b) に示す Case 2 はスバータの解析を行う．解析は，[1] および [3] で行わ
イッチオンの前に，θ = θ1 においてスイッチ電圧が零れた解析を基とする．
となるケースである．このケースでは，スイッチ電圧
3.1 解析の仮定
が零となってからスイッチオンになる間，MOSFET
本論文の解析は以下の仮定に基づいて行う．
に寄生的に存在するボディダイオードがオンとなる．
a) MOSFET は理想的スイッチとして動作する．
Case 2 はスイッチオン時のスイッチ電圧が零である
すなわち，オン抵抗は零，オフ抵抗は無限，さ
ため，ZVS を達成するケースとなる．ZVS を達成す
らに切り替え時間は零とする．
るということは，スイッチ電圧波形が Case 2 となる
−8−
b) MOSFET のボディダイオードおよび整流器の
ダイオードは理想スイッチとして動作する．す
なわち，順電圧降下は零，オフ抵抗は無限，さ
らに切り替え時間は零とする．
LC
VDD IDD iS
S
CS
i
vS
D CD
IO
vD
Vo
Cf
iD
RL
(a)
c) 入力電流が一定となるよう，チョークコイル
LC は十分大きい．
L0
VDD IDD iS
S
e) 全ての受動素子は線形動作し，等価直列抵抗は
零とする．
C
L x Cr Ci
}
}
Lr
LC
d) 整流器の入力電流 i は正弦波となるよう，共振
回路の Q 値は十分大きい．
f) 回路は 0 ≤ θ < 2π で動作する．スイッチは
0 ≤ θ < 2πD1 でオフ，2πD1 ≤ θ < 2π でオン
とする. Lf
L r Cr
i
vS
CS
Ri
(b)
r LC
LC
Lr
S
VDD IDD iS
rS
CS
vS
Vd1
r Lr
i
Cr
Lf
D CD
vD
iD
Vd2
r Lf
IO
Cf
Vo
RL
(c)
g) MOSFET のボディダイオードは θ = θ1 でオン
となり，θ = θ2 でオフとなる．θ1 もしくは θ2
がスイッチオフ期間に無い場合，すなわち Case
1 の場合は，θ1 = 2πD1 および θ2 = 2πD1 と
する.
以上の仮定から，図 3(a) の等価回路が得られる．
3.2
図 3: E2 級 DC-DC コンバータの等価回路. (a) 波形
式導出のためのモデル. (b) 典型的な E 級インバー
タ. (c) 電力損失導出のためのモデル.
ダイオード電圧 vD は，
E 級整流器
共振回路 Lr − Cr に流れる整流器の入力電流 i は，
√
i = 2Im sin(θ + ϕ1 )
(2)
ここで，Im ，ϕ1 はそれぞれ，i の実効値，駆動波形
Dr と入力電流 i の位相差である．[1] より, 出力電流
Io は，
√
Vo
Io =
(3)
= 2Im sin ϕd ,
RL
ここで，Vo , RL ，ϕd はそれぞれ，出力電圧，負荷抵
抗，入力電流 i とダイオード電圧 vD の位相差である．
ϕd は以下の式で表わされる．
1 − cos(2πDd )
tan ϕd =
.
(4)
2π(1 − Dd ) + sin(2πDd )
ここで，Dd はダイオードのオン時比率である．整流
器の素子と Dd との関係式は以下の式で表わされる．
{
1
1 − cos(2πDd ) − 2π 2 (1 − Dd )2
ωCD RL =
2π
}
[2π(1 − Dd ) + sin(2πDd )]2
+
. (5)
1 − cos(2πDd )
vD =
[
]

Io
cos(θ − ϕd + ϕ1 ) − cos ϕd


(θ − ϕd + ϕ1 ) +
,

 ωC R
sin ϕ
D




L
d
if ϕd − ϕ1 ≤ θ < 2π(1 − Dd ) + ϕd − ϕ1
0,
else,
(6)
となる．また，ダイオード電流 iD は，

0,
if ϕd − ϕ1 ≤ θ < 2π(1 − Dd ) + ϕd − ϕ1
iD =
Io − Im sin(θ + ϕd − ϕ1 ), else,
(7)
となる．
E 級整流器は，インバータから見たインピーダン
スとして，直列に接続された等価キャパシタ Ci と等
価抵抗 Ri で表わすことができる [1]．図 3(b) に，E
級整流器を等価回路に置き換えたモデルを示す．[1]
より, 等価キャパシタ Ci と等価抵抗 Ri は以下の式
−9−
で表わされる．
[
Ci = πCD − 2π(1 − Dd ) sin ϕd sin(2πDd − ϕd )
1
1
− sin(4πDd ) cos(2ϕd ) − sin(2ϕd ) sin2 (2πDd )
4
2
]−1
π(1 − Dd ) + sin(2πDd ) ,
(8)
Ri = 2 · RL · sin2 ϕd .
スイッチおよびボディダイオードに流れる電流 iS
は，


0,
for 0 ≤ θ < θ1




I
DD − Im sin(θ + ϕ1 ), for θ1 ≤ θ < θ2
iS =

0,
for θ2 ≤ θ < 2πD1




I
DD − Im sin(θ + ϕ1 ), for 2πD1 ≤ θ < 2π,
(9)
(14)
E 級整流器を Ci と Ri で置き換えることにより，E2
級 DC-DC コンバータは典型的な E 級インバータと
等価であるとみなせる．したがって，最適状態外に
おける E 級インバータの解析式 [3] を本解析に適用
することができる．
となる．
θ1 および θ2 は，[3] で示されるアルゴリズムによ
り得られる．
3.3
E 級インバータ
[3] より, スイッチ電圧 vS は
vS =
 1

{IDD θ



ωCS




 + Im [cos(θ + ϕ1 ) − cos ϕ1 ]}, for 0 ≤ θ < θ1



0, for θ ≤ θ < θ ,
1
2
(10)
1


{I
(θ
−
θ
)
+
I
[cos(θ
+
ϕ
)
2
m
1
DD


ωCS





− cos(θ2 + ϕ1 )]}, for θ2 ≤ θ < 2πD1 ,




0, for 2πD1 ≤ θ < 2π,
ここで，IDD はチョークコイルに流れる直流入力
電流である.
仮定 c) より, チョークコイル LC にかかる電圧は
零であるため，供給電圧 VDD とスイッチ電圧 vS に
は以下の関係が成り立つ.
∫ 2πD1
1
VDD =
vS dθ.
(11)
2πD1 0
本解析では，[3] と同様，Lr は L0 および Lx に分
割して考える．ここで，L0 は C と理想的な共振回
路を構成し，Lx は E 級動作条件のための位相差 ϕ1
を発生させる素子，すなわち誘導成分，として考え
る．また，C は Cr と Ci の合成キャパシタンスであ
る．フーリエ解析を適用することにより，Ri および
Lx にかかる電圧の振幅は，
∫ 2πD1
1
vS sin(θ + ϕ1 )dθ,
(12)
Ri Im =
πD1 0
∫ 2πD1
1
vS cos(θ + ϕ1 )dθ.
(13)
Lx Im =
πD1 0
となる．(11), (12), (13) より，Im , ϕ1 , IDD が解析
的に導出できる.
4
最適状態外における出力電力および電力変換効率
前章で得られた波形式を用いて，出力電力および
電力変換効率の解析式を導出する．
実際の回路では，等価直列抵抗，MOSFET オン
抵抗，ダイオードの順方向電圧降下による導通損失
が発生する．さらに，スイッチ電圧が Case 1 もしく
は Case 3 の場合，スイッチング損失が発生する．図
3(c) に，電力損失の解析式を導出するためのモデル
を示す．本論文では，MOSFET オン抵抗 rS ，等価
直列抵抗 rLC , rLr , rLf ，ボディダイオードおよびダ
イオードの順方向電圧降下 Vd1 ，Vd2 による導通損失，
さらに，MOSFET におけるスイッチング損失を考慮
する．キャパシタの等価直列抵抗はインダクタのそ
れと比べて非常に小さいため，本論文ではキャパシ
タの導通損失は無視する．また，等価直列抵抗およ
び順方向電圧は小さいため，波形式に影響は与えな
いものとする．
出力電力は以下の式で表わされる．
Po = RL Io2 .
(15)
rS ，rLC ，rLr ，rLf による導通損失はそれぞれ，
∫
rS 2π 2
PS =
i dθ,
(16)
2π 0 S
2
PLC = rLC IDD
,
(17)
∫ 2π
rL
i2 dθ,
(18)
PLr = r
2π 0
PLf = rLf Io2 ,
(19)
となる．スイッチ電圧が Case 1 もしくは Case 3 に
なる場合，スイッチング損失が発生する．このスイッ
チング損失は，
1
PSW = CS vS2 (2πD1− )f,
(20)
2
−
と表わせる．ここで，vS (2πD1 ) はスイッチがオン
になる直前のスイッチ電圧である．
− 10 −
スイッチ電圧が Case 2 もしくは Case 3 になる場
合，MOSFET のボディダイオードによる導通損失が
発生する．その損失は，
∫ 2π
1
PDS =
Vd1 iS dθ,
(21)
2π 0
となる．また，整流器のダイオードにおける導通損
失は以下の式で表わされる．
∫ 2π
1
PD =
Vd2 iD dθ,
(22)
2π 0
以上の電力損失を考慮した電力変換効率は以下の
式で表わされる．
表 1: 最適状態における設計値
VDD
D1
fnom
RLnom
Dd
LC
Lr
Lf
CS
Cr
CD
Cf
rS
rLC
rLr
rLf
Vd1
Vd2
Po
η
η =
Po + PS + PLC + PLr
Po
,
+ PLf + PSW + PDS + PD
(23)
5
5.1
回路実験
最適状態動作
解析式の妥当性を示すため，回路実験を行う．設計
仕様として．動作周波数 f = 1 MHz, 供給電圧 VDD
= 12 V, 出力電力 Po = 5 W, 負荷抵抗 RLnom =
50 Ω, スイッチオフ時比率 D1 = 0.5, 共振回路の Q
値 Q = ωL0 /Ri = 10 を与える, ここで “nom” は最
適状態での値を示す．以上の設計仕様を基に，[5] の
設計式を用いて E 級動作条件を満たす E2 級 DC-DC
コンバータを設計する．ローパスフィルタ Lf − Cf
は，出力電圧のリプルが十分小さくなるよう，Lf =
300 µH，Cf = 470 µF を与える．スイッチ素子と
して MOSFET は IRF530，ダイオードは STTH302
を用いる. それらのデータシートから, rS = 0.16 Ω,
Vd1 = 0.7 V, Vd2 = 0.75 V が得られる．等価直列
抵抗を含む受動素子は HP4284A LCR により測定を
行った．表 1 に，最適状態における各パラメータの
解析値および測定値を示す．また，図 4(a) に最適状
態における波形を示す．解析および実験波形におい
て，E 級動作条件を満足していることを確認できる．
5.2
出力電力および電力変換効率
図 5 は，RL を最適状態から変化させたときの出
力電力・電力変換効率の変化を示している．解析式
による結果が，実験値とよく一致していることが確
認できるため，本論文で得られた解析式の妥当性が
示される．図 5 より，RL /RLnom ≤ 1 において Case
2 の領域，すなわち ZVS 領域が存在することがわか
る．従来研究 [1] において，0 ≤ RL ≤ RLnom では実
Analytical
Measured
Diﬀerence
12.0 V
0.5
1 MHz
50.0 Ω
0.416
115 µH
26.4 µH
300 µH
1.76 nF
1.32 nF
2.27 nF
470 µF
5.0 W
91.7 %
12.0 V
0.5
1 MHz
49.5 Ω
120 µH
26.5 µH
324 µH
1.75 nF
1.32 nF
2.22 nF
0.16 Ω
0.018 Ω
0.48 Ω
0.025 Ω
0.7 V
0.75 V
4.82 W
91.1 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
1.00 %
4.5 %
0.26 %
8.0 %
−0.58 %
−0.20 %
−2.1 %
−3.6 %
−0.67 %
験的に ZVS 領域となることは知られていた．しかし
ながらその領域を解析的に示した例はなく，本論文
の解析式によりその領域を解析的に示すことが可能
となった．
5.3
スイッチ状態の分布図
図 6 は，RL /RLnom − D1 平面におけるスイッチ
状態の分布図である．また図上の記号は，各値での
図 4 に示した波形と対応している．図 4 より，解析
波形が実験波形と良く一致し，分布図の妥当性が確
認できる．図 6 より，Case 2，すなわち ZVS 領域は
RL < 1.0，0.5 < D1 < 0.7 の範囲にあることを確認
できる．また，RL < 1.1，D1 > 0.5 の部分に Case
3 が存在することがわかる．E2 級 DC-DC コンバー
タの制御パラメータの一つである D1 の変動による
スイッチング動作を，図より読み取ることができる．
本論文で得られた解析式を用いることで，他のパラ
メータにおいても分布図を導出することができ，回
路設計・制御の指針について有用な図となる．
6
まとめ
本論文では，最適状態外における E2 級 DC-DC コ
ンバータの定常状態解析を行い，波形式，出力電力
および電力変換効率を導出した．さらに，得られた
解析式を用いてスイッチ状態の分布図を示した．回
路実験を行うことで，解析式の妥当性を示した．
− 11 −
2π
2π
θ
4π
4π
θ
3π
π
3π
40
0
20
0
π
2π
3π
θ
4π
π
2π
3π
θ
4π
0
40
ON
OFF
OFF
Output power Po (W)
π
θ
4π
3π
vs (V)
0
1
0
-1
ON
OFF
2π
ON
0
1
0
-1
i (A)
ON
π
8
0
20
0
0
0.5
0
-0.5
20
π
2π
3π
θ
4π
π
2π
3π
θ
4π
0
10
π
vo (V) vD (V)
0
π
2π
2π
3π
θ
4π
3π
θ
4π
2
1.0
1.5
Time (µs)
ON
OFF
OFF
Case 1
π
2π
3π
θ
4π
π
2π
3π
θ
4π
0
10
π
2π
3π
θ
4π
0
π
2π
3π
θ
4π
i (A)
vs (V) Dr (V)
θ
4π
70
60
50
40
Nominal operation
30
0
2
Case 2
4
6
RL/RLnom
(b)
8
10
Case 3
ᅗD
ᅗE
ᅗF
0.9
0
10
0.8
0
1.0
1.5
Time (µs)
2.0
0.7
0.6
10
0
40
OFF
ON
OFF
ON
0.5
0.4
0
0.5
0
-0.5
20
i (A)
ON
3π
vo (V) vD (V)
vs (V) Dr (V)
OFF
2π
0
0.5
0
-0.5
20
vo (V) vD (V)
ON
π
Experimental
Analytical
80
ON
(b)
OFF
10
Case 1
90
1
0.5
0
40
8
Case 2
図 5: RL /RLnom に対する出力電力および電力変換
効率. (a) 出力電力. (b) 電力変換効率.
0
0.5
0
-0.5
20
Angular time (rad)
10
4
6
RL/RLnom
(a)
100
2.0
10
0
40
2
D1
3π
vs (V) Dr (V)
2π
i (A)
π
θ
4π
Experimental
Analytical
i (A)
ON
OFF
vo (V) vD (V)
vs (V) Dr (V)
ON
4
Nominal operation
(a)
OFF
6
00
0.5
0
40
Case 1
40
Angular time (rad)
10
Case 2
Power conversion efficiency η (%)
vo (V) vD (V)
i (A)
vs (V)
OFF
0
40
Dr (V)
Experimental
10
vo (V) vD (V)
Dr (V)
Analytical
10
1 1.2
RL/RLnom
0
10
図 6: RL /RLnom − D1 平面におけるスイッチ状態の
分布図.
0
0.5
Angular time (rad)
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1.0
1.5
Time (µs)
2.0
(c)
図 4: 解析および実験波形. (a) 最適状態. (b)
RL /RLnom = 0.4, D1 = 0.5. (c) RL /RLom = 0.4,
D1 = 0.75.
[3] T. Nagashima, X. Wei, T. Suetsugu, M.
K. Kazimierczuk, and H. Sekiya, “Waveform
equations, output power, and power conversion eﬃciency for class-E inverter outside nominal operation,” IEEE Trans. on Ind. Electron., vol. 61, no. 4, pp. 1799–1810, Apr. 2014.
参考文献
[1] M. K. Kazimierczuk and J. Jozwik, “Resonant
DC/DC converter with class-E inverter and
class-E rectifier,” IEEE Trans. Ind. Electron.,
vol.36, no.4, pp. 468–478, Nov. 1989.
[2] J. Jozwik and M. K. Kazimierczuk, “Analysis and design of class-E2 DC/DC converter,”
IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 37, no. 2, pp.
173–183, Apr. 1990.
[4] M. K. Kazimierczuk, “Analysis of class E zerovoltage switching rectifier,” IEEE Trans. Circuit Syst., vol. 37, no. 6, pp. 747–755, Jun.
1990.
[5] M. K. Kazimierczuk and D. Czarkowski, Resonant Power Converters 2nd Ed, New York,
NY: John Wiley & Sons, 2011.
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